Из Википедии, бесплатной энциклопедии
  (Перенаправлен с равного деления октавы )
Перейти к навигации Перейти к поиску
Сравнение примерно одинаковых темпераментов. [1] График охватывает одну октаву по горизонтали (откройте изображение, чтобы просмотреть всю ширину), и каждый заштрихованный прямоугольник соответствует ширине одного шага шкалы. Отношения только интервалов разделены в строках их простыми пределами .
12-тоновая хроматическая гамма с одинаковой темперацией до до, одна полная октава восходящая, отмеченная только диезом. Играйте по возрастанию и убыванию ( помощь · информация )Об этом звуке 

Равно темперамент является темперация или настройки системы , которая приблизительно равен только интервалы деления октавы (или другого интервала) на равные шаги. Это означает, что соотношение частот любой смежной пары нот одинаково, что дает одинаковый воспринимаемый размер шага, поскольку высота звука воспринимается примерно как логарифм частоты. [2]

В классической музыке и западной музыке в целом наиболее распространенной системой настройки с 18-го века была двенадцатитонная равная темперация (также известная как 12 равных темпераментов , 12-TET или 12-ET ; неофициально сокращенно до двенадцати равных ), которая делит октаву на 12 частей, все из которых равны в логарифмической шкале с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( 12 √ 2 ≈ 1,05946). Это в результате наименьший интервал, 1 / 12 ширина октаву, называется полутон или полшага. В западных странахтермин « равный темперамент» , без каких-либо оговорок, обычно означает 12-TET.

В наше время 12-TET обычно настраивается относительно стандартной высоты звука 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота, A , настроена на 440 Гц, а все другие ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартный тон не всегда составлял 440 Гц. Он изменился и в целом вырос за последние несколько сотен лет. [3]

Другие одинаковые темпераменты по-разному делят октаву. Например, некоторая музыка была написана в 19-TET и 31-TET , в то время как арабская тональная система использует 24-TET.

Вместо разделения октавы одинаковый темперамент может также разделить другой интервал, как, например, версия шкалы Болена – Пирса с равным темпом , которая делит правильный интервал на октаву и квинту (соотношение 3: 1), называемый " tritave »или« псевдооктаву »в этой системе на 13 равных частей.

Для систем настройки, которые делят октаву поровну, но не являются приближениями только интервалов, можно использовать термин равное деление октавы или EDO .

Струнные ансамбли без ладов , которые могут регулировать настройку всех нот, за исключением открытых струн , и вокальные группы, у которых нет ограничений механической настройки, иногда используют настройку, намного более близкую к простой интонации по акустическим причинам. Другие инструменты, такие как духовые , клавишные и ладовые инструменты, часто имеют примерно одинаковую темперацию, а технические ограничения не позволяют точно настроить. [4] Некоторые духовые инструменты, которые могут легко и спонтанно изменять свой тон, особенно тромбоны , используют настройку, аналогичную настройке струнных ансамблей и вокальных групп.

Сравнение одинаковых темпераментов между 10-TET и 60-TET на каждом основном интервале малых основных пределов (красный: 3/2, зеленый: 5/4, синий: 7/4, желтый: 11/8, голубой: 13 / 8). Каждый цветной график показывает, сколько ошибок происходит (в центах) в ближайшем приближении соответствующего точного интервала (черная линия в центре). Две черные кривые, окружающие график с обеих сторон, представляют максимально возможную ошибку, а серые кривые внутри них указывают на ее половину.

Общие свойства [ править ]

При одинаковом темпераменте расстояние между двумя соседними ступенями шкалы равно интервалу . Поскольку воспринимаемая идентичность интервала зависит от его соотношения , эта шкала с четными шагами представляет собой геометрическую последовательность умножений. ( Арифметическая последовательность интервалов не будет казаться равномерно распределенной и не позволит транспонировать к разным клавишам.) В частности, наименьший интервал в равномерно темперированной шкале - это соотношение:

где коэффициент r делит коэффициент p (обычно октаву , равную 2: 1) на n равных частей. ( См. Ниже Двенадцатитоновая равная темперация . )

Шкалы часто измеряются в центах , которые делят октаву на 1200 равных интервалов (каждый называется центом). Эта логарифмическая шкала упрощает сравнение различных систем настройки, чем сравнение соотношений, и широко используется в этномузыкологии . Основной шаг в центах для любой одинаковой темперации можно найти, взяв ширину p выше в центах (обычно октаву шириной 1200 центов), называемую ниже w , и разделив ее на n частей:

В музыкальном анализе материалу, принадлежащему к одинаковому темпераменту, часто дается целочисленное обозначение , что означает, что для представления каждой высоты звука используется одно целое число. Это упрощает и обобщает обсуждение материала высоты тона в темперации точно так же, как логарифм умножения сводит его к сложению. Кроме того, применяя модульную арифметику, где модуль - это количество делений октавы (обычно 12), эти целые числа могут быть уменьшены до классов высоты тона , что устраняет различие (или подтверждает сходство) между высотой звука с одним и тем же именем, например c равно 0 независимо от октавного регистра. MIDI стандарт кодирования использует целочисленные обозначения нот.

