В механики разрушения , то скорость высвобождения энергии ,, Является скорость , при которой энергия будет преобразована в качестве материала претерпевает перелом . Математически скорость высвобождения энергии выражается как уменьшение общей потенциальной энергии при увеличении площади поверхности трещины [1] [2] и, таким образом, выражается в единицах энергии на единицу площади. Могут быть построены различные энергетические балансы , связывающие энергию, выделяемую во время разрушения, с энергией полученной новой поверхности, а также с другими диссипативными процессами, такими как пластичность.и тепловыделение. Скорость высвобождения энергии занимает центральное место в области механики разрушения при решении задач и оценке свойств материала, связанных с разрушением и усталостью .
Определение
Скорость высвобождения энергии определяется [3] как мгновенная потеря полной потенциальной энергии на единицу площади роста трещины ,
где полная потенциальная энергия записана через полную энергию деформации , поверхностная тяга , смещение , и сила тела от
Первый интеграл ведется по поверхности материала, а второй - по объему .
На рисунке справа показан график внешней силы. в зависимости от смещения точки нагрузки , где площадь под кривой - энергия деформации. Белая область между кривой и-ось называется дополнительной энергией. В случае линейно-упругого материала , прямая линия, а энергия деформации равна дополнительной энергии.
Предписанное смещение
В случае заданного смещения энергия деформации может быть выражена через заданное смещение и поверхность трещины. , а на изменение этой энергии деформации влияет только изменение площади поверхности разрушения: . Соответственно, скорость энерговыделения в этом случае выражается как [3]
Здесь можно точно сослаться на как скорость выделения энергии деформации.
Предписанные нагрузки
Когда нагрузка задается вместо смещения, энергия деформации должна быть изменена как . Затем скорость высвобождения энергии рассчитывается как [3]
Если материал линейно-упругий, то и вместо этого можно написать
G в двумерных случаях
В случае двумерных задач изменение площади роста трещины - это просто изменение длины трещины, умноженной на толщину образца. А именно,. Следовательно, уравнение для вычисления может быть изменен для 2D случая:
- Предписанное смещение:
- Предписанная нагрузка:
- Предписанная нагрузка, линейная упругость:
Для получения дополнительной информации можно обратиться к примерам расчетов, приведенным в следующем разделе. Иногда энергию деформации записывают с использованием, энергия на единицу толщины. Это дает
- Предписанное смещение:
- Предписанная нагрузка:
- Предписанная нагрузка, линейная упругость:
Связь с факторами интенсивности стресса
Скорость высвобождения энергии напрямую связана с коэффициентом интенсивности напряжения, связанным с данным двухмерным режимом нагружения ( режим I, режим II или режим III ), когда трещина растет прямо вперед. [3] Это применимо к трещинам под действием плоского напряжения , плоской деформации и поперечного сдвига .
Для режима I скорость выделения энергии скорость связана с коэффициентом интенсивности напряжения режима I для линейно-упругого материала
где связана с модулем Юнга и коэффициент Пуассона в зависимости от того, подвергается ли материал плоскому напряжению или плоской деформации:
Для режима II скорость выделения энергии аналогичным образом записывается как
Для режима III (антиплоскостной сдвиг) скорость выделения энергии теперь является функцией модуля сдвига. ,
Для произвольной комбинации всех режимов нагружения эти линейные упругие решения могут быть наложены следующим образом:
Альтернативное представление с точки зрения [4] |
---|
Что можно увидеть эквивалентно предыдущему представлению через связь между модулем Юнга и модулем сдвига: |
Связь с вязкостью разрушения
Рост трещины начинается, когда скорость выделения энергии выходит за критическое значение. , что является материальным свойством,
При нагрузке в режиме I критическая скорость выделения энергии тогда связана с вязкостью разрушения режима I , другое материальное имущество, по
Расчет G
Существует множество доступных методов расчета скорости выделения энергии с учетом свойств материала, геометрии образца и условий нагружения. Некоторые из них зависят от выполнения определенных критериев, например, если материал является полностью эластичным или даже линейно-упругим, и / или что трещина должна расти прямо вперед. Единственный представленный метод, который работает произвольно, - это метод с использованием полной потенциальной энергии. Если применимы оба метода, они должны давать одинаковые скорости выделения энергии.
