Симметрия вторых производных

В математике , то симметрия вторых производных (также называемых равенством смешанных партиалов ) относится к возможности при определенных условиях (см ниже) поменяв порядок принятия частных производных из функции

${\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \, x_ {2}, \, \ ldots, \, x_ {n} \ right)}$

от n переменных. Симметрия - это утверждение, что частные производные второго порядка удовлетворяют тождеству

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {j}}} \ right) \ = \ {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {i}}} \ right)}$

так что они образуют симметричную матрицу размера n  ×  n , известную как матрица Гессе функции . Это иногда называют теоремой Шварца , теоремы Клеро , или теоремы Юнга . ^{[1] [2]}

В контексте уравнений в частных производных это называется условием интегрируемости Шварца .

Формальные выражения симметрии [ править ]

В символах симметрия может быть выражена как:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)\ =\ {\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)\qquad {\text{or}}\qquad {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial x\,\partial y}}\ =\ {\frac {\partial ^{2}\!f}{\partial y\,\partial x}}.}$

Другое обозначение:

${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f\qquad {\text{or}}\qquad f_{yx}=f_{xy}.}$

С точки зрения композиции из дифференциального оператора D _я , который принимает частичную производную по х _я :

${\displaystyle D_{i}\circ D_{j}=D_{j}\circ D_{i}}$.

Из этого соотношения следует, что кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами , порожденное D _i , коммутативно ; но это верно только как операторы в области достаточно дифференцируемых функций. Легко проверить симметрию применительно к одночленам , так что можно взять многочлены от x _i в качестве области. Фактически гладкие функции - еще одна допустимая область.

История [ править ]

Результат о равенстве смешанных частных производных при определенных условиях имеет давнюю историю. Список неудачных предложенных доказательств начался с доказательства Эйлера , опубликованного в 1740 году, хотя уже в 1721 году Бернулли неявно предположил результат без формального обоснования. ^{[3] [4]} Клеро также опубликовал предложенное доказательство в 1740 году, без каких-либо других попыток до конца 18 века. Начиная с этого периода в течение 70 лет был предложен ряд неполных доказательств. Доказательство Лагранжа (1797 г.) было улучшено Коши (1823 г.), но предполагалось существование и непрерывность частных производных и . ^[5]${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}}$${\displaystyle {\tfrac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}$Другие попытки были предприняты П. Бланше (1841 г.), Дюамелем (1856 г.), Штурмом (1857 г.), Шлемильхом (1862 г.) и Бертраном (1864 г.). Наконец, в 1867 году Линделёф систематически проанализировал все предыдущие ошибочные доказательства и смог привести конкретный контрпример, в котором смешанные производные не могут быть равны. ^{[6] [7]}

Через шесть лет после этого Шварцу удалось дать первое строгое доказательство. ^[8] Дини позже внес свой вклад, найдя более общие условия, чем у Шварца. В конце концов, Джордан в 1883 году нашел чистую и более общую версию, которая до сих пор является доказательством, найденным в большинстве учебников. Незначительные варианты более ранних доказательств были опубликованы Лораном (1885), Пеано (1889 и 1893), Дж. Эдвардсом (1892), П. Хаагом (1893), Дж. К. Виттемором (1898), Виванти (1899) и Пьерпонтом (1905). Дальнейший прогресс был достигнут в 1907–1909 годах, когда Э. У. Хобсон и У. Янгнашел доказательства с более слабыми условиями, чем у Шварца и Дини. В 1918 году Каратеодори дал другое доказательство, основанное на интеграле Лебега . ^[7]

Теорема Шварца [ править ]

В математическом анализе , теорема Шварца (или теорема Клеро о равенстве смешанных частичными ) ^[9] имени Алексис Клеро и Герман Шварц , утверждает , что для функции , определенной на множестве , если точка, что некоторая окрестность из содержится в и имеет в точке непрерывные вторые частные производные , то${\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p} \in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle \forall i,j\in \{1,\,2,\,\ldots ,\,n\},}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}f(\mathbf {p} )={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{i}}}f(\mathbf {p} ).}$

Частные производные этой функции коммутируют в этой точке.

