Пупочная точка

Линии кривизны на эллипсоиде с пупочными точками (красные).

В дифференциальной геометрии поверхностей в трех измерениях омбилики или омбилические точки - это точки на поверхности, которые являются локально сферическими. В таких точках нормальные кривизны во всех направлениях равны, следовательно, обе главные кривизны равны, и каждый касательный вектор является главным направлением . Название «пуповина» происходит от латинского umbilicus - пупок.

Точки пупка обычно встречаются как изолированные точки в эллиптической области поверхности; то есть, где гауссова кривизна положительна.

Нерешенная задача по математике :

Имеет ли каждая гладкая топологическая сфера в евклидовом пространстве хотя бы две омбилики?

(больше нерешенных задач по математике)

Сфера является единственной поверхностью с ненулевой кривизной , где каждая точка является омбилической. Плоская омбилика - это омбилика с нулевой гауссовой кривизной. Обезьяны седло является примером поверхности с плоским омбилическим и на плоскости каждая точка представляет собой плоские омбилическая. Тор не может иметь umbilics, но каждая замкнутая поверхность ненулевой эйлеровой характеристики , встроенная гладко в евклидово пространства , имеет , по меньшей мере , один омбилическую. Недоказанной гипотеза о Constantin Carathéodory утверждает , что любая гладкая топологический сфера в евклидовом пространстве имеет по крайней мере два umbilics. ^[1]

Тремя основными типами омбилических точек являются эллиптическая омбилика, параболическая омбилика и гиперболическая омбилика. Эллиптические шланги имеют три линии гребня, проходящие через пуповину, а гиперболические шланги имеют только одну. Параболические омбилики - это переходный случай с двумя выступами, один из которых особенный. Для переходных случаев возможны другие конфигурации. Эти случаи соответствуют D ₄^- , D ₅ и D ₄⁺ элементарные катастрофы Рене Тома теории катастроф .

Пуповины также могут быть охарактеризованы рисунком главного поля вектора направления вокруг пуповины, которые обычно образуют одну из трех конфигураций: звезда, лимон и лимонная звезда (или монстар). Индекс векторного поля либо -½ (звезда) или ½ (лимон, Monstar). Эллиптические и параболические пуповины всегда имеют звездный узор, в то время как гиперболические пуповины могут быть звездными, лимонными или монозвездными. Эта классификация была впервые дана Дарбу, а имена происходят от Ханнея. ^[2]

Для поверхностей рода 0 с изолированными омбиликами, например эллипсоида, индекс главного поля векторных направлений должен быть равен 2 по теореме Пуанкаре – Хопфа . Поверхности общего рода 0 имеют по крайней мере четыре омбилики индекса ½. Эллипсоид вращения имеет две необщие омбилики, каждая из которых имеет индекс 1. ^[3]

конфигурации линий кривизны возле пуповины
Звезда
Monstar
Лимон

Классификация пуповины [ править ]

Кубические формы [ править ]

Классификация пуповины тесно связана с классификацией реальных кубических форм . Кубическая форма будет иметь такое количество корневых линий , что кубическая форма равна нулю для всех вещественных чисел . Есть несколько возможностей, включая: ${\ displaystyle ax ^ {3} + 3bx ^ {2} y + 3cxy ^ {2} + dy ^ {3}}$ ${\ Displaystyle \ лямбда (х, у)}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

Три отчетливые линии: эллиптическая кубическая форма , стандартная модель . ${\ displaystyle x ^ {2} yy ^ {3}}$
Три линии, две из которых совпадают: параболическая кубическая форма , стандартная модель . ${\ displaystyle x ^ {2} y}$
Одиночная реальная линия: гиперболическая кубическая форма , стандартная модель . ${\ displaystyle x ^ {2} y + y ^ {3}}$
Три совпадающие линии, стандартная модель . ^[4] ${\ displaystyle x ^ {3}}$

Классы эквивалентности таких кубиков по единой форме масштабирования трехмерное вещественное проективное пространства и подмножество параболических форм определяют поверхность - называются омбилический браслетом от Кристофера Зеемана . ^[4] Взятие классов эквивалентности при повороте системы координат удаляет еще один параметр, и кубические формы могут быть представлены комплексной кубической формой с одним комплексным параметром . Параболические формы возникают, когда внутренняя дельтовидная, эллиптическая форма находится внутри дельтовидной, а гиперболическая - снаружи. Если и не является кубическим корнем из единицы, то кубическая форма представляет собой прямоугольную кубическую форму, которая играет особую роль для омбилики. Если ${\ displaystyle z ^ {3} +3 {\ overline {\ beta}} z ^ {2} {\ overline {z}} + 3 \ beta z {\ overline {z}} ^ {2} + {\ overline {z}} ^ {3}}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ displaystyle \ beta = {\ tfrac {1} {3}} (2e ^ {i \ theta} + e ^ {- 2i \ theta})}$ ${\ Displaystyle \ влево | \ бета \ вправо | = 1}$ ${\ displaystyle \ beta}$ ${\ Displaystyle \ влево | \ бета \ вправо | = {\ tfrac {1} {3}}}$ тогда две корневые линии ортогональны. ^[5]

Вторая кубическая форма, Якобиан формируется путем принятия якобиева детерминанта вектора функции , . С точностью до постоянного кратного это кубическая форма . Используя комплексные числа, якобиан представляет собой параболическую кубическую форму, когда внешний дельтоид в классификационной диаграмме. ^[5] ${\ Displaystyle F: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2}}$ $F(x,y)=(x^{2}+y^{2},ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})$ $bx^{3}+(2c-a)x^{2}y+(d-2b)xy^{2}-cy^{3}$ $\beta =-2e^{i\theta }-e^{-2i\theta }$

Пупочная классификация [ править ]

Пупочная классификация - плоскость. Внутренняя дельтовидная мышца образует параболическую пуповину, разделяет эллиптическую и гиперболическую пуповины. Бугорки на внутренней дельтовидной мышце: кубическая пуповина. Внешний круг, рождение пуповины, разделяет звездные и монзвездные конфигурации. Наружная дельтовидная, отделяющая конфигурацию монстара и лимона. Диагонали и горизонтальная линия - симметричные пуповины с зеркальной симметрией.