Общая потенциальная энергия
Единственный метод расчета для произвольных условий рассчитать полную потенциальную энергию и дифференцировать ее по площади поверхности трещины. Обычно это делают:
- расчет поля напряжений в результате нагружения,
- расчет энергии деформации материала в результате поля напряжений,
- расчет работы внешних нагрузок,
все с точки зрения площади поверхности трещины.
Пример расчета используя полную потенциальную энергию |
---|
Эта задача двумерна и имеет фиксированную нагрузку, поэтому с , Поскольку материал линейно-эластичный, и поэтому Напряжения в DCB возникают из-за изгибающих напряжений в каждой консольной балке, где длина страницы. С использованием, теперь есть энергия деформации где коэффициент 2 спереди обусловлен наличием 2 консольных балок. Решение, затем взяв производную по и деление на , |
Метод соответствия
Если материал является линейно-упругим, расчет скорости его выделения энергии можно значительно упростить. В этом случае кривая смещения нагрузки от точки нагрузки является линейной с положительным наклоном, а смещение на единицу приложенной силы определяется как податливость, [3]
Соответствующая энергия деформации (площадь под кривой) равна [3]
Используя метод податливости, можно показать, что скорость выделения энергии для обоих случаев заданной нагрузки и смещения оказывается равной [3]
Пример расчета с использованием метода соответствия [3] |
---|
Рассмотрим образец с двойной консольной балкой (DCB), показанный на правом рисунке. Смещение одиночной балки равно Результирующее смещение точки нагрузки следовательно является . Подставьте в уравнение соответствия и упростите: Сейчас, вычисляется как Наконец, скорость высвобождения энергии этого образца DCB может быть выражена как Обратите внимание, что в качестве альтернативы скорость выделения энергии может быть выражена через а также : указывая, что уменьшается с увеличением длины трещины для случая фиксированного смещения и наоборот для случая фиксированной нагрузки. |
Методы множественных образцов для нелинейных материалов
В случае заданного смещения при фиксированной длине трещины скорость выделения энергии может быть рассчитана по [3]
в то время как в случае предписанной нагрузки [3]
Как видно, в обоих случаях скорость энерговыделения раз изменение поверхности возвращает площадь между кривыми, которая указывает энергию, рассеянную для новой площади поверхности, как показано на правом рисунке [3]
Интеграл закрытия трещины
Поскольку скорость выделения энергии определяется как отрицательная производная полной потенциальной энергии по отношению к росту поверхности трещины, скорость выделения энергии может быть записана как разность между потенциальной энергией до и после роста трещины. После некоторого тщательного вывода это приводит к интегралу закрытия трещины [3]
где - новая площадь поверхности трещины, - компоненты тяги, возникающие на верхней поверхности трещины по мере роста трещины, - компоненты смещения раскрытия трещины (разница в приращениях смещения между верхней и нижней поверхностями трещины), а интеграл - по поверхности материала .
Интеграл закрытия трещины действителен только для упругих материалов, но все еще действителен для трещин, которые растут в любом направлении. Тем не менее, для двумерной трещины, которая действительно растет прямо вперед, интеграл закрытия трещины упрощается до [3]
где - новая длина трещины, а компоненты смещения записываются как функции полярных координат а также .
Пример расчета используя интеграл закрытия трещины |
---|
Рассмотрим трещину в образце DCB, показанном на рисунке. Ненулевые компоненты напряжения и смещения даны в [3] как Интеграл закрытия трещины для этого линейно-упругого материала в предположении, что трещина растет прямо вперед, равен Рассмотрите возможность изменения масштаба интеграла с помощью для где один вычисляет более простой интеграл, чтобы быть оставляя скорость высвобождения энергии как ожидаемое отношение. В этом случае получитьнепосредственно из нагрузки и геометрии задачи, но поскольку трещина растет прямо вперед, а материал является линейно-упругим, скорость выделения энергии здесь должна быть такой же, как скорость выделения энергии, рассчитанная с использованием других методов. Это позволяет косвенно получить коэффициент интенсивности напряжений для этой задачи в виде |
J - интеграл
В определенных ситуациях скорость выделения энергии можно вычислить с помощью J-интеграла , т. е., используя [3]
где - плотность энергии упругой деформации, это компонент единичного вектора, нормальный к , кривая, используемая для линейного интеграла, компоненты вектора тяги , где - тензор напряжений, а компоненты вектора смещения.