Общие формулы для равномерного интервала [ править ]

Двенадцатитоновый равный темперамент [ править ]

Основная статья: 12 одинаковых темпераментов

12-тональная равномерная темперация, которая делит октаву на двенадцать равных интервалов, является наиболее распространенной музыкальной системой, используемой сегодня, особенно в западной музыке.

История [ править ]

Двумя фигурами, которым часто приписывают достижение точного расчета одинакового темперамента, являются Чжу Зайю (также романизированный как Чу-Цайю. Китайский:朱 載 堉) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. теории, [5] известно, что «Chu-Tsaiyu представил высокоточный, простой и гениальный метод арифметического вычисления моноаккордов равной темперации в 1584 году» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равной темперации плюс несколько меньшее. точное вычисление соответствующих числовых значений в 1585 году или позже ». Развитие происходило независимо. [6]

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Зайю [7] и приводит текстовые цитаты в качестве доказательства. [8] Цитируется Чжу Зайюй, который сказал, что в тексте, датируемом 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю одну ступню как число, из которого должны быть извлечены другие, и, используя пропорции, я извлекаю их. Все вместе. нужно найти точные цифры для пайперов за двенадцать операций ». [8] Каттнер не соглашается и отмечает, что его утверждение «не может считаться правильным без серьезных оговорок». [5] Каттнер предполагает, что ни Чжу Зайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни один из них не должен рассматриваться как изобретатель. [9]

Китай [ править ]

Трубки равного темперамента Чжу Зайюй

В то время как Китай ранее придумал приближения для 12-TET, Чжу Зайюй был первым человеком, который математически решил двенадцатитоновую равную темперацию [10], которую он описал в своей книге « Слияние музыки и календаря» 律 暦 融通в 1580 году и « Полном сборнике текстов». Музыка и высота звука ( Yuelü quan shu樂 律 全書) в 1584 году. [11] Расширенный отчет также дал Джозеф Нидхэм. [12] Чжу получил свой результат математически, разделив длину колонны и трубы последовательно на 12 √ 2 ≈ 1.059463, а длину трубы на 24 √ 2 , [13] так что после двенадцати делений (октавы) длина делится на коэффициент 2.

Чжу Зайюй создал несколько инструментов, настроенных на его систему, в том числе бамбуковые трубки. [14]

Европа [ править ]

Одними из первых европейцев, выступавших за равный темперамент, были лютнисты Винченцо Галилей , Джакомо Горзанис и Франческо Спиначино , все они писали музыку к нему. [15] [16] [17] [18]

Саймон Стевин был первым, кто разработал 12-TET, основанный на корне двенадцатой степени из двух , который он описал в Van De Spiegheling der singconst (около 1605 г.), опубликованном посмертно почти три века спустя в 1884 году [19].

В течение нескольких столетий Европа использовала множество систем настройки, включая 12 одинаковых темпераментов, а также означало один темперамент и хороший темперамент , каждую из которых можно рассматривать как приближение к предыдущему. Щипковые музыканты (лютнисты и гитаристы) обычно предпочитали равный темперамент [20], в то время как другие были более разобщенными. [21] В конце концов, победил двенадцатитоновый равный темперамент. Это позволило развиваться и процветать новым стилям симметричной тональности и политональности , атональной музыке, такой как написанная с использованием техники двенадцати тонов или сериализма , и джазу (по крайней мере, его фортепианной составляющей).

Математика [ править ]

Одна октава 12-тет на монохорде

В двенадцатитонной одинаковой темперации, которая делит октаву на 12 равных частей, ширина полутона , то есть отношение частот интервала между двумя соседними нотами, составляет корень двенадцатой степени из двух :

Это эквивалентно:

Этот интервал делится на 100 центов .

Расчет абсолютных частот [ править ]

См. Также: Частоты клавиш фортепиано

Чтобы найти частоту P n примечания в 12-TET, можно использовать следующее определение:

В этой формуле P n обозначает высоту тона или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P a относится к частоте опорного тона. n и a относятся к номерам, присвоенным желаемой и опорной высоте, соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, присвоенных последовательным полутонам. Например, A 4 (эталонная высота тона) - это 49-я клавиша от левого края фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C 4 ( средний C ) и F # 4 - это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать, чтобы найти частоту C4 и F # 4  :

Сравнение с интонацией [ править ]

Интервалы 12-TET очень близко аппроксимируют некоторые интервалы только по интонации . [22] Пятые и четвертые почти неотличимо близки к точным интервалам, в то время как трети и шестые находятся дальше.

