Метод конечных объемов ( FVM ) - это метод представления и оценки уравнений в частных производных в форме алгебраических уравнений. [1] В методе конечных объемов объемные интегралы в уравнении с частными производными, которые содержат член дивергенции , преобразуются в поверхностные интегралы с использованием теоремы о дивергенции . Затем эти члены оцениваются как потоки на поверхностях каждого конечного объема. Поскольку поток, входящий в данный объем, идентичен потоку, выходящему из соседнего объема, эти методы являются консервативными.. Еще одно преимущество метода конечных объемов состоит в том, что его легко сформулировать, чтобы учесть неструктурированные сетки. Метод используется во многих пакетах вычислительной гидродинамики . «Конечный объем» относится к небольшому объему, окружающему каждую узловую точку на сетке.
Методы конечного объема можно сравнить и противопоставить методам конечных разностей , которые аппроксимируют производные с использованием узловых значений, или методам конечных элементов , которые создают локальные приближения решения с использованием локальных данных и создают глобальное приближение путем их сшивания. Напротив, метод конечного объема оценивает точные выражения для среднего значения решения по некоторому объему и использует эти данные для построения приближений решения в пределах ячеек. [2] [3]
Пример
Рассмотрим простую задачу одномерной адвекции :
( 1 )
Здесь, представляет переменную состояния и представляет собой поток или поток. Условно положительный представляет поток вправо, а отрицательное представляет поток слева. Если мы предположим, что уравнение ( 1 ) представляет текущую среду постоянной площади, мы можем подразделить пространственную область,, в конечные объемы или ячейки с центрами ячеек, индексируемыми как. Для конкретной ячейки, мы можем определить среднее значение объема вовремя а также , в виде
( 2 )
и в то время в виде,
( 3 )
где а также представляют собой расположение сторон или кромок перед и после потока соответственно клетка.
Интегрируя уравнение ( 1 ) по времени, имеем:
( 4 )
где .
Чтобы получить средний объем вовремя , мы интегрируем по объему ячейки, и разделите результат на , т.е.
( 5 )
Мы предполагаем, что ведет себя хорошо, и мы можем изменить порядок интеграции. Также помните, что поток нормален к единице площади ячейки. Теперь, поскольку в одном измерении, можно применить теорему о расходимости , т. е., и заменим интеграл от расходимости по объему значениями оценивается на поверхности ячейки (края а также ) конечного объема следующим образом:
( 6 )
где .
Таким образом, мы можем вывести полудискретную численную схему для указанной выше задачи с центрами ячеек, индексируемыми как, а потоки на краях ячеек индексируются как , дифференцируя ( 6 ) по времени, получим:
( 7 )
где значения для краевых потоков, , можно восстановить путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Уравнение ( 7 ) точно для средних объемов; т.е. при его выводе не делалось никаких приближений.
Этот метод также можно применить к 2D- ситуации, рассматривая северную и южную грани, а также восточную и западную грани вокруг узла.
Общий закон сохранения
Мы также можем рассмотреть общую проблему закона сохранения , представленную следующим уравнением в частных производных :
( 8 )
Здесь, представляет собой вектор состояний и представляет собой соответствующий тензор потока . Мы снова можем подразделить пространственную область на конечные объемы или ячейки. Для конкретной ячейки, возьмем объемный интеграл по общему объему ячейки, , который дает,
( 9 )
Интегрируя первый член, чтобы получить среднее значение объема, и применяя теорему о расходимости ко второму, получаем
( 10 )
где представляет собой общую площадь поверхности ячейки и - это единичный вектор, нормальный к поверхности и направленный наружу. Итак, наконец, мы можем представить общий результат, эквивалентный ( 8 ), т.е.
( 11 )
Опять же, значения для граничных потоков могут быть восстановлены путем интерполяции или экстраполяции средних значений ячеек. Фактическая численная схема будет зависеть от геометрии задачи и построения сетки. Реконструкция MUSCL часто используется в схемах с высоким разрешением, когда в растворе присутствуют толчки или неоднородности .
Схемы конечного объема консервативны, поскольку средние значения ячеек меняются из-за краевых потоков. Другими словами, потеря одной клетки - это прибыль другой клетки !
Смотрите также
дальнейшее чтение
- Eymard, R. Gallouët, TR, Herbin, R. (2000) Справочник по методу конечных объемов по численному анализу, Vol. VII, 2000, с. 713–1020. Редакторы: П. Г. Чиарлет и Дж. Л. Лайонс.
- Хирш, К. (1990), Численный расчет внутренних и внешних потоков, Том 2: Вычислительные методы для невязких и вязких потоков , Wiley.
- Лэйни, Калберт Б. (1998), Вычислительная газовая динамика , Cambridge University Press.
- Левек, Рэндалл (1990), Численные методы для законов сохранения , Серия лекций ETH по математике, Birkhauser-Verlag.
- Левек, Рэндалл (2002), Методы конечных объемов для гиперболических задач , Cambridge University Press.
- Патанкар, Сухас В. (1980), Численный перенос тепла и поток жидкости , полушарие.
- Таннехилл, Джон К. и др. (1997), Вычислительная механика жидкости и теплопередача , 2-е изд., Тейлор и Фрэнсис.
- Торо, EF (1999), Решатели Римана и численные методы для гидродинамики , Springer-Verlag.
- Весселинг, Питер (2001), Принципы вычислительной гидродинамики , Springer-Verlag.
Рекомендации
- ^ Левек, Randall (2002). Методы конечных объемов для гиперболических задач . ISBN 9780511791253.
- ^ Фаллах, Северная Америка; Bailey, C .; Крест, М .; Тейлор, Джорджия (2000-06-01). «Сравнение применения методов конечных элементов и конечных объемов в геометрически нелинейном анализе напряжений» . Прикладное математическое моделирование . 24 (7): 439–455. DOI : 10.1016 / S0307-904X (99) 00047-5 . ISSN 0307-904X .
- ^ Ранганаякулу, Ч. (Ченну). «Глава 3, Раздел 3.1». Компактные теплообменники: анализ, проектирование и оптимизация с использованием методов FEM и CFD . Ситхараму, К. Н. Хобокен, штат Нью-Джерси. ISBN 978-1-119-42435-2. OCLC 1006524487 .
Внешние ссылки
- Методы конечных объемов Р. Эймара, Т. Галлуэ и Р. Хербина , обновление статьи, опубликованной в Handbook of Numerical Analysis, 2000 г.
- Рюбенкёниг, Оливер. «Метод конечных объемов (FVM) - Введение» . Архивировано из оригинала на 2009-10-02. Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ), доступный на условиях GFDL . - FiPy: решатель конечных объемов PDE с использованием Python из NIST.
- CLAWPACK : программный пакет, предназначенный для вычисления численных решений гиперболических уравнений в частных производных с использованием подхода распространения волн.