Этот интеграл равен нулю по простому замкнутому пути и не зависит от пути , что позволяет использовать любой простой путь, начинающийся и заканчивающийся на берегах трещины, для расчета. Чтобы приравнять скорость выделения энергии к J-интегралу,, должны выполняться следующие условия:
- трещина должна расти прямо впереди, и
- деформация около трещины (заключена ) должен быть эластичным (не пластичным).
J-интеграл можно вычислить при нарушении этих условий, но тогда . Когда они не нарушаются, можно связать скорость выделения энергии и J-интеграл с модулями упругости и коэффициентами интенсивности напряжений, используя [3]
Пример расчета используя J-интеграл [3] |
---|
Рассмотрим образец двойной консольной балки, показанный на рисунке, где трещина с центром в балке высотой имеет длину , а груз применяется для открытия трещины. Предположим, что материал линейно-упругий и трещина растет прямо вперед. Рассмотрим прямоугольный путь, показанный на втором рисунке: начните с верхней грани трещины, (1) поднимитесь вверх на, (2) пройти вправо за вершину трещины, (3) спуститься вниз на , (4) пройти по дну влево, (5) вернуться к нижней грани трещины. J-интеграл равен нулю на многих участках этого пути. Материал эффективно разгружается за трещиной, поэтому плотность энергии деформации и сила тяги равны нулю вдоль (1) и (2), и, следовательно, J-интеграл. Наряду (2) и (4) имеется также как и (нет тяги на свободной поверхности), поэтому J-интеграл также равен нулю в (2) и (4). Остается только (3); если предположить, что он находится достаточно далеко от трещины на (3), тяговый член равен нулю, поскольку а также далеко от трещины, уходя вдоль (3) и возникает из-за напряжения изгиба консольной балки где длина страницы. С использованием, теперь есть где коэффициент 2 спереди обусловлен наличием 2 консольных балок. Решение, |
Вычислительные методы в механике разрушения
Существует несколько методов расчета с конечными элементами. Хотя прямой расчет J-интеграла возможен (с использованием деформаций и напряжений, полученных с помощью FEA ), существуют приблизительные подходы для некоторых типов роста трещин, которые обеспечивают разумную точность с прямыми расчетами. В этом разделе будут подробно рассмотрены некоторые относительно простые методы анализа трещин с использованием численного моделирования.
Узловой метод выпуска
Если трещина растет прямо, скорость выделения энергии можно разложить на сумму 3 членовсвязанных с энергией в каждых 3 режимах. В результате метод узлового высвобождения (NR) может использоваться для определенияпо результатам FEA. Скорость энерговыделения рассчитывается в узлах сетки конечных элементов для трещины на начальной длине и протяженности на небольшое расстояние.. Сначала мы вычисляем изменение смещения в интересующем узле.(до и после освобождения вершины трещины). Во-вторых, мы отслеживаем узловую силувыводится FEA. Наконец, мы можем найти каждый компонент используя следующие формулы:
Если скорость выделения энергии превысит критическое значение, трещина будет расти. В этом случае выполняется новое моделирование МКЭ (для следующего временного шага), при котором освобождается узел на вершине трещины. Для ограниченной подложки мы можем просто прекратить выполнение фиксированных граничных условий Дирихле в узле вершины трещины на предыдущем временном шаге (т.е. смещения больше не ограничиваются). Для симметричной трещины нам потребуется обновить геометрию области с более длинным раскрытием трещины (и, следовательно, создать новую сетку [5] ).
