J-интеграл

J-интеграл представляет собой способ для вычисления скорости высвобождения энергии деформации , или работы ( энергия ) на единицу площади поверхности разрушения, в материале. ^[1] Теоретическое понятие J-интеграла был разработан в 1967 г. П. Черепанов ^[2] и независимо друг от друга в 1968 г. Джеймс Р. Райс , ^[3] , который показал , что энергичный интеграл контура пути ( так называемый J ) не зависит от пути вокруг трещины .

Экспериментальные методы были разработаны с использованием интеграла, который позволил измерить критические свойства разрушения в образцах, размер которых слишком мал для того, чтобы линейная механика упругого разрушения (LEFM) была действительной. ^[4] Эти эксперименты позволяют определить вязкость разрушения по критическому значению энергии разрушения J _Ic , которое определяет точку, в которой крупномасштабная пластическая деформация во время распространения имеет место при нагружении режима I. ^{[1] [5]}

J-интеграл равен скорости выделения энергии деформации для трещины в теле при монотонном нагружении. ^[6] Это обычно верно в квазистатических условиях только для линейно-упругих материалов. Для материалов, которые испытывают мелкомасштабную текучесть на вершине трещины, J можно использовать для вычисления скорости высвобождения энергии при особых обстоятельствах, таких как монотонная нагрузка в режиме III ( антиплоскостной сдвиг ). Скорость высвобождения энергии деформации также может быть рассчитана из J для пластических материалов с чистым степенным упрочнением, которые претерпевают мелкомасштабную деформацию в вершине трещины.

Величина J не зависит от траектории для монотонного режима I и режима II нагружения упругопластических материалов, поэтому только контур, очень близкий к вершине трещины, дает скорость выделения энергии. Также Райс показал, что J не зависит от пути в пластических материалах, когда нет непропорциональной нагрузки. Разгрузка является частным случаем этого, но непропорциональная пластическая нагрузка также делает недействительным независимость от пути. Такое непропорциональное нагружение является причиной траектории режимов нагружения в плоскости на упругопластических материалах.

Двумерный J-интеграл [ править ]

Двумерный J-интеграл изначально был определен как ^[3] (см. Рисунок 1 для иллюстрации)

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

где W ( x ₁ , x ₂ ) - плотность энергии деформации, x ₁ , x ₂ - направления координат, t  = [ σ ] n - вектор поверхностного натяжения , n - нормаль к кривой Γ, [ σ ] - тензор напряжений Коши , и у есть вектор смещения . Плотность энергии деформации определяется выражением

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

J-интеграл вокруг вершины трещины часто выражаются в более общей форме ^{[ править ]} (и в индексном обозначениях ) как

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

где - составляющая J-интеграла для раскрытия трещины в направлении, а - небольшая область вокруг вершины трещины. Используя теорему Грина, мы можем показать, что этот интеграл равен нулю, когда граница замкнута и охватывает область, которая не содержит особенностей и является односвязной . Если берега трещины не имеют поверхностного натяжения на них, то J-интеграл также не зависит от пути .${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \Gamma }$

Райс также показал, что величина J-интеграла представляет скорость выделения энергии для роста плоской трещины. J-интеграл был разработан из-за трудности , связанные с вычислением напряжений вблизи трещину в нелинейном упругом или упруго - пластическом материал. Райс показал, что если предполагалось монотонное нагружение (без какой-либо пластической разгрузки), то J-интеграл также можно было использовать для вычисления скорости высвобождения энергии пластических материалов.

Доказательство того, что J-интеграл равен нулю по замкнутому пути

Чтобы показать независимость J-интеграла от путей, мы сначала должны показать, что значение равно нулю по замкнутому контуру в односвязной области. Рассмотрим просто выражение, для которого${\displaystyle J}$${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle J_{1}:=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma }$ Мы можем записать это как ${\displaystyle J_{1}=\int _{\Gamma }\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)n_{j}\,d\Gamma }$ Из теоремы Грина (или теоремы о двумерной расходимости ) имеем ${\displaystyle \int _{\Gamma }f_{j}~n_{j}~d\Gamma =\int _{A}{\cfrac {\partial f_{j}}{\partial x_{j}}}~dA}$ Используя этот результат, мы можем выразить как${\displaystyle J_{1}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}J_{1}&=\int _{A}{\cfrac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)dA\\&=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-{\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}\right]~dA\end{aligned}}}$ где - площадь, ограниченная контуром . Теперь, если нет объемных сил , равновесие (сохранение количества движения) требует, чтобы${\displaystyle A}$${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {0} \qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}=0~.}$ Также, ${\displaystyle [{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\qquad \implies \qquad \varepsilon _{jk}={\tfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)~.}$ Следовательно, ${\displaystyle \sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\tfrac {1}{2}}\left(\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}+\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\right)}$ Из баланса углового момента имеем . Следовательно, ${\displaystyle \sigma _{jk}=\sigma _{kj}}$ ${\displaystyle \sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}=\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}}$ Тогда J-интеграл можно записать как ${\displaystyle J_{1}=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}\right]~dA}$ Теперь для упругого материала напряжение может быть получено из функции запасенной энергии, используя ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \sigma _{jk}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}}$ Тогда, если тензор модулей упругости однороден, используя цепное правило дифференцирования, ${\displaystyle \sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}}$ Таким образом, мы имеем замкнутый контур, охватывающий односвязную область без каких-либо упругих неоднородностей, таких как пустоты и трещины.${\displaystyle J_{1}=0}$