Один простой способ установить эту теорему (в случае , когда , и , которые легко влечет за собой результат в целом), применяя теорему Грина к градиенту от${\displaystyle n=2}$${\displaystyle i=1}$${\displaystyle j=2}$${\displaystyle f.}$

Элементарное доказательство для функций на открытых подмножествах плоскости состоит в следующем (простой редукцией общий случай теоремы Шварца явно сводится к плоскому случаю). ^[10] Позвольте быть дифференцируемой функцией на открытом прямоугольнике, содержащем и предположим, что он непрерывен с и оба непрерывны. Определять${\displaystyle f}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle df}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$

${\displaystyle {\begin{aligned}u\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right),\\v\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a,\,b+k\right),\\w\left(h,\,k\right)&=f\left(a+h,\,b+k\right)-f\left(a+h,\,b\right)-f\left(a,\,b+k\right)+f\left(a,\,b\right).\end{aligned}}}$

Эти функции определены для , где и .${\displaystyle \left|h\right|,\,\left|k\right|<\varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \left[a-\varepsilon ,\,a+\varepsilon \right]\times \left[b-\varepsilon ,\,b+\varepsilon \right]\subset \Omega }$

По теореме о среднем значении , промежуточные значения могут быть найдены в с${\displaystyle \theta ,\,\theta ^{\prime },\,\,\phi ,\,\,\phi ^{\prime }}$${\displaystyle (0,1)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w\left(h,\,k\right)&=u\left(h,\,k\right)-u\left(0,\,k\right)=h\,\partial _{x}u\left(\theta h,\,k\right)\\&=h\,\left[\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+k\right)-\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b\right)\right]\\&=hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)\\w\left(h,\,k\right)&=v\left(h,\,k\right)-v\left(h,\,0\right)=k\,\partial _{y}v\left(h,\,\phi k\right)\\&=k\left[\partial _{y}f\left(a+h,\,b+\phi k\right)-\partial _{y}f\left(a,\,b+\phi k\right)\right]\\&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Поскольку первое равенство ниже можно разделить на :${\displaystyle h,\,k\neq 0}$${\displaystyle hk}$

${\displaystyle {\begin{aligned}hk\,\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=hk\,\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right),\\\partial _{y}\partial _{x}f\left(a+\theta h,\,b+\theta ^{\prime }k\right)&=\partial _{x}\partial _{y}f\left(a+\phi ^{\prime }h,\,b+\phi k\right).\end{aligned}}}$

Устремляя к нулю в последнем равенстве, из предположений непрерывности и теперь следует, что${\displaystyle h,\,k}$${\displaystyle \partial _{y}\partial _{x}f}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}f\left(a,\,b\right)={\frac {\partial ^{2}}{\partial y\partial x}}f\left(a,\,b\right).}$

Это простой классический метод, который можно найти во многих учебниках, например, в Burkill, Apostol и Rudin. ^{[11] [12]}

Хотя приведенный выше вывод является элементарным, подход также можно рассматривать с более концептуальной точки зрения, чтобы результат стал более очевидным. ^{[13] [14] [15] [16] [17]} Действительно, разностные операторы коммутируют и , как правило , как стремится к 0, с подобным утверждением для операторов второго порядка. ^[18] Здесь для вектора на плоскости и вектора направления оператор разности определяется следующим образом:${\displaystyle \Delta _{x}^{t},\,\,\Delta _{y}^{t}}$${\displaystyle \Delta _{x}^{t}f,\,\,\Delta _{y}^{t}f}$${\displaystyle \partial _{x}f,\,\,\partial _{y}f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle z}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle \Delta _{u}^{t}f(z)={f(z+tu)-f(z) \over t}.}$

По основной теореме исчисления для функций на открытом интервале с${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (a.b)\subset I}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}f^{\prime }(x)\,dx=f(b)-f(a).}$

Следовательно

${\displaystyle |f(b)-f(a)|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}|f^{\prime }(c)|}$.

Это обобщенная версия теоремы о среднем значении . Напомним, что из элементарного обсуждения максимумов или минимумов для вещественнозначных функций следует, что если непрерывна на и дифференцируема на , то существует точка в такой, что${\displaystyle f}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle c}$${\displaystyle (a,b)}$

${\displaystyle {f(b)-f(a) \over b-a}=f^{\prime }(c).}$

Для векторных функций с конечномерным нормированным пространством аналога приведенного выше равенства не существует, оно и не выполняется. Но поскольку указанное выше неравенство является полезной заменой. Более того, использование спаривания двойственного к с его двойственной нормой дает следующее равенство:${\displaystyle V}$${\displaystyle \inf f^{\prime }\leq f^{\prime }(c)\leq \sup f^{\prime }}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle \|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\,\sup _{c\in (a,b)}\|f^{\prime }(c)\|}$.