В следующей таблице размеры различных интервалов справедливости сравниваются с их аналогами с равным темпом, указанными как в соотношении, так и в центах .

ИмяТочное значение в 12-TETДесятичное значение в 12-TETЦентовПросто интонационный интервалЦенты за интонациюРазница
Унисон ( К )2 0 ⁄ 12 = 1101 ⁄ 1 = 100
Незначительная секунда ( C ♯ / D ♭ )2 1 ⁄ 12 = 12 √ 21,05946310016 ⁄ 15 = 1,06666…111,73-11,73
Большая секунда ( D )2 2 ⁄ 12 = 6 √ 21,1224622009 ⁄ 8 = 1,125203,91-3,91
Малая третья ( D ♯ / E ♭ )2 3 ⁄ 12 = 4 √ 21,1892073006 ⁄ 5 = 1,2315,64-15,64
Большая третья ( E )2 4 ⁄ 12 = 3 √ 21,2599214005 ⁄ 4 = 1,25386,31+13,69
Идеальный четвертый ( F )2 5 ⁄ 12 = 12 √ 321,334845004 ⁄ 3 = 1,33333…498,04+1,96
Тритон ( F ♯ / G ♭ )2 6 ⁄ 12 = √ 21,4142146007 ⁄ 5 = 1,4 10 ⁄ 7 = 1,42857 ...
582,51
617,49		+17,49
-17,49
Идеальная пятая ( G )2 7 ⁄ 12 = 12 √ 1281,4983077003 ⁄ 2 = 1,5701,96-1,96
Незначительный шестой ( G ♯ / A ♭ )2 8 ⁄ 12 = 3 √ 41,5874018008 ⁄ 5 = 1,6813,69-13,69
Шестой майор ( А )2 9 ⁄ 12 = 4 √ 81,6817939005 ⁄ 3 = 1,66666…884,36+15,64
Незначительный седьмой ( A ♯ / B ♭ )2 10 ⁄ 12 = 6 √ 321,781797100016 ⁄ 9 = 1,77777…996,09+3,91
Большой седьмой ( B )2 11 ⁄ 12 = 12 √ 20481.887749110015 ⁄ 8 = 1,8751088,27+11,73
Октава ( C )2 12 ⁄ 12 = 2212002 ⁄ 1 = 21200.000

Семитоновое равное деление пятого [ править ]

Скрипки, альты и виолончели настроены в идеальных квинтах (G - D - A - E для скрипок и C - G - D - A для альтов и виолончелей), что говорит о том, что их полутоновое соотношение немного выше, чем в обычный двенадцатитональный равный темперамент. Поскольку идеальная квинта находится в соотношении 3: 2 со своим базовым тоном, и этот интервал покрывается 7 ступенями, каждый тон находится в соотношении 7 √ 3 ⁄ 2 к следующему (100,28 цента), что обеспечивает идеальную квинту. с соотношением 3: 2, но немного расширенной октавой с соотношением ≈ 517: 258 или ≈ 2,00388: 1, а не обычным соотношением 2: 1, потому что двенадцать идеальных квинт не равны семи октавам. [23] Однако во время реальной игры скрипач выбирает высоту звука на слух, и только четыре незакрепленных звука струн гарантированно демонстрируют это соотношение 3: 2.

Другие равные темпераменты [ править ]

См. Также: Sonido 13

5 и 7 тоновые темпераменты в этномузыкологии [ править ]

Приближение 7-тет

Пяти- и семитональный равный темперамент ( 5-TET Play ( справка · информация ) и 7-TET Play ( справка · информация ) ) с 240 шагами Play ( справка · информация ) и 171 Play ( справка · информация ) соответственно. общий.    

5-TET и 7-TET обозначают конечные точки допустимого диапазона настройки синтонной темперации , как показано на рисунке 1 .

  • В 5-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 720 центов (в верхней части континуума настройки) и отмечает конечную точку на континууме настройки, в которой ширина второстепенной секунды сокращается до ширины 0 центов.
  • В 7-TET темперированная идеальная квинта имеет ширину 686 центов (в нижней части континуума настройки) и отмечает конечную точку в континууме настройки, в которой второстепенная секунда расширяется до такой же ширины, как и большая секунда (по 171 цент каждая. ).

5-тональная ровная темперация [ править ]

Индонезийские гамеланы настроены на 5-ТЕТ согласно Кунсту (1949), но согласно Худу (1966) и Макфи (1966) их настройка широко варьируется, и, согласно Тензеру (2000), они содержат растянутые октавы . Сейчас общепризнано, что из двух основных систем настройки в музыке гамелана, слендро и пелог , только слендро несколько напоминает пятитональный равный темперамент, в то время как пелог весьма неравен; однако Surjodiningrat et al. (1972) проанализировал пелог как семитоновую подмножество девятитональной равной темперации ( игра с шагом 133 цента ( справка · информация ) ). 

