В математике , то теорема Пуанкаре-Хопфа (также известный как формулы индекса Пуанкаре-Хопфа , теоремы об индексе Пуанкаре-Хопфа , или теоремы об индексе Хопфа ) является важной теоремой, которая используется в дифференциальной топологии . Он назван в честь Анри Пуанкаре и Хайнца Хопфа .
Теорема Пуанкаре – Хопфа часто иллюстрируется частным случаем теоремы о волосатом шарике , которая просто утверждает, что на четномерной n-сфере , не имеющей источников или стоков, нет гладкого векторного поля .
Официальное заявление
Позволять - дифференцируемое многообразие размерности , а также векторное поле на . Предположим, что является изолированным нулем , и зафиксируйте некоторые локальные координаты рядом с. Выберите закрытый шар сосредоточен на , чтобы единственный ноль из в . Тогда индекс из в , , можно определить как степень отображенияот границы с к -сфера, данная .
Теорема. Позволять- компактное дифференцируемое многообразие . Позволятьбыть векторным полем нас изолированными нулями. Еслиимеет границу , то мы настаиваем на том, чтобыуказывать в нормальном направлении наружу вдоль границы. Тогда у нас есть формула
где сумма индексов берется по всем изолированным нулям а также это эйлерова характеристика из. Особенно полезное следствие - когда существует неисчезающее в нуль векторное поле, подразумевающее эйлерову характеристику 0.
Теорема была доказана для двух измерений Анри Пуанкаре [1] и позже обобщена на более высокие измерения Хайнцем Хопфом . [2]
Значимость
Эйлерова характеристика замкнутой поверхности - это чисто топологическое понятие, тогда как индекс векторного поля - чисто аналитическое . Таким образом, эта теорема устанавливает глубокую связь между двумя, казалось бы, не связанными областями математики. Это возможно, интересно , что доказательство этой теоремы в значительной степени зависит от интеграции , и, в частности, теорема Стокса , которая гласит , что интеграл от внешней производной от в дифференциальной форме , равен интеграл от этой формы по границе. В частном случае многообразия без границы это равносильно утверждению, что интеграл равен 0. Но, исследуя векторные поля в достаточно малой окрестности источника или стока, мы видим, что источники и приемники вносят целочисленные значения (известные как индекс ) к общей сумме, и все они должны быть равны 0. Этот результат может быть рассмотрен [ кем? ] одна из самых ранних из целой серии теорем [ какая? ] установление глубокой взаимосвязи между геометрическими и аналитическими или физическими концепциями. Они играют важную роль в современных исследованиях обеих областей.
Эскиз доказательства
1. Вложить M в некоторое евклидово пространство большой размерности. (Воспользуйтесь теоремой вложения Уитни .)
2. Возьмем небольшую окрестность M в этом евклидовом пространстве, N ε . Расширьте векторное поле до этой окрестности, чтобы в нем остались те же нули, а нули имели те же индексы. Кроме того, убедитесь, что расширенное векторное поле на границе N ε направлено наружу.
3. Сумма индексов нулей старого (и нового) векторного поля равна степени отображения Гаусса от границы N ε до ( n –1) -мерной сферы. Таким образом, сумма индексов не зависит от фактического векторного поля, и зависит только от многообразия М . Техника: вырезать все нули векторного поля с небольшими окрестностями. Затем воспользуйтесь тем фактом, что степень отображения границы n-мерного многообразия в ( n –1) -мерную сферу, которая может быть продолжена на все n-мерное многообразие, равна нулю. [ необходима цитата ]
4. И, наконец, определить эту сумму показателей , как эйлерова характеристика М . Чтобы сделать это, построить весьма специфическое векторное поле на М , используя триангуляцию из М , для которых совершенно очевидно , что сумма индексов равна характеристике Эйлера.
Обобщение
Еще можно определить индекс для векторного поля с неизолированными нулями. Конструкция этого индекса и расширение теоремы Пуанкаре – Хопфа для векторных полей с неизолированными нулями описаны в разделе 1.1.2 ( Brasselet, Seade & Suwa 2009 ). .
Смотрите также
Рекомендации
- "Теорема Пуанкаре – Хопфа" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Брасселе, Жан-Поль; Сид, Хосе; Сува, Тацуо (2009). Векторные поля на особых многообразиях . Гейдельберг: Springer. ISBN 978-3-642-05205-7.