Эти версии теоремы о среднем значении обсуждаются у Рудина, Хёрмандера и в других местах. ^{[19] [12]}

Для более функции на открытом множестве в плоскости, определить и . Кроме того, для набора${\displaystyle f}$${\displaystyle C^{2}}$${\displaystyle D_{1}=\partial _{x}}$${\displaystyle D_{2}=\partial _{y}}$${\displaystyle t\neq 0}$

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}f(x,y)=[f(x+t,y)-f(x,y)]/t,\,\,\,\,\,\,\Delta _{2}^{t}f(x,y)=[f(x,y+t)-f(x,y)]/t}$.

Тогда для открытого множества можно дважды применить обобщенную теорему о среднем значении:${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle \left|\Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq s\leq 1}\left|\Delta _{1}^{t}D_{2}f(x_{0},y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|\leq \sup _{0\leq r,s\leq 1}\left|D_{1}D_{2}f(x_{0}+tr,y_{0}+ts)-D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})\right|.}$

Таким образом , как правило , как стремится к 0. Те же рассуждения показывают , что имеет тенденцию . Следовательно, поскольку разностные операторы коммутируют, то же самое происходит и с операторами в частных производных и , как утверждается. ^{[20] [21] [22] [23] [24]}${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{1}D_{2}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \Delta _{2}^{t}\Delta _{1}^{t}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{2}D_{1}f(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle D_{1}}$${\displaystyle D_{2}}$

Замечание. С помощью двух приложений классической теоремы о среднем значении

${\displaystyle \Delta _{1}^{t}\Delta _{2}^{t}f(x_{0},y_{0})=D_{1}D_{2}f(x_{0}+t\theta ,y_{0}+t\theta ^{\prime })}$

для некоторых и в . Таким образом, первое элементарное доказательство может быть переинтерпретировано с помощью разностных операторов. И наоборот, вместо использования обобщенной теоремы о среднем значении во втором доказательстве можно было бы использовать классическую теорему о среднем значении.${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \theta ^{\prime }}$${\displaystyle (0,1)}$

Доказательство теоремы Клеро с использованием повторных интегралов [ править ]

Свойства повторных интегралов Римана непрерывной функции F на компактном прямоугольнике [ a , b ] × [ c , d ] легко устанавливаются. ^[25] равномерная непрерывность из F сразу следует , что функции и непрерывны. ^[26] Отсюда следует, что${\displaystyle g(x)=\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy}$${\displaystyle h(y)=\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}F(x,y)\,dy\,dx=\int _{c}^{d}\int _{a}^{b}F(x,y)\,dx\,dy}$;

более того, повторный интеграл сразу становится положительным, если F положительно. ^[27] Приведенное выше равенство является простым случаем теоремы Фубини , не затрагивающим теорию меры . Титчмарш (1939) доказывает это прямым способом, используя Римана аппроксимирующих сумм, соответствующих делению прямоугольника на меньшие прямоугольники.

Чтобы доказать теорему Клеро, предположим, что f - дифференцируемая функция на открытом множестве U , для которого существуют и непрерывны смешанные вторые частные производные f _yx и f _xy . Дважды используя основную теорему исчисления ,

${\displaystyle \int _{c}^{d}\int _{a}^{b}f_{yx}(x,y)\,dx\,dy=\int _{c}^{d}f_{y}(b,y)-f_{y}(a,y)\,dy=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

так же

${\displaystyle \int _{a}^{b}\int _{c}^{d}f_{xy}(x,y)\,dy\,dx=\int _{a}^{b}f_{x}(x,d)-f_{x}(x,c)\,dx=f(b,d)-f(a,d)-f(b,c)+f(a,c).}$