Модифицированный интеграл закрытия трещины
Подобно методу узлового высвобождения, модифицированный интеграл закрытия трещины (MCCI) представляет собой метод расчета скорости высвобождения энергии с использованием узловых смещений FEA. и силы . [6] [7] Гдепредставляет направление, соответствующее декартовым базисным векторам с началом в вершине трещины, апредставляет узловой индекс. MCCI более эффективен с точки зрения вычислений, чем метод узлового высвобождения, поскольку он требует только одного анализа для каждого приращения роста трещины.
Необходимым условием для метода MCCI является единообразная длина элемента. вдоль лица трещины в направление. Кроме того, этот метод требует достаточной дискретизации, чтобы по длине одного элемента поля напряжений были самоподобными . Это означает, чтопо мере распространения трещины. Ниже приведены примеры метода MCCI с двумя типами обычных конечных элементов.
4-узловые элементы
Четырехузловые квадратные линейные элементы, показанные на рисунке 2, имеют расстояние между узлами а также равно Рассмотрим трещину, вершина которой находится в узле Подобно методу узлового отсоединения, если бы трещина распространялась на длину одного элемента вдоль линии симметрии (параллельно -оси) смещение раскрытия трещины будет смещением в вершине предыдущей трещины, т. е. и сила на вершине новой трещины было бы Поскольку рост трещины предполагается автомодельным, смещение в узле после распространения трещины равно смещению в узле до того, как трещина разовьется. Эту же концепцию можно применить к силам в узле а также Используя тот же метод, что и в разделе узлового высвобождения, мы восстанавливаем следующие уравнения для скорости выделения энергии:
Где (смещение выше и ниже поверхности трещины соответственно). Поскольку у нас есть линия симметрии, параллельная трещине, мы можем предположить, что
Таким образом,
8-узловые элементы
8-узловые прямоугольные элементы, показанные на рисунке 3, имеют квадратичные базисные функции . Процесс вычисления G такой же, как и для 4-узловых элементов, за исключением того, что (рост трещины над одним элементом) теперь расстояние от узла к Еще раз, делая предположение о росте автомодельной прямой трещины, скорость выделения энергии можно рассчитать, используя следующие уравнения:
Как и в случае метода узлового высвобождения, точность MCCI сильно зависит от уровня дискретизации вдоль вершины трещины, т. Е. Точность также зависит от выбора элемента. Сетка из 8-узловых квадратичных элементов может дать более точные результаты, чем сетка из 4-узловых линейных элементов с тем же числом степеней свободы [8] в сетке.
Подход доменного интеграла для J
J-интеграл может быть вычислен непосредственно с использованием сетки конечных элементов и функций формы. [9] Мы рассматриваем область, как показано на рисунке 4, и выбираем произвольную гладкую функцию такой, что на а также на .
Для линейно-упругих трещин, растущих прямо вперед, . Затем скорость высвобождения энергии может быть рассчитана по площади, ограниченной контуром, с использованием обновленной формулировки:
Вышеприведенная формула может применяться к любой кольцевой области, окружающей вершину трещины (в частности, может использоваться набор соседних элементов). Этот метод очень точен, даже с крупной сеткой вокруг вершины трещины (можно выбрать область интегрирования, расположенную далеко, с напряжениями и смещениями, менее чувствительными к измельчению сетки)
Вывод J-интеграла для метода доменного интеграла J-интреграль может быть выражен по всему контуру следующим образом:
С участием . , на и работа и стрессы сводятся на нет а также , следовательно, применение теоремы о расходимости приводит к:
Наконец, отметив, что и используя уравнение равновесия:
Особые элементы вершины двумерной трещины
Вышеупомянутые методы расчета скорости выделения энергии асимптотически приближаются к реальному решению с повышенной дискретизацией, но не позволяют полностью уловить сингулярность вершины трещины. Более точное моделирование можно выполнить, используя элементы в четверть точки вокруг вершины трещины. [10] Эти элементы имеют встроенную особенность, которая более точно создает поля напряжений вокруг вершины трещины. Преимущество метода четверти точки состоит в том, что он позволяет создавать более грубые сетки конечных элементов и значительно снижает вычислительные затраты. Кроме того, эти элементы являются производными от небольших модификаций обычных конечных элементов, не требуя специальных вычислительных программ для анализа. Для целей настоящего раздела эластичные материалы будут рассмотрены, хотя этот способ может быть распространен на упругом пластиковые механики разрушения. [11] [12] [13] [14] В предположении идеальной упругости поля напряжений будут испытывать особенность вершины трещины.
