Использование в этой статье красных ссылок может не соответствовать рекомендациям Википедии . ( Декабрь 2021 г. ) |
В математике интегрируемость - это свойство некоторых динамических систем . Хотя существует несколько различных формальных определений, неформально говоря, интегрируемая система - это динамическая система с достаточно большим количеством сохраняющихся величин или первых интегралов , так что ее поведение имеет гораздо меньше степеней свободы , чем размерность ее фазового пространства ; то есть его эволюция ограничена подмногообразием в его фазовом пространстве.
Три характеристики часто называют характеристиками интегрируемых систем: [1]
Интегрируемые системы можно рассматривать как качественные, сильно отличающиеся от более общих динамических систем, которые, как правило, представляют собой хаотические системы . Последние, как правило, не имеют сохраняющихся величин и асимптотически неразрешимы, поскольку сколь угодно малое возмущение в начальных условиях может привести к сколь угодно большим отклонениям их траекторий за достаточно большое время.
Таким образом, полная интегрируемость - неуниверсальное свойство динамических систем. Тем не менее, многие системы, изучаемые в физике, полностью интегрируемы, в частности, в гамильтоновом смысле, ключевым примером которых являются многомерные гармонические осцилляторы. Другой стандартный пример - движение планеты либо вокруг одного фиксированного центра (например, Солнца), либо вокруг двух. Другие элементарные примеры включают движение твердого тела вокруг его центра масс ( волчок Эйлера ) и движение аксиально-симметричного твердого тела вокруг точки на его оси симметрии ( волчок Лагранжа ).
Современная теория интегрируемых систем возродилась с численным открытием солитонов Мартином Крускалом и Норманом Забуски в 1965 году, что привело к методу обратного преобразования рассеяния в 1967 году. Было осознано, что в физике существуют полностью интегрируемые системы, имеющие бесконечное число степени свободы, такие как некоторые модели волн на мелкой воде ( уравнение Кортевега – де Фриза ), эффект Керра в оптических волокнах, описываемый нелинейным уравнением Шредингера , и некоторые интегрируемые системы многих тел, такие как решетка Тоды .
В частном случае гамильтоновых систем, если имеется достаточно независимых пуассоновских коммутирующих первых интегралов, чтобы параметры потока могли служить системой координат на инвариантных наборах уровня ( листах лагранжевого слоения ), и если потоки полны а множество уровней энергии компактно, отсюда следует теорема Лиувилля-Арнольда ; т.е. существование переменных действие-угол . В обычных динамических системах таких сохраняющихся величин нет; в случае автономных гамильтоновых систем энергия обычно является единственной, а на множествах уровней энергии потоки обычно хаотичны.
Ключевым элементом в характеристике интегрируемых систем является теорема Фробениуса , которая утверждает, что система является интегрируемой по Фробениусу (т. Е. Порождается интегрируемым распределением), если локально она имеет слоение на максимальные интегральные многообразия. Но интегрируемость в смысле динамических систем является глобальным свойством, а не локальным, поскольку требует, чтобы слоение было регулярным, с вложенными в лист подмногообразиями.
Интегрируемые системы не обязательно имеют решения, которые можно выразить в закрытой форме или в терминах специальных функций ; в настоящем смысле интегрируемость - это свойство геометрии или топологии решений системы в фазовом пространстве.
В контексте дифференцируемых динамических систем понятие интегрируемости относится к существованию инвариантных регулярных слоений ; т. е. те, чьи слои являются вложенными подмногообразиями наименьшей возможной размерности, инвариантными относительно потока . Таким образом, существует переменное понятие степени интегрируемости, зависящее от размерности слоев инвариантного слоения. Это понятие имеет уточнение в случае гамильтоновых систем , известное как полная интегрируемость по Лиувиллю (см. Ниже), что чаще всего упоминается в этом контексте.
Расширение понятия интегрируемости также применимо к дискретным системам, таким как решетки. Это определение может быть адаптировано для описания эволюционных уравнений, которые являются либо системами дифференциальных уравнений , либо уравнениями конечных разностей .
Различие между интегрируемыми и неинтегрируемыми динамическими системами имеет качественное значение регулярного движения по сравнению с хаотическим движением и, следовательно, является внутренним свойством, а не только вопросом того, может ли система быть явно интегрирована в точной форме.
В специальном контексте гамильтоновых систем мы имеем понятие интегрируемости в смысле Лиувилля . (См . Теорему Лиувилля – Арнольда .) Интегрируемость по Лиувиллю означает, что существует регулярное слоение фазового пространства на инвариантные многообразия, такое что гамильтоновы векторные поля, связанные с инвариантами слоения, порождают касательное распределение. Другой способ заявить об этом состоит в том, что существует максимальный набор коммутирующих инвариантов Пуассона (т. Е. Функций на фазовом пространстве, у которых скобки Пуассона с гамильтонианом системы и друг с другом обращаются в нуль).