7-тональная ровная темперация [ править ]

Тайский ксилофон измеряется Мортоном (1974) «варьировался только плюс или минус 5 центов,» с 7-ТЕТ. По словам Мортона, «тайские инструменты с фиксированной высотой звука настроены на эквидистантную систему из семи высот на октаву ... Однако, как и в западной традиционной музыке, все высоты звуковой системы не используются в одном режиме (часто называемом ' scale '); в тайской системе пять из семи используются в основных тонах в любом режиме, таким образом устанавливая образец неравноудаленных интервалов для режима ". [24] Играть ( помощь · информация ) 

Шкала южноамериканских индейцев доинструментальной культуры, измеренная Бойлсом (1969), характеризовалась 175-процентным семитональным равным темпераментом, который слегка растягивает октаву, как в инструментальной музыке гамелана.

В китайской музыке традиционно используется 7-TET. [25] [26]

Различные равные темпераменты [ править ]

Система обозначений Исли Блэквуда для 16 одинаковых темпераментов: интервалы обозначены так же, как и те, к которым они приближаются, и существует меньше энгармонических эквивалентов. [27] Играть ( помощь · информация ) 
Сравнение равных темпераментов от 9 до 25 (по Sethares (2005), с. 58). [1]

24 EDO , четверть тоновая шкала(или 24-TET), была популярной микротональной настройкой в ​​20-м веке, вероятно, потому что она представляла собой удобную точку доступа для композиторов, использующих стандартную высоту звука и нотацию западных 12 EDO, которые также интересовались микротональностью. Поскольку 24 EDO содержат все высоты звука 12 EDO, а также новые высоты на полпути между каждой смежной парой из 12 полей EDO, они могут использовать дополнительные цвета без потери какой-либо тактики, доступной в 12-тональной гармонии. Тот факт, что 24 кратно 12, также позволил легко достичь 24 EDO инструментально, используя два традиционных инструмента 12 EDO, специально настроенных на четверть тона, например, два фортепиано, что также позволяло каждому исполнителю (или одному исполнителю играть на другом фортепиано) каждой рукой), чтобы прочитать знакомые 12-тональные обозначения.Различные композиторы, в том числе Чарльз Айвс, экспериментировали с музыкой для четвертьтонных фортепиано. 24 EDO очень хорошо аппроксимирует 11-ю гармонику, в отличие от 12 EDO.

19 ОКБ знаменито, и некоторые инструменты настроены в 19 ОКБ. Он имеет немного более плоскую идеальную пятую часть (694 цента), но ее основная шестая часть находится менее чем в одном центе от основной шестой части только интонации (884 цента). Его второстепенная треть также составляет менее цента от интонации. Его идеальная четверть (503 цента) всего на 5 центов выше интонации и на 3 цента с точностью до 12 тет.

23 EDO - самый крупный EDO, который не может аппроксимировать 3-ю, 5-ю, 7-ю и 11-ю гармоники (3: 2, 5: 4, 7: 4, 11: 8) в пределах 20 центов, что делает его привлекательным для микротоналистов, ищущих необычный микротональный звук. гармоничная территория.

27 EDO - это наименьший EDO, который однозначно представляет все интервалы, включающие первые восемь гармоник. Он смягчает семельную запятую, но не синтоническую запятую .

29 EDO - это наименьшее количество равных делений октавы, при котором получается идеальная квинта лучше, чем 12 EDO. Его основная треть примерно такая же неточная, как 12-TET; однако он настроен ровно на 14 центов, а не на 14 центов. Он также настраивает 7-ю, 11-ю и 13-ю гармоники примерно на одинаковую величину. Это означает, что такие интервалы, как 7: 5, 11: 7, 13:11 и т. Д., Очень хорошо сочетаются в 29-TET.

31 EDO защищали Христиан Гюйгенс и Адриан Фоккер . 31 EDO имеет немного менее точную пятую часть, чем 12 EDO, но обеспечивает почти только мажорные трети и обеспечивает приличное совпадение для гармоник, по крайней мере, до 13, из которых седьмая гармоника особенно точна.

34 EDO дает несколько меньшие суммарные комбинированные ошибки приближения к 5-предельным отношениям 3: 2, 5: 4, 6: 5 и их инверсии, чем 31 EDO, хотя приближение 5: 4 хуже. 34 EDO не приближает коэффициенты, включающие простую семерку. Он содержит тритон с содержанием 600 центов, так как это EDO с четным номером.

41 EDO - это второе наименьшее количество равных подразделений, которое дает лучшую идеальную пятую часть, чем 12 EDO. Его основная треть точнее, чем 12 EDO и 29 EDO, что составляет около 6 центов. Это не означает один, поэтому он различает 10: 9 и 9: 8, в отличие от 31edo. Он более точен в 13-м лимите, чем 31edo.