8-узловой изопараметрический элемент
Квадратичный элемент с 8 узлами описывается рисунком 5 в обоих родительских пространствах с локальными координатами. а также и отображенным элементом в физическом / глобальном пространстве а также Родительский элемент отображается из локального пространства в физическое с помощью функций формы. и координаты степени свободы Вершина трещины находится на или же
Аналогичным образом смещения (определяемые как ) также можно отобразить.
Свойством функций формы в методе конечных элементов является компактный носитель , в частности свойство дельты Кронекера (т. Е. в узле и ноль на всех остальных узлах). Это приводит к следующим функциям формы для квадратичных элементов с 8 узлами: [8]
При рассмотрении линии перед трещиной, которая совпадает с линией - ось (т.е. ) все базисные функции равны нулю, кроме
Расчет нормальной деформации включает использование цепного правила для определения производной смещения по
Если узлы расположены равномерно на прямоугольном элементе, то деформация не будет содержать сингулярности. Путем перемещения узлов 5 и 8 позиции на четверть длины элемента ближе к вершине трещины, как показано на рисунке 5, отображение из становится:
Решение для и взятие производной приводит к:
Подставляя этот результат в уравнение для деформации, мы получаем окончательный результат:
Перемещение средних узлов в положение четверти приводит к правильному особенность вершины трещины.
Другие типы элементов
Метод прямоугольных элементов не позволяет легко соединять отдельные элементы вокруг вершины трещины. Это мешает улавливать угловую зависимость полей напряжений, которая имеет решающее значение при определении траектории трещины. Кроме того, за исключением краев элемента,сингулярность существует в очень маленькой области около вершины трещины. На рис. 6 показан другой метод четверть-точки для моделирования этой особенности. Прямоугольный элемент с 8 узлами может быть преобразован в треугольник. [15] Это делается путем сворачивания узлов на линии в положение среднего узла и смещение средних узлов на до четверти точки. Сжатый прямоугольник может легче окружать вершину трещины, но требует, чтобы края элемента были прямыми, иначе точность расчета коэффициента интенсивности напряжений будет снижена.
Лучшим кандидатом для метода четверти точки является естественный треугольник, как показано на рисунке 7. Геометрия элемента позволяет легко окружать вершину трещины и упрощает создание сетки. Следуя той же процедуре, описанной выше, поля смещения и деформации для треугольных элементов равны:
Этот метод воспроизводит первые два члена решений Вильямса [16] с постоянным и сингулярным членами .
Преимущество метода четверти точки состоит в том, что его можно легко обобщить на трехмерные модели. Это может значительно сократить объем вычислений по сравнению с другими трехмерными методами, но может привести к ошибке, если вершина трещины распространяется с большой степенью кривизны. [17]
Смотрите также
- Механика разрушения
- Коэффициент интенсивности стресса
- Вязкость разрушения
- J-интеграл
Рекомендации
- ^ Ли, ФЗ; Shih, CF; Нидлман, А. (1985). «Сравнение методов расчета показателей энерговыделения». Инженерная механика разрушения . 21 (2): 405–421. DOI : 10.1016 / 0013-7944 (85) 90029-3 . ISSN 0013-7944 .
- ^ Райс, младший; Будянский, Б. (1973). «Законы сохранения и нормы высвобождения энергии». J. Appl. Мех . 40 (1): 201–3. Bibcode : 1973JAM .... 40..201B . DOI : 10.1115 / 1.3422926 . S2CID 13910502 .
- ^ Б с д е е г ч я J к л м п о р д Алан Зендер (2012). Механика разрушения . Лондон; Нью-Йорк: Springer Science + Business Media. ISBN 9789400725942.
- ^ Soboyejo, WO (2003). «11.6.5 Эквивалентность G и K». Механические свойства конструкционных материалов. Марсель Деккер. ISBN 0-8247-8900-8 . OCLC 300921090.
