Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

В математике понятие экстернологии в топологическом пространстве X обобщает основные свойства семейства

ε X cc = {E ⊆ X: X \ E - замкнутое компактное подмножество X}

от дополнений этих замкнутых компактных подпространств из X , которые используются для построения его Alexandroff компактификации . Экстернология позволяет ввести понятие конечной [1] точки, изучать расходимость сетей с точки зрения сходимости к конечным точкам, и это полезный инструмент для изучения и классификации некоторых семейств некомпактных топологических пространств. Его также можно использовать для подхода к топологическому пространству как к пределу других топологических пространств: экстернологии очень полезны, когда к компактному метрическому пространству, вложенному в гильбертово пространство , приближается егооткрытые кварталы .

Определение [ править ]

Пусть (X, τ) - топологическое пространство. Externology на (X, т) является непустой коллекцией ε из открытых подмножеств , удовлетворяющие:

  • Если E 1 , E 2 ∈ ε , то E 1 ∩ E 2 ∈ ε ;
  • если E ∈ ε, U ∈ τ и E ⊆ U , то U ∈ ε .

Внешнее пространство (Х, τ, ε) состоит из топологического пространства (X, т) вместе с externology е . Открытое E, принадлежащее ε , называется внешне-открытым подмножеством . Отображение f: (X, τ, ε) → (X ', τ', ε ') называется внешним отображением, если оно непрерывно и f −1 (E) ∈ ε для всех E ∈ ε' .

Категория внешних пространств и внешних карт будет обозначать через E . Примечательно, что E - полная и коколонная категория.

Некоторые примеры внешних пространств [ править ]

  • Для пространства (X, τ) всегда можно рассматривать тривиальную экстернологию ε tr = {X} и, с другой стороны, полную экстернологию ε tot = τ . Обратите внимание, что экстернология ε является топологией тогда и только тогда, когда пустое множество является членом ε тогда и только тогда, когда ε = τ .
  • Для пространства (X, τ) экстернология ε X cc дополнений замкнутых компактных подмножеств X допускает связь с теорией собственных отображений .
  • Учитывая пространство (X, τ) и подмножество A⊆X семейство ε (X, А) = {U⊆X: A⊆U, U∈τ} является externology в X . Два частных случая с важными приложениями в теории форм и динамических системах , соответственно, следующие:
  • Если A - замкнутое подпространство гильбертова куба X = Q, экстернология ε A = ε (Q, A) является резольвентой A в смысле теории форм.
  • Пусть X - непрерывная динамическая система, а P - подмножество периодических точек ; мы можем рассмотреть экстернологию ε (X, P) . В более общем смысле, если A - инвариантное подмножество, экстернология ε (X, A) полезна для изучения динамических свойств потока .

Применение внешних пространств [ править ]

  • Правильная теория Гомотопический : [1] Непрерывное отображение F: X → Y топологических пространств называется правильной , если для любого замкнутого компакта K из Y , F -1 (К) представляет собой компактное подмножество X . Категория пространств и собственных отображений будет обозначать через P . Эта категория и соответствующая собственная гомотопическая категория очень полезны для изучения некомпактных пространств. Тем не менее, существует проблема, заключающаяся в том, что эта категория не имеет достаточного количества пределов и копределов, и тогда мы не можем развить обычные гомотопические конструкции, такие как петли., гомотопические пределы и копределы и т. д. Ответом на эту проблему является категория внешних пространств E, которая допускает модельные структуры Квиллена и содержит в качестве полной подкатегории категорию пространств и собственных отображений; то есть существует полный и точный функтор P → E, который переводит топологическое пространство (X, τ) во внешнее пространство (X, τ, ε X cc ) .
  • Правильная категория LS : проблема нахождения характеристик Ганеи и Уайтхеда этого собственного инварианта не может быть решена в пределах надлежащей категории из-за отсутствия (со) пределов. Тем не менее распространение этого инварианта на категорию внешних пространств позволяет найти решение такой проблемы. Этот числовой собственный инвариант применялся к изучению открытых трехмерных многообразий .
  • Теория формы : многиеинварианты формы (группы Борсука, внутренние и приближающиеся группы Куигли) компактного метрического пространства могут быть получены как внешние гомотопические группы внешнего пространства, определяемые открытыми окрестностями компактного метрического пространства, вложенного в гильбертовый куб.
  • Дискретные и непрерывные динамические системы (полупотоки и потоки) : существует множество конструкций, которые связывают внешнее пространство с динамической системой, например: для непрерывного (дискретного) потока можно рассматривать внешние пространства, индуцированные открытыми окрестностями подмножество периодических точек , периодических точек Пуассона, омега-пределы и т. д. Конструкции и свойства этих связанных внешних пространств используются для изучения динамических свойств (полупотока) потока.

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b «Собственная теория гомотопии в nLab» . ncatlab.org .
  • М. Карденас, Ф. Ф. Лашерас и А. Кинтеро. Выявление классов когомологий для соответствующей LS-категории. Случай полустабильных трехмерных многообразий , Матем. Proc. Camb. Филос. Soc. (2011).
  • А. Дель Рио, Л. Дж. Эрнандес и М. Т. Ривас Родригес. S-Типы глобальных башен пространств и внешних пространств , Прил. Категория Стро., 17 № 3, 287–301, (2009).
  • L. Español, JM García-Calcines, MC Mínguez. О собственной и внешней последовательности Appl. Категория Стро., 18 , вып. 6, 653–668, (2010).
  • Дж. И. Экстремиана, Л. Дж. Эрнандес и М. Т. Ривас. Факторизации Постникова на бесконечности , Тополь. Appl., 153 , 370–393, (2005).
  • Дж. И. Экстремиана, Л. Дж. Эрнандес и М. Т. Ривас. Подход к динамическим системам с использованием внешних пространств . Научные материалы в честь Мириана Андрес Гомес, 307–318, Univ. La Rioja Serv. Опубл., Логроньо, 2010.
  • JM García-Calcines, PR García-Díaz, A. Murillo Mas. Подход Уайтхеда-Ганеа для собственно категории Люстерника – Шнирельмана . Математика. Proc. Camb. Филос. Soc. 142 (2007), нет. 3, 439–457.
  • Дж. М. Гарсия-Кальчинес, П. Р. Гарсиа-Диас, А. Мурильо Мас, Гипотеза Ганеи в собственной гомотопии через теорию внешней гомотопии . Математика. Proc. Camb. Филос. Soc. 149 (2010), нет. 1, 75–91.
  • JM García-Calcines, M. García Pinillos и LJ Hernández. Категория закрытых моделей для собственных теорий гомотопии и форм , Бюлл. Aust. Математика. Soc. 57 №2, 221–242, (1998).
  • JM García-Calcines и LJ Hernández. Последовательные гомологии , Топол. Прил. 114 /2, 201-225, (2001).
  • JM García-Calcines, M. García Pinillos и LJ Hernández. Замкнутые симплициальные модельные структуры для внешней и собственной гомотопии , Прил. Категория Struct. 12 , № 3, 225–243, (2004).
  • М. Гарсия-Пинильос, Л. Дж. Эрнандес Парисио и М. Т. Ривас Родригес. Точные последовательности и закрытые категории моделей , Прил. Категория Стро., 18 , вып. 4. С. 343–375 (2010). DOI 10.1007 / s10485-008-9176-x (2009).