46 EDO обеспечивает слегка резкие мажорные трети и идеальные квинты, придавая трезвучиям характерный яркий звук. Гармоники до 11 аппроксимируются с точностью до 5 центов, при этом 10: 9 и 9: 5 составляют одну пятую цента от чистого. Поскольку это не система с одинарным значением, она различает 10: 9 и 9: 8.

53 EDO лучше при аппроксимации традиционных только созвучия , чем 12, 19 или 31 EDO, но имел только случайное использование. Его чрезвычайно хорошие идеальные квинты делают его взаимозаменяемым с расширенной пифагорейской настройкой , но он также учитывает раскольнический темперамент и иногда используется в теории турецкой музыки . Однако это не соответствует требованиям темпераментов среднего человека, которые позволяют легко дотянуться до хороших третей через цикл квинт. В 53 EDO самые согласные трети могли бы быть достигнуты вместо этого с помощью пифагорейской уменьшенной четвертой (CF ♭ ), поскольку это пример схизматического темперамента , как и 41 EDO.

72 EDO хорошо аппроксимирует многие интонационные интервалы, даже в пределах 7 и 11, таких как 7: 4, 9: 7, 11: 5, 11: 6 и 11: 7. 72 EDO преподавали, писали и исполняли на практике Джо Манери и его ученики (чьи атональные наклонности обычно избегают любых ссылок на просто интонацию).как бы то ни было). Его можно рассматривать как расширение 12 EDO, потому что 72 кратно 12. 72 EDO имеет наименьший интервал, который в шесть раз меньше, чем наименьший интервал 12 EDO, и, следовательно, содержит шесть копий 12 EDO, начинающихся на разных высотах. Он также содержит три копии 24 ОКБ и две копии 36 ОКБ, которые сами по себе кратны 12 ОКБ. 72 EDO также подвергался критике за его избыточность за счет сохранения плохих приближений, содержащихся в 12 EDO, несмотря на то, что они не требовались для каких-либо нижних пределов только интонации (например, 5-предел).

96 EDO аппроксимирует все интервалы в пределах 6,25 цента, что едва различимо. Будучи восьмикратным числом, кратным 12, его можно полностью использовать как обычный 12 EDO. Его отстаивали несколько композиторов, особенно Хулиан Каррильо с 1924 по 1940-е годы. [28]

Другие равные подразделения октавы, которые находили время от времени, включают 15 EDO , 17 EDO , 19 EDO и 22 EDO .

2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 являются знаменателями из первых дробей из бревна 2 (3), так что 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 двенадцатых (и пятые), являясь в соответствующих равных темпераментах, равных целому числу октав, лучше приближения 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665 и 15601 всего лишь двенадцатые / пятые, чем для любых одинаковых темпераментов с меньшим количеством тонов. [29] [30]

1, 2, 3, 5, 7, 12, 29, 41, 53, 200 ... (последовательность A060528 в OEIS ) - это последовательность делений октавы, которая обеспечивает все лучшее и лучшее приближение к идеальной квинте. Связанные последовательности содержат деления, аппроксимирующие другие интервалы. [31]

Это приложение: [1] вычисляет частоты, приблизительные центы и значения изменения высоты тона MIDI для любых систем с равным делением октавы. Обратите внимание, что «скругленный» и «напольный» производят одинаковое значение изменения высоты тона MIDI.

Равные темпераменты неоктавных интервалов [ править ]

Уравновешенная версия шкалы Болена-Пирса состоит из соотношения 3: 1, 1902 цента, условно идеальная квинта плюс октава (то есть идеальная двенадцатая), называемая в этой теории тритаве ( play ( help · info ) ) и разделить на тринадцать равных частей. Это обеспечивает очень точное соответствие справедливо настроенным отношениям, состоящим только из нечетных чисел. Каждый шаг стоит 146,3 цента ( игра ( помощь · информация ) ) или 13 √ 3 .  

Венди Карлос создала три необычных одинаковых темперамента после тщательного изучения свойств возможных темпераментов с шагом от 30 до 120 центов. Их называли альфа , бета и гамма . Их можно рассматривать как равные части идеальной пятой части. Каждый из них дает очень хорошее приближение нескольких интервалов. [32] Их размер шага:

  • альфа : 9 √ 3 ⁄ 2 (78,0 центов) Воспроизвести ( помощь · информация ) 
  • бета : 11 √ 3 ⁄ 2 (63,8 цента) Играть ( помощь · информация ) 
  • гамма : 20 √ 3 ⁄ 2 (35,1 цента) Воспроизвести ( помощь · информация ) 

Альфа и Бета можно услышать в заглавной песне ее альбома 1986 года Beauty in the Beast .

Пропорции между полутоном и целым тоном [ править ]

В этом разделе полутон и весь тон могут не иметь своих обычных значений 12-EDO, поскольку в нем обсуждается, как они могут быть смягчены разными способами, по сравнению с их простыми версиями, для создания желаемых отношений. Пусть количество шагов в полутоне будет s , а количество шагов в тоне будет t .