- ^ Трейдгард, А. (1998-07-15). «Техника повторного зацепления МКЭ применяется для решения проблем роста трещин». Компьютерные методы в прикладной механике и технике . 160 (1–2): 115–131. Bibcode : 1998CMAME.160..115T . DOI : 10.1016 / s0045-7825 (97) 00287-9 .
- ^ Рыбицкий, Э.Ф .; Каннинен, М.Ф. (январь 1977 г.). «Расчет методом конечных элементов коэффициентов интенсивности напряжений с помощью модифицированного интеграла закрытия трещины». Инженерная механика разрушения . 9 (4): 931–938. DOI : 10.1016 / 0013-7944 (77) 90013-3 . ISSN 0013-7944 .
- ^ Sethuraman, R .; Маити, СК (январь 1988 г.). «Расчет на основе конечных элементов скорости выделения энергии деформации с помощью модифицированного интеграла закрытия трещины». Инженерная механика разрушения . 30 (2): 227–231. DOI : 10.1016 / 0013-7944 (88) 90226-3 . ISSN 0013-7944 .
- ^ а б Зендер, Алан Т. (03.01.2012). Механика разрушения . Дордрехт. ISBN 9789400725959. OCLC 773034407 .
- ^ Зендер, Алан Т. (2012). Механика разрушения . Конспект лекций по прикладной и вычислительной механике. 62 . Дордрехт: Springer, Нидерланды. DOI : 10.1007 / 978-94-007-2595-9 . ISBN 9789400725942.
- ^ Henshell, RD; Шоу, KG (1975). «Конечные элементы вершины трещины не нужны». Международный журнал численных методов в инженерии . 9 (3): 495–507. Bibcode : 1975IJNME ... 9..495H . DOI : 10.1002 / nme.1620090302 . ISSN 0029-5981 .
- ^ Барсум, Рошды С. (1977). «Треугольные четвертьостые элементы как упругие и идеально пластичные элементы вершины трещины». Международный журнал численных методов в инженерии . 11 (1): 85–98. Bibcode : 1977IJNME..11 ... 85В . DOI : 10.1002 / nme.1620110109 . ISSN 0029-5981 .
- ^ Солнце, КТ; Джин, З.-Х. (2012), "упругопластическое разрушение Критерии", Механика разрушения , Elsevier, стр 171-187,. DOI : 10.1016 / b978-0-12-385001-0.00007-9 , ISBN 9780123850010
- ^ Стерн, Моррис (1979). «Семейства согласованных согласующихся элементов с сингулярными производными полями». Международный журнал численных методов в инженерии . 14 (3): 409–421. Bibcode : 1979IJNME..14..409S . DOI : 10.1002 / nme.1620140307 . ISSN 0029-5981 .
- ^ Levy, N .; Marcal, PV; Ostergren, WJ; Райс, младший (июнь 1971 г.). «Мелкомасштабная текучесть около трещины при плоской деформации: анализ методом конечных элементов». Международный журнал механики разрушения . 7 (2). DOI : 10.1007 / bf00183802 . ISSN 0020-7268 .
- ^ Барсум, Рошды С. (1976). «Об использовании изопараметрических конечных элементов в линейной механике разрушения». Международный журнал численных методов в инженерии . 10 (1): 25–37. Bibcode : 1976IJNME..10 ... 25В . DOI : 10.1002 / nme.1620100103 . ISSN 0029-5981 .
- ^ Уильямс, ML (1959). «Напряжения вокруг разлома или трещины в разнородных средах» . Бюллетень сейсмологического общества Америки . 49 : 199–204.
- ^ Peano, A .; Пазини, А. (февраль 1982 г.). «Предупреждение против неправильного использования элементов четверть очка». Международный журнал численных методов в инженерии . 18 (2): 314–320. Bibcode : 1982IJNME..18..314P . DOI : 10.1002 / nme.1620180212 . ISSN 0029-5981 .
Внешние ссылки
- Заметки профессора Джона Хатчинсона по нелинейной механике разрушения (Гарвардский университет)
- Скорость высвобождения энергии деформации по Гриффиту на сайте www.fracturemechanics.org