\beta

Любая поверхность с изолированной омбилической точкой в начале координат может быть выражена как параметризация формы Монжа , где - единственная главная кривизна. Тип омбилики классифицируется по кубической форме от кубической части и соответствующей кубической форме Якоби. Хотя главные направления не определены однозначно в омбилике, пределы главных направлений при следовании по гребню на поверхности могут быть найдены, и они соответствуют корневым линиям кубической формы. Характер линий кривизны определяется якобианом. ^[5] $z={\tfrac {1}{2}}\kappa (x^{2}+y^{2})+{\tfrac {1}{3}}(ax^{3}+3bx^{2}y+3cxy^{2}+dy^{3})+\ldots$ $\kappa$

Классификация омбилических точек следующая: ^[5]

Внутренняя часть дельтовидной мышцы - эллиптическая пуповина
- На внутреннем круге - две касательные линии гребня.
На внутреннюю дельтовидную мышцу - параболическая пупка
Наружная внутренняя дельтовидная мышца - гиперболическая пупка
- Внутри внешнего круга - звездный узор
- На внешнем круге - рождение пуповины
- Между внешним кругом и внешним дельтовидом - узор Монстар
- Наружная дельтовидная мышца - лимонный узор
Бугорки внутренней дельтовидной мышцы - кубическая (символическая) пуповина
По диагоналям и горизонтальной линии - симметричные омбилики с зеркальной симметрией.

В общем семействе поверхностей шлангокабели могут создаваться или уничтожаться парами: рождение переходного шланга . Обе пуповины будут гиперболическими, одна с рисунком звезды, а другая - с рисунком монстра. Внешний круг на диаграмме прямоугольной кубической формы дает эти переходные случаи. Символическая пуповина - частный случай этого. ^[5]

Фокальная поверхность [ править ]

Поверхность с эллиптической омбиликой и ее фокальная поверхность.

Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью.

Эллиптические омбилики и гиперболические омбилики имеют совершенно разные фокальные поверхности . Ребро на поверхности соответствует ребрам возврата, поэтому каждый лист эллиптической фокальной поверхности будет иметь три ребра возврата, которые сходятся в пупочном фокусе и затем переключаются на другой лист. У гиперболической пуповины есть единственная куспидальная кромка, которая переключается с одного листа на другой. ^[5]

Определение в высшей размерности в римановых многообразиях [ править ]

Точка p в римановом подмногообразии является омбилической, если в точке p (векторнозначная) Вторая фундаментальная форма является некоторым нормальным векторным тензором индуцированной метрики ( Первая фундаментальная форма ). Эквивалентно, для всех векторов U , V в точке p , II ( U , V ) = g _p ( U , V ) , где - вектор средней кривизны в точке p . $\nu$ $\nu$

Подмногообразие называется омбилическим (или все омбилическим), если это условие выполняется в каждой точке «p». Это равносильно тому, что подмногообразие можно сделать полностью геодезическим путем соответствующей конформной замены метрики окружающего («объемлющего») многообразия. Например, поверхность в евклидовом пространстве омбилическая тогда и только тогда, когда она является частью сферы.

См. Также [ править ]

пупочный - анатомический термин, означающий или относящийся к пупку
Гипотеза Каратеодори

Ссылки [ править ]

Дарбу, Гастон (1887,1889,1896), Leçons sur la théorie génerale des поверхностей: Volume I , Volume II , Volume III , Volume IV , Gauthier-Villars Проверить значения даты в: |year=( помощь ); Внешняя ссылка в |title=( помощь )
Фотографии звезды, лимона, монстара и другие ссылки

^ Бергер, Марсель (2010), "О Caradéodory гипотеза", Геометрия показал , Springer, Heidelberg, стр 389-390,. Дои : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, Руководство по ремонту 2724440.
^ Берри, МВ; Hannay, JH (1977). «Пупочные точки на гауссовских случайных поверхностях». J. Phys. . 10 : 1809–21.
^ Porteous, р 208
^ a b Постон, Тим ; Стюарт, Ян (1978), Теория катастроф и ее приложения , Pitman, ISBN 0-273-01029-8
^ a b c d e f Портеус, Ян Р. (2001), Геометрическая дифференциация , Cambridge University Press, стр. 198–213, ISBN 0-521-00264-8

[1] Бергер, Марсель (2010), "О Caradéodory гипотеза", Геометрия показал , Springer, Heidelberg, стр 389-390,. Дои : 10.1007 / 978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, Руководство по ремонту 2724440.

[2] Берри, МВ; Hannay, JH (1977). «Пупочные точки на гауссовских случайных поверхностях». J. Phys. . 10 : 1809–21.

[3] Porteous, р 208

[Poston-4] Постон, Тим ; Стюарт, Ян (1978), Теория катастроф и ее приложения , Pitman, ISBN 0-273-01029-8

[Port-5] Портеус, Ян Р. (2001), Геометрическая дифференциация , Cambridge University Press, стр. 198–213, ISBN 0-521-00264-8

[1]