Процесс Гальтона – Ватсона

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Июль 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Вероятности выживания Гальтона – Ватсона для различных экспоненциальных темпов роста популяции, если можно предположить, что число потомков каждого родительского узла соответствует распределению Пуассона . Для λ  ≤ 1 возможное вымирание произойдет с вероятностью 1. Но вероятность выживания нового типа может быть довольно низкой, даже если λ  > 1, а популяция в целом испытывает довольно сильный экспоненциальный рост .

Процесс Гальтона – Ватсона - это ветвящийся случайный процесс, возникший в результате статистического исследования Фрэнсиса Гальтона исчезновения фамилий . Модели процесса Фамилия как патрилинейные (передающаяся от отца к сыну), в то время как потомство случайно мужское или женский пол, а также имена вымрут , если фамилия линия вымирает (владельцы имя семьи умирает без потомков мужского пола). Это точное описание передачи Y-хромосомы в генетике, и поэтому модель полезна для понимания гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека . Точно так же, поскольку митохондриинаследуются только по материнской линии, та же математическая формулировка описывает передачу митохондрий. Эта формула имеет ограниченную полезность для понимания фактического распределения фамилий, поскольку на практике фамилии меняются по многим другим причинам, и вымирание фамилий является лишь одним из факторов.

История [ править ]

Викторианцы беспокоились, что аристократические фамилии ^{[ нужен пример ]} вымирают. Гальтон первоначально представлял математический вопрос о распределении фамилий в идеализированном населении в 1873 выпуске The Образовательных Таймсов , ^[1] и преподобный Генри Уильям Уотсон ответил с решением. ^[2] Вместе они затем написали статью 1874 года под названием «О вероятности исчезновения семей» в Журнале Антропологического института Великобритании и Ирландии (ныне Журнал Королевского антропологического института ). ^[3] Гальтон и Ватсон, похоже, развили свой процесс независимо от более ранней работы И. Дж. Бьенайме ; см. Heyde and Seneta, 1977. Подробную историю см. у Kendall (1966 и 1975).

Концепции [ править ]

Предположим, для примера, что фамилии передаются всем детям мужского пола от их отца. Предположим, что количество сыновей мужчины - случайная величина, распределенная на множестве {0, 1, 2, 3, ...}. Далее предположим, что количество сыновей разных мужчин - независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение.

Тогда простейший существенный математический вывод состоит в том, что если среднее число сыновей мужчины равно 1 или меньше, то их фамилия почти наверняка вымрет, а если больше 1, то вероятность того, что она выживет, больше нуля. любое заданное количество поколений.

Современные приложения включают в себя вероятность выживания для нового мутантного гена, или инициирование цепной ядерной реакции или динамики вспышек заболеваний в своих первых поколениях распространения, или вероятность исчезновения малого населения из организмов ; а также объяснение (возможно, наиболее близкое к первоначальному интересу Гальтона), почему только горстка мужчин в глубоком прошлом человечества теперь имеет каких-либо выживших потомков по мужской линии, что отражено в довольно небольшом количестве характерных гаплогрупп ДНК Y-хромосомы человека .

Следствием высокой вероятности исчезновения является то , что если линия имеет выжила, это, вероятно, испытали, чисто случайно, необычно высокие темпы роста в своих ранних поколений , по крайней мере, по сравнению с остальной частью населения.

Математическое определение [ править ]

Процесс Гальтона – Ватсона - это случайный процесс { X _n }, который развивается согласно рекуррентной формуле X ₀ = 1 и

${\ Displaystyle X_ {п + 1} = \ сумма _ {j = 1} ^ {X_ {n}} \ xi _ {j} ^ {(n)}}$

где - набор независимых и одинаково распределенных случайных величин с натуральными числами.${\ displaystyle \ {\ xi _ {j} ^ {(n)}: n, j \ in \ mathbb {N} \}}$

По аналогии с фамилиями, X _n можно рассматривать как количество потомков (по мужской линии) в n- м поколении, и можно рассматривать как количество (мужских) детей j- го из этих потомков. . Отношение рекуррентности утверждает, что количество потомков в n + 1-м поколении является суммой по всем потомкам n- го поколения числа потомков этого потомка.${\ Displaystyle \ хи _ {j} ^ {(п)}}$

Вероятность вымирания (т.е. вероятность окончательного вымирания) определяется выражением

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr(X_{n}=0).\,}$

Это явно равно нулю, если у каждого члена популяции есть ровно один потомок. За исключением этого случая (обычно называемого тривиальным случаем) существует простое необходимое и достаточное условие, которое приводится в следующем разделе.

Критерий вымирания процесса Гальтона – Ватсона [ править ]

В нетривиальном случае вероятность окончательного вымирания равна единице, если E { ξ ₁ } ≤ 1, и строго меньше единицы, если E { ξ ₁ }> 1.

Этот процесс можно рассматривать аналитически, используя метод вероятностных производящих функций .

Если количество детей ξ _j в каждом узле следует распределению Пуассона с параметром λ, можно найти особенно простое повторение для общей вероятности вымирания  x _n для процесса, начинающегося с одного человека в момент времени n  = 0:

${\displaystyle x_{n+1}=e^{\lambda (x_{n}-1)},\,}$

давая приведенные выше кривые.

Бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона [ править ]

В описанном выше процессе классической семейной фамилии Гальтон-Ватсон необходимо учитывать только мужчин, поскольку только мужчины передают свою фамилию потомкам. Это фактически означает, что размножение можно смоделировать как бесполое. (Точно так же, если анализируется митохондриальная передача, необходимо учитывать только женщин, поскольку только женщины передают свои митохондрии потомкам.)

Модель, более точно соответствующая фактическому половому воспроизводству, - это так называемый «бисексуальный процесс Гальтона – Ватсона», при котором воспроизводятся только пары. ^{[ необходима цитата ]} ( Бисексуал в данном контексте относится к количеству вовлеченных полов, а не к сексуальной ориентации.) В этом процессе предполагается, что каждый ребенок является мужчиной или женщиной, независимо друг от друга, с определенной вероятностью, а так называемая «функция спаривания» определяет, сколько пар сформируется в данном поколении. Как и раньше, воспроизведение разных пар считается независимым друг от друга. Теперь аналог тривиального случая соответствует случаю, когда каждый самец и самка воспроизводятся ровно в одной паре, имея одного потомка самца и одну женщину, и что функция спаривания принимает значение минимума из числа самцов и самок (которое то же самое со следующего поколения и далее).

Поскольку полное воспроизводство в поколении теперь сильно зависит от функции спаривания, в общем случае не существует простого необходимого и достаточного условия для окончательного исчезновения, как в случае классического процесса Гальтона – Ватсона. ^{[ необходима цитата ]} Однако, за исключением нетривиального случая, концепция усредненного среднего воспроизводимого (Bruss (1984)) допускает общее достаточное условие для окончательного вымирания, которое рассматривается в следующем разделе.

Критерий вымирания [ править ]

Если в нетривиальном случае среднее значение воспроизводства на пару остается ограниченным для всех поколений и не будет превышать 1 для достаточно большого размера популяции, то вероятность окончательного вымирания всегда равна 1.

Примеры [ править ]

Цитирование исторических примеров процесса Гальтона – Ватсона затруднено из-за того, что история фамилий часто значительно отклоняется от теоретической модели. Примечательно, что могут быть созданы новые имена, существующие имена могут быть изменены в течение жизни человека, и люди исторически часто принимали имена не связанных между собой лиц, особенно знати. Таким образом, небольшое количество фамилий в настоящее время само по себе не является свидетельством того, что имена вымерли с течением времени или что они вымерли из-за исчезновения линий фамилий - для этого необходимо, чтобы в прошлом было больше имен и чтобы они вымирают из-за вымирания линии, а не из-за смены имени по другим причинам, например, когда вассалы принимают имя своего лорда.

Китайские имена являются хорошо изученным примером исчезновения фамилий: в настоящее время в Китае используется только около 3100 фамилий по сравнению с 12000, зарегистрированными в прошлом ^{[4] [5],} при этом 22% населения носят имена Ли. , Ван и Чжан (насчитывающих около 300 миллионов человек), а также 200 ведущих имен, охватывающих 96% населения. Имена изменились или вымерли по разным причинам, таким как люди, берущие имена своих правителей, орфографические упрощения, табу на использование символов из имени императора , среди других. ^[5]Хотя исчезновение линий фамилий может быть фактором исчезновения фамилий, это ни в коем случае не единственный и даже не значительный фактор. Действительно, наиболее значительный фактор, влияющий на частоту фамилий, - это другие этнические группы, идентифицирующие себя как хань и принимающие ханьские имена. ^[5] Кроме того, хотя по разным причинам возникли новые имена, их перевесило исчезновение старых имен. ^[5]

Напротив, некоторые страны приняли фамилии только недавно. Это означает, что фамилии у них не исчезли в течение длительного периода времени, а имена были приняты, когда у нации было относительно большое население, а не меньшее население в древние времена. ^[5] Кроме того, эти имена часто выбираются творчески и очень разнообразны. Примеры включают:

• Японские имена , которые обычно используются только после восстановления Мэйдзи в конце 19 века (когда население составляло более 30 000 000 человек), имеют более 100 000 фамилий, фамилии очень разные, и правительство ограничивает супружеские пары использовать одну и ту же фамилию.
• Многие голландские имена включали официальную фамилию только после наполеоновских войн в начале 19 века. Раньше фамилии происходили от отчества ^[6] (например, Янсен = сын Джона), личных качеств (например, де Рийке = богатый), географического положения (например, ван Роттердам) и занятий (например, Виссер = рыбак) , иногда даже вместе (например, Ян Янс ван Роттердам, 1640–1704 ^[7] ). Существует более 68 000 голландских фамилий.
• Тайские имена включают фамилию только с 1920 года, и только одна семья может использовать данную фамилию; отсюда и большое количество тайских имен. Кроме того, тайцы довольно часто меняют свои фамилии, что усложняет анализ.

С другой стороны, некоторые примеры высокой концентрации фамилий не связаны в первую очередь с процессом Гальтона – Ватсона:

• Вьетнамские имена имеют около 100 фамилий, и 60% населения разделяют три фамилии. Одно только имя Нгуен, по оценкам, используется почти 40% населения Вьетнама, а 90% имеют 15 имен. Однако, как показывает история имени Нгуен , это в немалой степени связано с тем, что имена навязываются людям или принимаются по причинам, не связанным с генетическим родством.

См. Также [ править ]

• Ветвящийся процесс
• Ресурсозависимый процесс ветвления
• Родословная коллапс

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• "Выживание одного мутанта" Питера М. Ли из Йоркского университета.
• Простой процесс Гальтона-Ватсона: классический подход , Университет Мюнстера