Методы конечных разностей для оценки опционов - это численные методы, используемые в финансовой математике для оценки опционов . [1] разностные методы конечных впервые были применены к ценам опциона с помощью Эдуардо Шварца в 1977 году [2] [3] : 180
В общем, методы конечных разностей используются для определения цены опционов путем аппроксимации дифференциального уравнения (непрерывного времени), которое описывает, как цена опциона изменяется с течением времени, с помощью набора разностных уравнений (дискретного времени) . Затем дискретные разностные уравнения могут быть решены итеративно для расчета цены опциона. [4] Подход возникает из-за того, что эволюция стоимости опциона может быть смоделирована с помощью уравнения в частных производных (PDE) как функция (по крайней мере) времени и цены базового актива; см., например, PDE Блэка – Шоулза . Находясь в этой форме, можно получить модель конечных разностей и получить оценку. [2]
Этот подход может использоваться для решения проблем ценообразования производных финансовых инструментов, которые в целом имеют тот же уровень сложности, что и проблемы, решаемые с помощью древовидных подходов . [1]
Методика
Как указано выше, PDE выражается в дискретной форме с использованием конечных разностей , а затем моделируется эволюция цены опциона с использованием решетки с соответствующими размерами : время идет от 0 до погашения; и цена колеблется от 0 до «высокого» значения, так что опцион оказывается либо в выигрыше, либо в проигрыше . Затем опцион оценивается следующим образом: [5]
- Стоимость погашения - это просто разница между ценой исполнения опциона и стоимостью базового актива в каждой точке.
- Значения на границах - то есть в каждый более ранний момент времени, когда спот находится на самом высоком или нулевом уровне - устанавливаются на основе денежных или арбитражных границ цен опционов .
- Значения в других точках решетки вычисляются рекурсивно (итеративно), начиная с временного шага, предшествующего зрелости, и заканчивая моментом времени = 0. Здесь с использованием такой техники, как Crank – Nicolson, или явного метода :
- PDE дискретизируется в соответствии с выбранной техникой, так что значение в каждой точке решетки задается как функция значения в более поздних и соседних точках; см. Stencil (численный анализ) ;
- затем значение в каждой точке определяется с использованием рассматриваемого метода.
- 4. Стоимость опциона сегодня, когда базовый актив находится по его спотовой цене (или в любой комбинации времени / цены), затем определяется путем интерполяции .
Заявление
Как указано выше, эти методы могут решить проблемы ценообразования производных , которые, в общем, тот же уровень сложности , как решить эти проблемы с помощью дерева подходов , [1] , но, учитывая их относительную сложность, обычно используют только тогда , когда другие подходы являются неприемлемыми; например, изменение процентных ставок и / или дивидендной политики, привязанной ко времени . В то же время, как дерево на основе методов, этот подход ограничен с точки зрения числа базовых переменных, а также для задач с несколькими размерами , методы Монте - Карло для цены опциона , как правило , предпочтительны. [3] : 182 Обратите внимание, что, когда применяются стандартные предположения, явный метод включает в себя методы биномиального и трехчленного дерева . [6] Таким образом, методы на основе деревьев, параметризованные соответствующим образом, являются частным случаем явного метода конечных разностей. [7]
Рекомендации
- ^ a b c Халл, Джон К. (2002). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты (5-е изд.). Прентис Холл . ISBN 978-0-13-009056-0.
- ^ а б Шварц, Э. (январь 1977 г.). «Оценка варрантов: реализация нового подхода» . Журнал финансовой экономики . 4 : 79–94. DOI : 10.1016 / 0304-405X (77) 90037-X .
- ^ а б Бойл, Фелим ; Фейдлим Бойл (2001). Деривативы: инструменты, изменившие финансы . Публикации о рисках. ISBN 978-1899332885.
- ^ Фил Годдард (Северная Дакота). Цены на опционы - методы конечных разностей
- ^ Wilmott, P .; Howison, S .; Дьюинн, Дж. (1995). Математика финансовых производных: Введение для студентов . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-49789-3.
- ^ Brennan, M .; Шварц, Э. (сентябрь 1978 г.). "Конечно-разностные методы и скачкообразные процессы, возникающие при ценообразовании условных требований: синтез". Журнал финансового и количественного анализа . 13 (3): 461–474. DOI : 10.2307 / 2330152 . JSTOR 2330152 .
- ^ Рубинштейн, М. (2000). «О связи между биномиальной и трехчленной моделями ценообразования опционов» . Журнал производных финансовых инструментов . 8 (2): 47–50. CiteSeerX 10.1.1.43.5394 . DOI : 10,3905 / jod.2000.319149 . Архивировано из оригинального 22 июня 2007 года.
Внешние ссылки
- Ценообразование опционов с использованием методов конечных разностей , профессор Дон М. Чанс, Университет штата Луизиана
- Конечно-разностный подход к ценообразованию опционов (включая код Matlab ); Численное решение уравнения Блэка – Шоулза , Том Коулман, Корнельский университет.
- Ценообразование опционов - методы конечных разностей , доктор Фил Годдард
- Численное решение PDE: алгоритм Кранка-Николсона , профессор Р. Джонс, Университет Саймона Фрейзера
- Цифровые схемы для вариантов ценообразования , профессор Юэ Куэн Квок, Гонконгский университет науки и технологий
- Введение в численное решение уравнений с частными производными в финансах , Клаус Мунк, Орхусский университет
- Численные методы оценки производных финансовых инструментов , DB Ntwiga, Университет Западной Капской провинции
- Метод конечных разностей , Катя Роча, Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada
- Аналитические финансы: конечно-разностные методы , Ян Реман, Университет Мелардален