В классической механике , то прецессия из твердого тела , такого как сверху под действием силы тяжести не является, вообще говоря , интегрируема проблемой . Однако есть три (или четыре) известных случая, которые интегрируемы: волчок Эйлера , волчок Лагранжа и волчок Ковалевской . [1] [2] В дополнение к энергии, каждая из этих вершин включает в себя три дополнительных константы движения, которые приводят к интегрируемости .
Волчок Эйлера описывает свободную вершину без какой-либо особой симметрии, движущуюся в отсутствие какого-либо внешнего крутящего момента, в котором неподвижная точка является центром тяжести . Волчок Лагранжа представляет собой симметричный волчок, в котором два момента инерции одинаковы, а центр тяжести находится на оси симметрии . Волчок Ковалевской [3] [4] - это специальный симметричный волчок с уникальным соотношением моментов инерции, удовлетворяющих соотношению
То есть два момента инерции равны, третий в два раза меньше, а центр тяжести расположен в плоскости, перпендикулярной оси симметрии (параллельно плоскости двух равных точек). Неголономная Горячева-Чаплыгина (введено Д. Горячев в 1900 году [5] и интегрирован С. Чаплыгин в 1948 году [6] [7] ) также интегрируем (). Его центр тяжести находится в экваториальной плоскости . [8] Доказано, что других голономных интегрируемых волчков не существует. [9]
Гамильтонова формулировка классических волчков
Классический волчок [10] определяется тремя главными осями, определяемыми тремя ортогональными векторами, а также с соответствующими моментами инерции , а также . В гамильтоновой формулировке классических волчков сопряженные динамические переменные являются компонентами вектора углового момента по главным осям
и z -компоненты трех главных осей,
Алгебра Пуассона этих переменных имеет вид
Если положение центра масс определяется выражением , то гамильтониан волчка имеет вид
Тогда уравнения движения определяются следующим образом:
Верхушка Эйлера
Вершина Эйлера, названная в честь Леонарда Эйлера , - это неискрученная волчок с гамильтонианом.
Четыре константы движения - это энергия и три компонента углового момента в лабораторной системе отсчета,
Верх Лагранжа
Волчок Лагранжа, [11] названный в честь Жозефа-Луи Лагранжа , представляет собой симметричный волчок с центром масс вдоль оси симметрии в местоположении,, с гамильтонианом
Четыре константы движения - это энергия , компонента углового момента вдоль оси симметрии, , угловой момент в z -направлении
и величина n -вектора
Ковалевская наверху
Волчок Ковалевской [3] [4] - это симметричный волчок, в котором, а центр масс лежит в плоскости, перпендикулярной оси симметрии . Он был открыт Софией Ковалевской в 1888 году и представлен в ее статье «Sur le problème de la Rotation d'un corps solide autour d'un point fixe», получившей приз Бордина Французской академии наук в 1888 году.
Четыре константы движения - это энергия , инвариант Ковалевской
где переменные определены
компонента углового момента в z -направлении,
и величина n -вектора
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Одэн, Michèle (1996), волчки: Курс на интегрируемые системы , Нью - Йорк: Cambridge University Press , ISBN 9780521779197.
- Перейти ↑ Whittaker, ET (1952). Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел . Издательство Кембриджского университета. ISBN 9780521358835 .
- ^ а б Ковалевская, София (1889 г.), «Sur le problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe» , Acta Mathematica (на французском языке), 12 : 177–232
- ^ а б Перелемов А.М. (2002). Теорет. Мат. Физ. , Volume 131, Number 2, pp. 197–205. (На французском)
- ↑ Горячев, Д. (1900). «О движении твердого материального тела вокруг неподвижной точки в случае A = B = C», Матем. Сб. , 21. с . Цитируется по Bechlivanidis & van Moerbek (1987) и Hazewinkel (2012).
- ↑ Чаплыгин, С.А. (1948). «Новый случай вращения твердого тела, поддерживаемого в одной точке», Собрание сочинений , т. I. С. 118–124. Москва: Гостехиздат. (на русском языке) . Цитируется по Bechlivanidis & van Moerbek (1987) и Hazewinkel (2012).
- ^ Bechlivanidis, C .; ван Moerbek, П. (1987), "Горячева-Чаплыгина и цепочки Тоды" , Связь в математической физике , 110 (2): 317-324, Bibcode : 1987CMaPh.110..317B , DOI : 10.1007 / BF01207371 , S2CID 119927045
- ^ Хазевинкель, Михель; изд. (2012). Энциклопедия математики , стр. 271–2. Springer. ISBN 9789401512886 .
- ^ Строгац, Стивен (2019). Бесконечные силы . Нью-Йорк: Houghton Mifflin Harcourt. п. 287. ISBN. 978-1786492968.
Что еще более важно, она [Софья Васильевна Ковалевская] доказала, что никаких других решаемых вершин существовать не может. Она нашла последний
- ^ Герберт Гольдштейн , Чарльз П. Пул и Джон Л. Сафко (2002). Классическая механика (3-е издание), Аддисон-Уэсли. ISBN 9780201657029 .
- ^ Cushman, RH; Bates, LM (1997), "волчок Лагранжа", Глобальные аспекты классических интегрируемых систем , Базель:. Birkhäuser, стр 187-270, DOI : 10.1007 / 978-3-0348-8891-2_5 , ISBN 978-3-0348-9817-1.
Внешние ссылки
- Ковалевская Вершина - из книги Эрика Вайсштейна "Мир физики"