В математике полиномы Бернулли , названные в честь Якоба Бернулли , объединяют числа Бернулли и биномиальные коэффициенты . Они используются для разложения функций в ряд и с формулой Эйлера – МакЛорена .
Эти полиномы встречаются при изучении многих специальных функций и, в частности, дзета-функции Римана и дзета-функции Гурвица . Они представляют собой последовательность Аппелла (т.е. последовательность Шеффера для обычного оператора производной ). Для полиномов Бернулли количество пересечений оси x в единичном интервале не увеличивается с увеличением степени . В пределе большой степени они при соответствующем масштабировании приближаются к функциям синуса и косинуса .
Полиномы Бернулли B n могут быть определены производящей функцией . Они также допускают множество производных представлений.
где D = d / dx — дифференцирование по x , а дробь разлагается в формальный степенной ряд . Следует, что
Это похоже на выражение ряда для дзета-функции Гурвица в комплексной плоскости. Действительно, существует связь
где ζ ( s , q ) — дзета-функция Гурвица. Последний обобщает полиномы Бернулли, допуская нецелые значения n .