Для поверхности в трехмерном пространстве фокальная поверхность , поверхность центров или эволюта формируется путем взятия центров сфер кривизны , которые являются касательными сферами , радиусы которых являются обратными величине одной из главных кривизны в точке касания. Эквивалентно это поверхность, образованная центрами окружностей, которые соприкасаются с линиями кривизны . [1] [2]
Поскольку главные кривизны являются собственными значениями второй фундаментальной формы, их по две в каждой точке, и они дают две точки фокальной поверхности в каждом направлении нормали к поверхности. Вдали от точек пупка эти две точки фокальной поверхности различны; в точках пуповины два листа сходятся. Когда поверхность имеет гребень, фокальная поверхность имеет куспидальную кромку , три таких кромки проходят через эллиптическую пуповину и только одна - через гиперболическую пуповину. [3] В точках, где гауссова кривизна равна нулю, один лист фокальной поверхности будет иметь бесконечно удаленную точку, соответствующую нулевой главной кривизне.
Если - точка данной поверхности, блок нормальный и что главные кривизны в, тогда
- а также
- соответствующие две точки фокальной поверхности.
Особые случаи
- Фокальная поверхность сферы состоит из единственной точки - ее центра.
- Одна часть фокальной поверхности поверхности вращения состоит из оси вращения.
- Фокальная поверхность тора состоит из направляющей окружности и оси вращения.
- Фокальная поверхность циклида Дюпена состоит из пары фокальных коник . [4] Циклиды Дюпена - единственные поверхности, фокальные поверхности которых вырождаются в две кривые. [5]
- Одна часть фокальной поверхности канала вырождается в его директрису.
- Две софокусные квадрики (например, эллипсоид и гиперболоид из одного листа) можно рассматривать как фокальные поверхности поверхности. [6]
Смотрите также
Заметки
- ^ Дэвид Гильберт, Стефан Кон-Фоссен: Anschauliche Geometrie , Springer-Verlag, 2011, ISBN 3642199488 , стр. 197.
- ^ Моррис Клайн: Математическая мысль от древних до наших дней , группа 2, Oxford University Press, 1990, ISBN 0199840423
- ^ Портеус, Ян Р. (2001), Геометрическая дифференциация , Cambridge University Press, стр. 198–213, ISBN 0-521-00264-8
- ^ Георг Glaeser, Хельмут Штахель Борис Odehnal: Вселенная коники , Springer, 2016, ISBN 3662454505 , стр. 147.
- ↑ D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Geometry and the Imagination , Chelsea Publishing Company, 1952, стр. 218.
- ^ Гильберт Кон-Фоссен стр. 197.
Рекомендации
- Chandru, V .; Dutta, D .; Хоффманн, К.М. (1988), О геометрии циклидов Дюпена , электронные пабы Университета Пердью.