Существует ровно одно семейство одинаковых темпераментов, которое фиксирует полутон для любой правильной части целого тона, сохраняя при этом ноты в правильном порядке (что означает, например, что C, D, E, F и F ♯ находятся в возрастающем порядке). порядок, если они сохраняют свои обычные отношения с C). То есть фиксация q как правильной дроби в отношении qt = s также определяет уникальное семейство из одного равного темперамента и его кратных, которые соответствуют этому отношению.

Например, где k - целое число, 12 k -EDO устанавливает q = 1 ⁄ 2 , а 19 k -EDO устанавливает q = 1 ⁄ 3 . Наименьшие кратные в этих семействах (например, 12 и 19 выше) обладают дополнительным свойством не иметь нот вне круга квинт . (В целом это неверно; в 24-EDO полу-диезы и полу-диезы не находятся в круге квинт, начиная с C.) Крайний случай - 5 k -EDO, где q = 0 и полутон становится унисон, а 7 k -EDO, где q = 1, а полутон и тон - это один и тот же интервал.

Как только кто-то знает, сколько шагов полутона и тона в этой одинаковой темперации, он может найти количество шагов в октаве. Равная темперация, отвечающая вышеуказанным свойствам (в том числе отсутствие нот вне круга квинт), делит октаву на шаги 7 t - 2 с , а идеальная квинта - на 4 шага t - s . Если есть ноты вне круга квинт, затем нужно умножить эти результаты на n , которое представляет собой количество неперекрывающихся кругов квинт, необходимых для создания всех нот (например, две в 24-EDO, шесть в 72-EDO). (Нужно взять небольшой полутон для этой цели: 19-EDO имеет два полутона, один из которых 1 / 3 тона , а другие2 ⁄ 3. )

Наименьшее из этих семейств - 12 k- EDO, и, в частности, 12-EDO - это наименьший равный темперамент, обладающий вышеуказанными свойствами. Кроме того, он также делает полутон ровно половиной целого тона, что является наиболее простым соотношением. Это некоторые из причин, по которым 12-EDO стал наиболее часто используемым равным темпераментом. (Другая причина заключается в том, что 12-EDO - это наименьший равный темперамент, близкий к 5-предельной гармонии, следующим по наименьшему значению является 19-EDO.)

Каждый выбор дроби q для отношения приводит к ровно одному семейству одинаковых темпераментов, но обратное неверно: 47-EDO имеет два разных полутона, где один составляет 1 ⁄ 7 тона, а другой - 8 ⁄ 9 , которые не являются дополнениями. друг друга как в 19-ОКБ ( 1 ⁄ 3 и 2 ⁄ 3 ). Взятие каждого полутона приводит к разному выбору идеальной квинты.

Связанные системы настройки [ править ]

Регулярные диатонические строи [ править ]

Рисунок 1: Континуум регулярных диатонических строев , который включает в себя множество известных "равных темпераментов" (Milne 2007). [33]

Диатоническая настройка в двенадцать равных может быть обобщена на любую обычную диатоническую настройку, делящую октаву как последовательность шагов TTSTTTS (или ее вращение), при этом все T и все S имеют одинаковый размер, а S меньше, чем T. В двенадцати равных S является полутоном и составляет ровно половину размера тона T. Когда S уменьшаются до нуля, результатом становится TTTTT или пятитональная равная темперация. По мере увеличения полутонов в конечном итоге все шаги становятся одинаковыми. размер, и в результате получается семь тонов равного темперамента. Эти две конечные точки не входят в обычные диатонические настройки.

Ноты в обычном диатоническом строе соединены вместе циклом из семи темперированных квинт. Двенадцатитоновая система аналогичным образом обобщает последовательность CDCDDCDCDCDD (или ее вращение) хроматических и диатонических полутонов, соединенных вместе в цикле из двенадцати пятых. В этом случае семь равных получается в пределе, поскольку размер C стремится к нулю, и пять равных - это предел, поскольку D стремится к нулю, в то время как двенадцать равных, конечно же, в случае C = D.

Некоторые из промежуточных размеров тонов и полутонов также могут быть созданы в системах одинаковой темперации. Например, если диатонический полутон вдвое больше хроматического полутона, то есть D = 2 * C, результат будет равен девятнадцати, с одним шагом для хроматического полутона, двумя шагами для диатонического полутона и тремя шагами для тона и общим числом. шагов 5 * T + 2 * S = 15 + 4 = 19 шагов. Полученная двенадцатитоновая система очень близка к исторически важной 1/3 запятой, означающей один.