Таким образом, два повторных интеграла равны. С другой стороны, поскольку f _xy ( x , y ) непрерывна, второй повторный интеграл может быть выполнен путем сначала интегрирования по x, а затем по y . Но тогда повторный интеграл от f _yx - f _xy на [ a , b ] × [ c , d ] должен обратиться в нуль. Однако, если повторный интеграл непрерывной функции-функции F равен нулю для всех прямоугольников, то F должен быть тождественно равен нулю; в противном случаеF или - F будет строго положительным в какой-то момент и, следовательно, по непрерывности на прямоугольнике, что невозможно. Следовательно, f _yx - f _xy должно тождественно обращаться в нуль, так что f _yx = f _xy всюду. ^{[28] [29] [30] [31] [32]}

Достаточность дважды дифференцируемости [ править ]

Более слабым условием, чем непрерывность вторых частных производных (что подразумевается последними), которого достаточно для обеспечения симметрии, является то, что все частные производные сами по себе дифференцируемы . ^[33] Другое усиление теоремы, в котором утверждается существование переставляемой смешанной частичной, было предоставлено Пеано в короткой заметке 1890 года о Матезисе :

Если определено на открытом множестве ; и существуют повсюду ; непрерывна в точке , а если существует в окрестности , то существует в точке и . ${\displaystyle f:E\to \mathbb {R} }$${\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \partial _{1}f(x,\,y)}$${\displaystyle \partial _{2,1}f(x,\,y)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \partial _{2,1}f}$${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)\in E}$${\displaystyle \partial _{2}f(x,\,y_{0})}$${\displaystyle x=x_{0}}$${\displaystyle \partial _{1,2}f}$${\displaystyle \left(x_{0},\,y_{0}\right)}$${\displaystyle \partial _{1,2}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)=\partial _{2,1}f\left(x_{0},\,y_{0}\right)}$^[34]

Формулировка теории распределения [ править ]

Теория распределений (обобщенных функций) устраняет аналитические проблемы с симметрией. Производная интегрируемой функции всегда может быть определена как распределение, а симметрия смешанных частных производных всегда выполняется как равенство распределений. Использование формального интегрирования по частям для определения дифференцирования распределений возвращает вопрос симметрии к тестовым функциям , которые являются гладкими и, безусловно, удовлетворяют этой симметрии. Более подробно (где f - распределение, записанное как оператор над тестовыми функциями, а φ - тестовая функция),

${\displaystyle \left(D_{1}D_{2}f\right)[\phi ]=-\left(D_{2}f\right)\left[D_{1}\phi \right]=f\left[D_{2}D_{1}\phi \right]=f\left[D_{1}D_{2}\phi \right]=-\left(D_{1}f\right)\left[D_{2}\phi \right]=\left(D_{2}D_{1}f\right)[\phi ].}$

Другой подход, который определяет преобразование Фурье функции, состоит в том, чтобы отметить, что при таких преобразованиях частные производные становятся операторами умножения, которые коммутируют гораздо более очевидно. ^[18]

Требование преемственности [ править ]

Симметрия может быть нарушена, если функция не имеет дифференцируемых частных производных, что возможно, если не выполняется теорема Клеро (вторые частные производные не являются непрерывными ).

Примером несимметрии является функция (из-за Пеано ) ^{[35] [36]}

${\displaystyle f(x,\,y)={\begin{cases}{\frac {xy\left(x^{2}-y^{2}\right)}{x^{2}+y^{2}}}&{\mbox{ for }}(x,\,y)\neq (0,\,0),\\0&{\mbox{ for }}(x,\,y)=(0,\,0).\end{cases}}}$

( 1 )

Это можно визуализировать с помощью полярной формы ; он всюду непрерывен, но его производные в (0, 0) не могут быть вычислены алгебраически. Скорее, предел разностных частных показывает, что , таким образом, график имеет горизонтальную касательную плоскость в (0, 0) , а частные производные существуют и всюду непрерывны. Однако вторые частные производные не являются непрерывными в (0, 0) , и симметрия нарушается. Фактически, по оси x производная y равна , и поэтому:${\displaystyle f(r\cos(\theta ),r\sin(\theta ))={\frac {r^{2}\sin(4\theta )}{4}}}$${\displaystyle f_{x}(0,0)=f_{y}(0,0)=0}$${\displaystyle z=f(x,y)}$${\displaystyle f_{x},f_{y}}$${\displaystyle f_{y}(x,0)=x}$