В конечных размерностях, если фазовое пространство симплектическое ( т. Е. Центр алгебры Пуассона состоит только из констант), оно должно иметь четную размерность и максимальное количество независимых коммутирующих инвариантов Пуассона (включая сам гамильтониан) равно . Слои слоения полностью изотропны относительно симплектической формы, и такое максимальное изотропное слоение называется лагранжевым . Все автономныеГамильтоновы системы (т. Е. Те, для которых гамильтоновы скобки и скобки Пуассона не зависят явно от времени) имеют по крайней мере один инвариант; а именно сам гамильтониан, значение которого вдоль потока есть энергия. Если множества уровней энергии компактны, то слои лагранжевого слоения являются торами, а естественные линейные координаты на них называются «угловыми» переменными. Циклы канонической -формы называются переменными действия, а результирующие канонические координаты называются переменными действие-угол (см. Ниже).
Существует также различие между полной интегрируемостью в смысле Лиувилля и частичной интегрируемостью, а также понятие суперинтегрируемости и максимальной суперинтегрируемости. По сути, эти различия соответствуют размерам листов слоения. Когда количество независимых коммутирующих инвариантов Пуассона меньше максимального (но в случае автономных систем больше одного), мы говорим, что система частично интегрируема. Когда существуют дополнительные функционально независимые инварианты, помимо максимального числа, которое может коммутировать Пуассона, и, следовательно, размерность слоев инвариантного слоения меньше n, мы говорим, что система суперинтегрируема. Если существует регулярное слоение с одномерными слоями (кривыми), оно называется максимально суперинтегрируемым.
Когда конечномерная гамильтонова система полностью интегрируема по Лиувиллю и множества уровней энергии компактны, потоки полны, а слои инвариантного слоения являются торами . Затем, как упоминалось выше, существуют специальные наборы канонических координат на фазовом пространстве , известные как переменные действие-угол , такие, что инвариантные торы являются совокупностями совместного уровня переменных действия . Таким образом, они обеспечивают полный набор инвариантов гамильтонова потока (константы движения), а угловые переменные являются естественными периодическими координатами на торе. Движение на инвариантных торах, выраженное в этих канонических координатах, линейно по угловым переменным.
В канонической теории преобразований существует метод Гамильтона – Якоби , в котором решения уравнений Гамильтона ищутся, сначала находя полное решение соответствующего уравнения Гамильтона – Якоби . В классической терминологии это описывается как определение преобразования в канонический набор координат, состоящий из полностью игнорируемых переменных; т.е. те, в которых нет зависимости гамильтониана от полного набора канонических «позиционных» координат, и, следовательно, все соответствующие канонически сопряженные импульсы являются сохраняющимися величинами. В случае компактных наборов уровней энергии это первый шаг к определению переменных действие-угол . В общей теории дифференциальных уравнений в частных производныхТип Гамильтона – Якоби , полное решение (т.е. решение, зависящее от n независимых констант интегрирования, где n - размерность конфигурационного пространства), существует в очень общих случаях, но только в локальном смысле. Следовательно, существование полного решения уравнения Гамильтона – Якоби ни в коем случае не является характеристикой полной интегрируемости в смысле Лиувилля. Большинство случаев, которые можно «явно интегрировать», включают полное разделение переменных., в котором константы разделения предоставляют полный набор требуемых констант интегрирования. Только когда эти константы могут быть переинтерпретированы в рамках полного фазового пространства как значения полного набора коммутирующих функций Пуассона, ограниченных слоями лагранжевого слоения, система может считаться полностью интегрируемой в смысле Лиувилля.
Возрождение интереса к классическим интегрируемым системам произошло с открытием в конце 1960-х годов, что солитоны , которые являются сильно устойчивыми локализованными решениями уравнений в частных производных, таких как уравнение Кортевега – де Фриза (которое описывает одномерную недиссипативную гидродинамику в неглубоких бассейнах), можно понять, рассматривая эти уравнения как бесконечномерные интегрируемые гамильтоновы системы. Их изучение приводит к очень плодотворному подходу к «интегрированию» таких систем, обратному преобразованию рассеяния и более общим обратным спектральным методам (часто сводимым к задачам Римана – Гильберта.), которые обобщают локальные линейные методы, такие как анализ Фурье, на нелокальную линеаризацию посредством решения связанных интегральных уравнений.