Если хроматический полутон составляет две трети диатонического полутона, то есть C = (2/3) * D, результат будет тридцать один равный, с двумя шагами для хроматического полутона, тремя шагами для диатонического полутона и пять шагов для тона, где 5 * T + 2 * S = 25 + 6 = 31 шаг. Полученная двенадцатитоновая система очень близка к исторически важной 1/4 запятой, означающей единицу.

См. Также [ править ]

  • Просто интонация
  • Музыкальная акустика (физика музыки)
  • Музыка и математика
  • Микротюнер
  • Микротональная музыка
  • Настройка фортепиано
  • Список подразумеваемых интервалов
  • Диатонический и хроматический
  • Электронный тюнер
  • Музыкальный тюнинг

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

  1. ^ a b Sethares сравнивает несколько одинаковых темпераментов на графике с осями, перевернутыми относительно осей в первом сравнении равных темпераментов, и идентичными осями во втором. (рис. 4.6, стр. 58)
  2. ↑ О'Доннелл, Майкл. «Перцептивные основы звука» . Проверено 11 марта 2017 .
  3. ^ История музыкальной пека в Европе p493-511 Герман Гельмгольц, Александр Дж.Эллис на ощущениях тона , Dover Publications, Inc., НьюЙорк
  4. ^ Varieschi, Г., и Гувер, C. (2010). Интонация и компенсация струнных инструментов. Американский журнал физики, 78 (47), 47-55. https://doi.org/10.1119/1.3226563
  5. ^ a b Фриц А. Каттнер. п. 163.
  6. ^ Фриц А. Каттнер. «Жизнь и творчество принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента», стр. 200, Ethnomusicology , Vol. 19, № 2 (май 1975 г.), стр. 163–206.
  7. ^ Кеннет Робинсон: критическое исследование вклада Чу Цай-юй в теорию равного темперамента в китайской музыке . (Sinologica Coloniensia, Bd. 9.) x, 136 стр. Висбаден: Franz Steiner Verlag GmbH, 1980. DM 36. p.vii «Чу-Цайю - первый разработчик математики« равного темперамента »в любой точке мира.
  8. ^ а б Робинсон, Кеннет Г. и Джозеф Нидхэм. 1962. «Физика и физическая техника». В «Наука и цивилизация в Китае», т. 4: «Физика и физические технологии», часть 1: «Физика», под редакцией Джозефа Нидхэма. Кембридж: Издательство университета. п. 221.
  9. ^ Фриц А. Каттнер. п. 200.
  10. ^ Джин Дж. Чо «Значение открытия музыкального равного темперамента в истории культуры», http://en.cnki.com.cn/Article_en/CJFDTOTAL-XHYY201002002.htm Архивировано 15 марта2012 г. на Wayback Машина
  11. ^ "Количественная оценка ритуала: политическая космология, изысканная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века Роджер Харт Отделения истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин" . Uts.cc.utexas.edu. Архивировано из оригинала на 2012-03-05 . Проверено 20 марта 2012 .
  12. ^ Наука и цивилизация в Китае, Том IV: 1 (Физика), Джозеф Нидхэм, Cambridge University Press, 1962–2004, стр 220 и далее.
  13. ^ The Shorter Science & Civilization in China, Сокращение Колина Ронана оригинального текста Джозефа Нидхэма, стр. 385
  14. ^ Лау Хансон, Абакус и практическая математика, стр. 389 (на китайском劳 汉 生 《珠算 与 实用 数学》 389 页)
  15. Перейти ↑ Galilei, V. (1584). Il Fronimo ... Dialogo sopra l'arte del bene intavolare. Г. Скотто : Венеция, сл. 80–89.
  16. ^ "Resound - Corruption of Music" . Philresound.co.uk. Архивировано из оригинала на 2012-03-24 . Проверено 20 марта 2012 .
  17. ^ Джакомо Горзанис, c. 1525 - ок. 1575 Intabolatura di liuto. Женева, 1982 г.
  18. ^ "Spinacino 1507a: Тематический указатель" . Аппалачский государственный университет. Архивировано из оригинала на 2011-07-25 . Проверено 14 июня 2012 .
  19. ^ "Van de Spiegheling der singconst, редактор Рудольф Раш, The Diapason Press" . Diapason.xentonic.org. 2009-06-30. Архивировано из оригинала на 2011-07-17 . Проверено 20 марта 2012 .
  20. ^ "Лютни, альты, темпераменты" ISBN Марка Линдли 978-0-521-28883-5 
  21. ^ Andreas Werckmeister: Musicalische парадоксальный-Дискурс, 1707
  22. ^ Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Da Capo Press. п. 134 . ISBN 0-306-80106-X.
  23. ^ Кордье, Серж. «Le tempérament égal à quintes justes» (на французском языке). Association pour la Recherche et le Développement de la Musique . Проверено 2 июня 2010 .
  24. ^ Мортон, Дэвид (1980). "Музыка Таиланда", Музыка многих культур , стр.70. Мэй, Элизабет, изд. ISBN 0-520-04778-8 . 
  25. ^ 有关 "七 平均 律" 新 文献 著作 的 发现[Находки новых литератур о гепта - равном темпераменте] (на китайском языке). Архивировано из оригинала на 2007-10-27. «Гепта-ровный темперамент» в нашей народной музыке всегда был спорным вопросом.
  26. ^ 七 平均 律 "琐谈 - 兼 及 旧式 均 孔 曲笛 制作 与 转调[аннотация к «Семерочной уравнительной системе» ] (на китайском языке). Архивировано из оригинала на 2007-09-30 . Проверено 25 июня 2007 . От флейты в течение двух тысяч лет производственного процесса и японской сякухати, оставшейся в производстве династий Суй и Тан, и фактического темперамента, идентификации людей, использующих так называемые «Семь законов», по крайней мере, две тысячи лет истории; и решил, что эта система закона связана с законом флейты.
  27. ^ Майлз Ли Скиннер (2007). К четвертоновому синтаксису: анализ избранных произведений Блэквуда, Хабы, Айвса и Вышнеградского , с. 55. ISBN 9780542998478 . 
  28. ^ Monzo, Джо (2005). «Равномерный темперамент» . Энциклопедия теории микротональной музыки Tonalsoft . Джо Монцо . Проверено 26 февраля 2019 .
  29. ^ "665edo" . xenoharmonic (микротональная вики). Архивировано из оригинала на 2015-11-18 . Проверено 18 июня 2014 .
  30. ^ "сходящиеся (log2 (3), 10)" . WolframAlpha . Проверено 18 июня 2014 .
  31. ^
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3 (последовательность A054540 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5 (последовательность A060525 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7 (последовательность A060526 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8 (последовательность A060527 в OEIS )
    • 4: 3 и 3: 2, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 7: 4 и 8: 7, 16:11 и 11: 8, 16:13 и 13: 8 (последовательность A060233 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45 (последовательность A061920 в OEIS )
    • 3: 2 и 4: 3, 5: 4 и 8: 5, 6: 5 и 5: 3, 9: 8 и 16: 9, 10: 9 и 9: 5, 16:15 и 15: 8, 45: 32 и 64:45, 27:20 и 40:27, 32:27 и 27:16, 81:64 и 128: 81, 256: 243 и 243: 128 (последовательность A061921 в OEIS )
    • 5: 4 и 8: 5 (последовательность A061918 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3 (последовательность A061919 в OEIS )
    • 6: 5 и 5: 3, 7: 5 и 10: 7, 7: 6 и 12: 7 (последовательность A060529 в OEIS )
    • 11: 8 и 16:11 (последовательность A061416 в OEIS )
  32. ^ Карлос, Венди. «Три асимметричных деления октавы» . wendycarlos.com . ООО "Серендип" . Проверено 1 сентября 2016 .
  33. ^ Милн, А., Sethares, WA и Пламондон, J., "Изоморфные Контроллеры и динамической настройки: Инвариантная Fingerings Поперек Tuning Continuum" Архивированные 2016-01-09 в Wayback Machine , Computer Music Journal , Winter 2007, Vol. 31, № 4, стр. 15-32.