${\displaystyle f_{yx}(0,0)=\lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f_{y}(\varepsilon ,0)-f_{y}(0,0)}{\varepsilon }}=1.}$

В противоположность этому , вдоль у оси х х -производной , и так . То есть в точке (0, 0) , хотя смешанные частные производные существуют, и в каждой другой точке симметрия сохраняется.${\displaystyle f_{x}(0,y)=-y}$${\displaystyle f_{xy}(0,0)=-1}$${\displaystyle f_{yx}\neq f_{xy}}$

Вышеупомянутая функция, записанная в цилиндрической системе координат, может быть выражена как

${\displaystyle f(r,\,\theta )={\frac {r^{2}\sin {4\theta }}{4}},}$

показывая, что функция осциллирует четыре раза, когда проходит один раз вокруг произвольно малого цикла, содержащего начало координат. Интуитивно поэтому, локальное поведение функции в (0, 0) не может быть описано как квадратичная форма, и, таким образом, матрица Гессе не может быть симметричной.

В общем, обмен ограничивающими операциями не требует коммутации . Учитывая две переменные вблизи (0, 0) и два предельных процесса на

${\displaystyle f(h,\,k)-f(h,\,0)-f(0,\,k)+f(0,\,0)}$

соответствующий сначала сделать h → 0, и сначала сделать k → 0. Это может иметь значение, если посмотреть на условия первого порядка, которые применяются в первую очередь. Это приводит к построению патологических примеров, в которых вторые производные несимметричны. Такого рода пример относится к теории реального анализа, где имеет значение точечное значение функций. Если рассматривать как распределение, значения второй частной производной могут быть изменены в произвольном наборе точек, если это имеет меру Лебега 0. Поскольку в примере гессиан симметричен всюду, кроме (0, 0) , нет противоречия с тот факт, что гессиан, рассматриваемый как распределение Шварца, является симметричным.

В теории лжи [ править ]

Рассмотрим дифференциальные операторы первого порядка D _i как инфинитезимальные операторы в евклидовом пространстве . То есть, D _я в некотором смысле порождает группу , один параметр из сдвигов , параллельная й _я Оу. Эти группы коммутируют друг с другом, а значит, и бесконечно малые образующие ; скобка Ли

[ D _i , D _j ] = 0

является отражением этого свойства. Другими словами, производная Ли одной координаты по другой равна нулю.

Приложение к дифференциальным формам [ править ]

Клеро-Schwarz теорема является ключевым фактом , нужно доказать , что для каждого (или , по крайней мере дважды дифференцируемой) дифференциальной формы , второго внешней производной обращается в нуль: . Это означает, что каждая дифференцируемая точная форма (т. Е. Такая форма , что для некоторой формы ) замкнута (т. Е. ), Поскольку . ^[37]${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{k}(M)}$${\displaystyle d^{2}\omega :=d(d\omega )=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =d\omega }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle d\alpha =0}$${\displaystyle d\alpha =d(d\omega )=0}$

В середине XVIII века теория дифференциальных форм впервые была изучена в простейшем случае 1-форм на плоскости, т. Е. Где и - функции на плоскости. Изучение 1-форм и дифференциалов функций началось с работ Клеро 1739 и 1740 годов. На этом этапе его исследования интерпретировались как способы решения обыкновенных дифференциальных уравнений . Формально Клеро показал, что 1-форма на открытом прямоугольнике замкнута, т. Е. Если и только имеет форму для некоторой функции в круге. Решение для можно записать с помощью интегральной формулы Коши${\displaystyle A\,dx+B\,dy}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \omega =A\,dx+B\,dy}$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle df}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(x,y)=\int _{x_{0}}^{x}A(x,y)\,dx+\int _{y_{0}}^{y}B(x,y)\,dy;}$