Доказательство независимости J-интеграла от путей

Рис. 2. Пути интеграции вокруг выемки в двух измерениях. Рассмотрим контур . Поскольку этот контур замкнут и охватывает односвязную область, J-интеграл вокруг контура равен нулю, т.е.${\displaystyle \Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma ^{+}+\Gamma _{2}+\Gamma ^{-}}$ ${\displaystyle J=J_{(1)}+J^{+}-J_{(2)}-J^{-}=0}$ в предположении, что интегралы против часовой стрелки вокруг вершины трещины имеют положительный знак. Теперь, поскольку поверхности трещины параллельны оси, нормальная составляющая на этих поверхностях. Кроме того , поскольку трещина поверхность тяговая бесплатно, . Следовательно,${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle n_{1}=0}$${\displaystyle t_{k}=0}$ ${\displaystyle J^{+}=J^{-}=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{k}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma =0}$ Следовательно, ${\displaystyle J_{(1)}=J_{(2)}}$ а J-интеграл не зависит от пути.

J-интеграл и вязкость разрушения [ править ]

Для изотропных, идеально хрупких, линейно-упругих материалов J-интеграл может быть напрямую связан с вязкостью разрушения, если трещина простирается прямо вперед относительно своей первоначальной ориентации. ^[6]

Для плоской деформации в условиях нагружения режима I это соотношение имеет вид

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

где - критическая скорость высвобождения энергии деформации, - вязкость разрушения при нагружении в режиме I, - коэффициент Пуассона, а E - модуль Юнга материала.${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$${\displaystyle \nu }$

Для режима нагружения II соотношение между J-интегралом и вязкостью разрушения режима II ( ) равно${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

Для режима нагружения III соотношение

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

Упругопластические материалы и решение HRR [ править ]

Хатчинсон, Райс и Розенгрен ^{[7] [8]} впоследствии показали, что J характеризует сингулярные поля напряжений и деформаций в вершине трещины в нелинейных (упрочнение по степенному закону) упругопластических материалах, где размер пластической зоны мал по сравнению с длина трещины. Хатчинсон использовал материальный конститутивный закон в форме, предложенной У. Рамбергом и У. Осгудом : ^[9]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

где σ - напряжение при одноосном растяжении, σ _y - предел текучести , ε - деформация , а ε _y = σ _y / E - соответствующая деформация текучести. Величина E - это упругий модуль Юнга материала. Модель параметризуется безразмерной постоянной характеристикой материала α и коэффициентом деформационного упрочнения n.. Эта модель применима только к ситуациям, когда напряжение монотонно увеличивается, компоненты напряжения остаются примерно в тех же соотношениях, что и нагружение (пропорциональное нагружение), и разгрузка отсутствует .

Если к телу, показанному на соседнем рисунке, приложено растягивающее напряжение σ _{far в дальней} зоне, J-интеграл вокруг траектории Γ ₁ (выбранной полностью внутри упругой зоны) будет равен

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

Поскольку полный интеграл вокруг трещины равен нулю, а вклады вдоль поверхности трещины равны нулю, имеем

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

Если выбрать путь Γ _{2 так} , чтобы он находился внутри полностью пластической области, Хатчинсон показал, что

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

где K - амплитуда напряжения, ( r , θ ) - полярная система координат с началом в вершине трещины, s - константа, определяемая из асимптотического разложения поля напряжений вокруг трещины, а I - безразмерный интеграл. Связь между J-интегралами вокруг Γ ₁ и Γ ₂ приводит к ограничению

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

и выражение для K через напряжение в дальней зоне

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

где β = 1 для плоского напряжения и β = 1 - ν ² для плоской деформации ( ν - коэффициент Пуассона ).

Асимптотическое разложение поля напряжений и приведенные выше идеи могут быть использованы для определения полей напряжений и деформаций в терминах J-интеграла:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

где и - безразмерные функции.${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$

Эти выражения показывают, что J можно интерпретировать как пластический аналог коэффициента интенсивности напряжений ( K ), который используется в линейной упругой механике разрушения, т.е. мы можем использовать такой критерий, как J > J _Ic, в качестве критерия роста трещины.

См. Также [ править ]

• Вязкость разрушения
• Стойкость
• Механика разрушения
• Коэффициент интенсивности стресса

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Дж. Р. Райс, " Независимый от траектории интеграл и приблизительный анализ концентрации деформации по выемкам и трещинам ", Журнал прикладной механики, 35, 1968, стр. 379–386.
• Ван Влит, Кристин Дж. (2006); «3.032 Механическое поведение материалов», [2]
• X. Chen (2014), «Независимый от траектории интеграл», В: Энциклопедия тепловых напряжений, под редакцией Р. Б. Хетнарски, Springer, ISBN 978-9400727380 . 
• Заметки профессора Джона Хатчинсона по нелинейной механике разрушения (Гарвардский университет)
• Заметки о разрушении тонких пленок и многослойных слоев профессора Джона Хатчинсона (Гарвардский университет)
• Смешанное растрескивание слоистых материалов проф. Джон Хатчинсон и Чжиган Суо (из Гарвардского университета)
• Механика разрушения проф. Пита Шреурса (из Технического университета Эйндховена, Нидерланды)
• Введение в механику разрушения д-ра Ч. Ванга (DSTO - Австралия)
• Заметки по курсу механики разрушения профессора Руи Хуанга (из Техасского университета в Остине)
• Решения HRR Людовика Ноэлса (Льежский университет)