Мощность

В математике мощность множества является мерой «количества элементов » множества . Например, множество содержит 3 элемента и, следовательно , имеет мощность 3. Начиная с конца 19 века, это понятие было обобщено на бесконечные множества , что позволяет различать разные типы бесконечности и выполнять над ними арифметические действия. . Существует два подхода к кардинальности: один сравнивает множества непосредственно с помощью биекций и инъекций , а другой использует количественные числа . ^[1]${\ Displaystyle А = \ {2,4,6 \}}$${\ Displaystyle А}$Мощность множества также называется его размером , когда невозможна путаница с другими понятиями размера ^[2] .

Мощность набора обычно обозначается вертикальной чертой с каждой стороны; ^[3] это то же самое обозначение, что и абсолютное значение , и значение зависит от контекста . В качестве альтернативы мощность набора может быть обозначена как , , или .${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle | А |}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle п (А)}$${\ Displaystyle А}$${\ Displaystyle \ OperatorName {карта} (А)}$${\ Displaystyle \ # А}$

В 1890-х годах Георг Кантор обобщил понятие мощности на бесконечные множества ^[4] , что позволило различать различные типы бесконечности и выполнять над ними арифметические действия.

В то время как мощность конечного множества — это просто количество его элементов, расширение понятия на бесконечные множества обычно начинается с определения понятия сравнения произвольных множеств (некоторые из которых, возможно, бесконечны).

Если | А | ≤ | Б | и | Б | ≤ | А |, то | А | = | Б | (факт, известный как теорема Шредера-Бернштейна ). Аксиома выбора эквивалентна утверждению, что | А | ≤ | Б | или | Б | ≤ | А | для каждого А , В. ^{[6] [7]}

В приведенном выше разделе «мощность» множества была определена функционально. Другими словами, он не был определен как конкретный объект. Однако такой объект можно определить следующим образом.

Множество всех Платоновых тел состоит из 5 элементов. Таким образом .${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle | S | = 5}$

Биективная функция из N в множество E четных чисел . Хотя E является правильным подмножеством N , оба множества имеют одинаковую мощность.

N не имеет той же мощности, что и его степенное множество P ( N ): для каждой функции f из N в P ( N ) множество T = { n ∈ N : n ∉ f ( n )} не совпадает с каждым множеством в диапазон f , следовательно, f не может быть сюръективным. На рисунке показан пример f и соответствующий T ; красный : n ∈ f ( n ) \T , синий : n ∈ T \ f ( n ).