в то время как если , закрытое свойство является идентификатором . (На современном языке это одна из версий леммы Пуанкаре .) ^[38]${\displaystyle \omega =df}$${\displaystyle d\omega =0}$${\displaystyle \partial _{x}\partial _{y}f=\partial _{y}\partial _{x}f}$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аксой, А .; Мартелли, M. (2002), "смешанных производных и теоремы Фубини" , колледж математики Журнал MAA , 33 (2): 126-130, DOI : 10,1080 / 07468342.2002.11921930 , S2CID  124561972
• Апостол, Том М. (1974), Математический анализ , Addison-Wesley, ISBN 9780201002881
• Бурбаки, Николя (1952), «Глава III: Mesures sur les espaces localement compacts», Eléments de mathématique, Livre VI: Intégration (на французском языке), Hermann et Cie
• Burkill, JC (1962), Первый курс математического анализа , Cambridge University Press , ISBN 9780521294683 (перепечатано в 1978 г.)
• Картан, Анри (1971), Calcul Differentiel (на французском языке), Герман , ISBN 9780395120330
• Clairaut, AC (1739), "Recherches générales sur le Calcul intégral" , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences : 425–436
• Clairaut, AC (1740), «Sur l'integration ou la построение дифференциальных уравнений первого порядка » , Mémoires de l'Académie Royale des Sciences , 2 : 293–323
• Дьедонне Дж. (1937), «Sur les fonctions продолжает numérique définies dans une produit de deux espaces compacts», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris , 205 : 593–595
• Дьедонне, Дж. (1960), Основы современного анализа , чистой и прикладной математики, 10 , Academic Press, ISBN 9780122155505
• Дьедонне, Дж. (1976), Трактат по анализу. Vol. II. , Чистая и прикладная математика, 10-II, перевод И. Г. Макдональда , Academic Press, ISBN 9780122155024
• Гилки, Питер; Пак, Чонхён; Васкес-Лоренцо, Рамон (2015), Аспекты дифференциальной геометрии I , Синтез лекций по математике и статистике, 15 , Морган и Клейпул, ISBN 9781627056632
• Годеман, Роджер (1998a), Analyze mathématique I (PDF) , Springer
• Годеман, Роджер (1998b), Analyze mathématique II (PDF) , Springer
• Хобсон, EW (1921), Теория функций действительного переменного и теория рядов Фурье. Vol. I. , Cambridge University Press
• Хёрмандер, Ларс (2015), Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье , Classics in Mathematics (2nd ed.), Springer, ISBN 9783642614972
• Иордания, Камилла (1893), Политехнический курс по анализу экологии. Том I. Calcul différentiel (Les Grands Classiques Gauthier-Villars) , Издательство Жака Габа]
• Кац, Виктор Дж (1981), "История дифференциальных форм от Клеро к Пуанкаре", Хистория Mathematica , 8 (2): 161-188, DOI : 10,1016 / 0315-0860 (81) 90027-6
• Лэнг, Серж (1969), настоящий анализ , Addison-Wesley , ISBN 0201041790
• Lindelöf, EL (1867), "Remarques sur les différentes manières d'établir la formule d 2 z / dx dy = d 2 z / dy dx" , Acta Societatis Scientiarum Fennicae , 8 : 205–213
• Лумис, Линн Х. (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Д. Ван Ностранд, hdl : 2027 / uc1.b4250788
• Маршалл, Дональд Э. (2010), Неофициальная заметка о теоремах Фубини и Клеро (PDF) , Вашингтонский университет
• МакГрат, Питер Дж. (2014), «Другое доказательство теоремы Клеро», Amer. Математика. Ежемесячно , 121 (2): 165–166, doi : 10.4169 / amer.math.monthly.121.02.165 , S2CID  12698408
• Нахбин, Леопольдо (1965), Элементы теории приближения , Notas de Matemática, 33 , Рио-де-Жанейро: Fascículo publicado pelo Instituto de Matemática Pura e Aplicada do Conselho Nacional de Pesquisas
• Рудин, Уолтер (1976), Принципы математического анализа , Международная серия по чистой и прикладной математике, McGraw-Hill, ISBN 007054235X
• Schwarz, HA (1873), «Коммуникация» , Archives des Sciences Physiques et Naturelles , 48 : 38–44.
• Спивак, Майкл (1965), Исчисление на многообразиях. Современный подход к классическим теоремам продвинутого исчисления , В. А. Бенджамин
• Тао, Теренс (2006), Анализ II (PDF) , Тексты и материалы по математике, 38 , Книжное агентство Hindustan, DOI : 10.1007 / 978-981-10-1804-6 , ISBN 8185931631
• Титчмарш, EC (1939), Теория функций (2-е изд.), Oxford University Press

Дальнейшее чтение [ править ]

• "Частная производная" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]