В геометрии из треугольников , то вписанной и девяти точек окружности треугольника внутренне касательной друг к другу в точке Фейербаха треугольника. Точка Фейербаха - это центр треугольника , а это означает, что ее определение не зависит от расположения и масштаба треугольника. Он внесен в список X (11) в Clark Kimberling «s Энциклопедия Triangle центров , и назван в честь Карла Вильгельма Фейербаха . [1] [2]
Теорема Фейербаха , опубликованная Фейербахом в 1822 г. [3], в более общем плане утверждает, что окружность с девятью точками касается трех вневписанных окружностей треугольника, а также его вписанной окружности. [4] Очень короткое доказательство этой теоремы на основе теоремы Кейси о бикасательных из четырех окружностей , касательных к пятому кругу был опубликован Джоном Кейси в 1866 году; [5] Теорема Фейербаха также использовалась в качестве тестового примера для автоматического доказательства теорем . [6] Три точки касания с вневписанными окружностями образуют треугольник Фейербаха данного треугольника.
Строительство
Вписанной в треугольник ABC представляет собой круг , который касается всех трех сторон треугольника. Его центр, вписанный треугольник, лежит в точке , где три внутренних угол биссектриса треугольника пересекается друг с другом.
Девяти точек окружности еще один круг определяется из треугольника. Он назван так потому, что проходит через девять значимых точек треугольника, среди которых проще всего построить середины сторон треугольника. Круг из девяти точек проходит через эти три средние точки; Таким образом, это окружность из медиального треугольника .
Эти два круга встречаются в одной точке, где они касаются друг друга. Эта точка касания и есть точка Фейербаха треугольника.
С вписанной окружностью треугольника связаны еще три окружности, вневписанные окружности . Это круги, каждая из которых касается трех линий, проходящих через стороны треугольника. Каждая вневписанная окружность касается одной из этих линий с противоположной стороны треугольника и находится на той же стороне, что и треугольник для двух других линий. Как и вписанная окружность, все вневписанные окружности касаются девятиконечной окружности. Их точки касания с девятиточечной окружностью образуют треугольник, треугольник Фейербаха.
Характеристики
Точка Фейербаха лежит на прямой, проходящей через центры двух касательных окружностей, которые ее определяют. Эти центры являются центром и девятью точками треугольника. [1] [2]
Позволять , , а также - три расстояния от точки Фейербаха до вершин среднего треугольника (середины сторон BC = a, CA = b и AB = c соответственно исходного треугольника). Затем [7] [8]
или, что то же самое, наибольшее из трех расстояний равно сумме двух других. В частности, у нас естьгде O - центр описанной окружности контрольного треугольника, а I - его центр . [8] : Предложения. 3
Последнее свойство также сохраняется для точки касания любой из вневписанных окружностей с окружностью из девяти точек: наибольшее расстояние от этого касания до одной из середин сторон исходного треугольника равно сумме расстояний до середин двух других сторон. [8]
Если вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, CA, AB в точках X , Y и Z соответственно, а середины этих сторон - соответственно P , Q и R , то с точкой Фейербаха F треугольники FPX , FQY и FRZ похожи на треугольники AOI, BOI, COI соответственно. [8] : Предложения. 4
Координаты
Эти координаты трилинейных для точки Фойербаха являются [2]
Его барицентрические координаты являются [8]
где s - полупериметр треугольника ( a + b + c) / 2.
Три прямые, идущие от вершин исходного треугольника через соответствующие вершины треугольника Фейербаха, встречаются в центре другого треугольника, обозначенного как X (12) в Энциклопедии центров треугольников. Его трилинейные координаты: [2]
Рекомендации
- ^ Б Kimberling, Кларк (1994), "Центральные точки и центральные линии в плоскости треугольника", Математика Magazine , 67 (3): 163-187, DOI : 10,1080 / 0025570X.1994.11996210 , JSTOR 2690608 , MR 1573021.
- ^ a b c d Энциклопедия треугольных центров. Архивировано 19 апреля 2012 г. в Wayback Machine , дата обращения 24.10.2014.
- ^ Фейербах, Карл Вильгельм ; Buzengeiger, Carl Heribert Ignatz (1822), Eigenschaften einiger merkwürdigen Punkte des geradlinigen Dreiecks und mehrerer durch sie bestimmten Linien und Figuren. Eine analytisch-trigonometrische Abhandlung (ред. Монографии), Нюрнберг: Wiessner.
- ^ Scheer, Michael JG (2011), «Простое векторное доказательство теоремы Фейербаха» (PDF) , Forum Geometricorum , 11 : 205–210, arXiv : 1107.1152 , MR 2877268.
- ^ Кейси, Дж. (1866 г.), «Об уравнениях и свойствах: (1) системы кругов, соприкасающихся с тремя кругами на плоскости; (2) системы сфер, касающихся четырех сфер в пространстве; (3) системы кругов, соприкасающихся с тремя кругами на сфере; (4) системы коник, вписанных в конику, и касающихся трех вписанных коник на плоскости », Proceedings of the Royal Irish Academy , 9 : 396–423, JSTOR 20488927. См., В частности, нижнюю часть стр. 411.
- ^ Chou, Шанг-Ching (1988), "Введение в метод Ву для механического доказательства теорем в геометрии", журнал Automated Reasoning , 4 (3): 237-267, DOI : 10.1007 / BF00244942 , МР 0975146 , S2CID 12368370.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Точка Фейербаха» . MathWorld .
- ^ a b c d e Сандор Надьдобай Кисс, «Свойство расстояния точки Фейербаха и ее продолжение», Forum Geometricorum 16, 2016, 283–290. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201634.pdf
дальнейшее чтение
- Thebault, Виктор (1949), "О точках Фейербах", American Mathematical Monthly , 56 (8): 546-547, DOI : 10,2307 / 2305531 , JSTOR 2305531 , MR 0033039.
- Емельянов, Лев; Емельянова, Татьяна (2001), «Заметка о точке Фейербаха», Forum Geometricorum , 1 : 121–124 (электронная), MR 1891524.
- Сучава, Богдан; Ю, Поль (2006), «Точка Фейербаха и линии Эйлера», Forum Geometricorum , 6 : 191–197, MR 2282236.
- Вонк, Ян (2009), "Точка Фейербаха и отражения линии Эйлера", Forum Geometricorum , 9 : 47–55, MR 2534378.
- Нгуен, Минь Ха; Нгуен, Фам Дат (2012), «Синтетические доказательства двух теорем, связанных с точкой Фейербаха», Forum Geometricorum , 12 : 39–46, MR 2955643.