Основная идея этого метода состоит в том, чтобы ввести линейный оператор, который определяется положением в фазовом пространстве и который развивается под динамикой рассматриваемой системы таким образом, что ее «спектр» (в подходящем обобщенном смысле) является инвариантным. при эволюции, ср. Слабая пара . В некоторых случаях это обеспечивает достаточно инвариантов или «интегралов движения», чтобы сделать систему полностью интегрируемой. В случае систем, имеющих бесконечное число степеней свободы, таких как уравнение КдФ, этого недостаточно для уточнения свойства интегрируемости по Лиувиллю. Однако для подходящих граничных условий спектральное преобразование фактически может быть интерпретировано как преобразование в полностью игнорируемые координаты., в котором сохраняющиеся величины образуют половину дважды бесконечного набора канонических координат, и поток в них линеаризуется. В некоторых случаях это можно даже рассматривать как преобразование в переменные действие-угол, хотя обычно только конечное число переменных «положения» фактически являются угловыми координатами, а остальные некомпактны.
Другая точка зрения, возникшая в современной теории интегрируемых систем, возникла в вычислительном подходе, впервые предложенном Риого Хирота [2] , который включал замену исходной нелинейной динамической системы на билинейную систему уравнений с постоянными коэффициентами для вспомогательной величины, которая позже стала известная как -функция . Теперь они называются уравнениями Хироты . Хотя первоначально он представлялся просто как вычислительное устройство, без какой-либо четкой связи с методом обратной задачи рассеяния или гамильтоновой структурой, он, тем не менее, дал очень прямой метод, из которого можно было получить важные классы решений, такие как солитоны . τ {\displaystyle \tau }
Впоследствии это было прекрасно интерпретировано Микио Сато [3] и его учениками [4] [5] сначала для случая интегрируемых иерархий PDE, таких как иерархия Кадомцева-Петвиашвили , но затем для гораздо более общих классов интегрируемые иерархии как своего рода универсальный подход с фазовым пространством , в котором, как правило, коммутирующая динамика рассматривалась просто как определяемая фиксированным (конечным или бесконечным) действием абелевой группы на (конечном или бесконечном) грассмановом многообразии. -Функция рассматривалась как определитель оператора проекции от элементов групповой орбиты к некоторому началу в грассманиане, и уравнения Хироты τ {\displaystyle \tau } как выражающие отношения Плюккера , характеризующие вложение Плюккера грассманиана в проективизатин подходящим образом определенного (бесконечного) внешнего пространства, рассматриваемого как фермионное пространство Фока .
Также есть понятие квантовых интегрируемых систем.
В квантовой ситуации функции на фазовом пространстве должны быть заменены самосопряженными операторами в гильбертовом пространстве , а понятие коммутирующих функций Пуассона должно быть заменено коммутирующими операторами. Понятие законов сохранения должно быть специализировано на местных законах сохранения. [6] Каждый гамильтониан имеет бесконечный набор сохраняющихся величин, заданных проекторами его собственным состояниям энергии . Однако это не предполагает какой-либо особой динамической структуры.
Чтобы объяснить квантовую интегрируемость, полезно рассмотреть случай свободных частиц. Здесь вся динамика сводима одним телом. Квантовая система называется интегрируемой, если ее динамика сводится к двум телам. Уравнение Янга – Бакстера является следствием этой сводимости и приводит к тождествам следов, которые обеспечивают бесконечный набор сохраняемых величин. Все эти идеи включены в квантовый метод обратной задачи рассеяния, в котором алгебраический анзац Бете может использоваться для получения явных решений. Примерами квантовых интегрируемых моделей являются модель Либа – Линигера , модель Хаббарда и несколько вариаций модели Гейзенберга . [7]Некоторые другие типы квантовой интегрируемости известны в явно зависящих от времени квантовых задачах, таких как управляемая модель Тэвиса-Каммингса. [8]
В физике полностью интегрируемые системы, особенно в бесконечномерном пространстве, часто называют точно решаемыми моделями. Это затемняет различие между интегрируемостью в гамильтоновом смысле и в более общем смысле динамических систем.
В статистической механике также есть точно решаемые модели, которые более тесно связаны с квантовыми интегрируемыми системами, чем с классическими. Два тесно связанных метода: подход анзаца Бете в его современном понимании, основанный на уравнениях Янга – Бакстера, и квантовый метод обратной задачи рассеяния, обеспечивают квантовые аналоги обратных спектральных методов. Они не менее важны при изучении разрешимых моделей в статистической механике.
Неточное понятие «точная разрешимость» как означающее: «Решения могут быть явно выражены в терминах некоторых ранее известных функций» также иногда используется, как если бы это было внутренним свойством самой системы, а не чисто вычислительной особенностью, которая у нас есть некоторые «известные» функции, в терминах которых могут быть выражены решения. Это понятие не имеет внутреннего значения, поскольку то, что понимается под «известными» функциями, очень часто определяется именно тем фактом, что они удовлетворяют определенным заданным уравнениям, и список таких «известных функций» постоянно растет. Хотя такая характеристика «интегрируемости» не имеет внутренней достоверности, она часто подразумевает такую закономерность, которую следует ожидать от интегрируемых систем.[ необходима цитата ]
Викискладе есть медиафайлы, связанные с интегрируемыми системами . |