Источники [ править ]

  • Чо, Джин Джинсионг. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Льюистон, Нью-Йорк: Эдвин Меллен Пресс .
  • Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вам это должно быть небезразлично) . WWNorton & Company, 2007.
  • Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг . Michigan State University Press, 1991. ISBN 0-87013-290-3 
  • Сетхарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, масштаб (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN 1-85233-797-4.
  • Surjodiningrat, W., Sudarjana, PJ, and Susanto, A. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте , Gadjah Mada University Press, Джокджакарта, 1972 г. Цитируется по https://web.archive.org/web/ 20050127000731 / http: //web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm . Проверено 19 мая 2006 года.
  • Стюарт, П. Дж. (2006) «От Галактики к Галактике: Музыка Сфер» [2]
  • Храмов, Михаил. «Аппроксимация 5-предельного только интонации. Компьютерное моделирование MIDI в отрицательных системах равных делений октавы», Труды Международной конференции SIGMAP-2008 [ постоянная мертвая ссылка ] , 26–29 июля 2008 г., Порту , стр. 181–184 , ISBN 978-989-8111-60-9 

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Ощущения тона - основополагающая работа Германа фон Гельмгольца по акустике и звуковому восприятию. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430-556, (pdf страницы 451-577)]

Внешние ссылки [ править ]

  • Xenharmonic вики по EDO против равных темпераментов
  • Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
  • А.Орландини: Музыкальная акустика
  • «Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
  • Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
  • Фрактальная микротональная музыка , Джим Кукула .
  • Все существующие цитаты 18 века об И. С. Бахе и темпераменте
  • Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
  • Хорошие темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
  • Р AVORED С ARDINALITIES О Р С Калес от P Eter B ЦЭКБС