Четыре четверки

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Четыре четверки» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июль 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Четыре четверки - это математическая головоломка . Цель четырех четверок - найти простейшее математическое выражение для каждого целого числа от 0 до некоторого максимума, используя только общие математические символы и цифру четыре (другие цифры недопустимы). Большинство версий четырех четверок требуют, чтобы каждое выражение имело ровно четыре четверки, но некоторые варианты требуют, чтобы каждое выражение имело минимальное количество четверок. Эта игра требует навыков и математических рассуждений.

Первое печатное упоминание конкретной проблемы четырех четверок было в « Знании: иллюстрированный научный журнал» 1881 года ^[1].

У. В. Рауз Болл описал это в 6-м издании (1914 г.) своих « Математических развлечений и очерков» . В этой книге он описан как «традиционный отдых». ^[2]

Правила [ править ]

Есть много вариаций четырех четверок; их основное различие в том, какие математические символы разрешены. По сути, все варианты допускают как минимум сложение («+»), вычитание («-»), умножение («×»), деление («÷») и круглые скобки , а также конкатенацию (например, допускается «44»). . Большинство из них также позволяют использовать факториал («!»), Возведение в степень (например, «44 ⁴ »), десятичную точку («.») И операцию извлечения квадратного корня («√»). Другие операции, разрешенные некоторыми вариациями, включают обратную функцию ("1 / x"),субфакторный("!" перед числом:! 4 равно 9), верхняя черта (бесконечно повторяющаяся цифра), произвольный корень, квадратная функция ("sqr"), кубическая функция ("куб"), кубический корень , гамма функция (Γ (), где Γ ( x ) = ( x - 1)!) и проценты («%»). Таким образом

${\ displaystyle 4 \% = 0,04}$

${\ displaystyle sqr (4) = 16}$

${\ displaystyle cube (4) = 64}$

${\ displaystyle {\ sqrt {4}} = 2}$

${\ displaystyle 4! = 24}$

${\ Displaystyle \ Gamma (4) = 6}$

${\ displaystyle! 4 = 9}$

${\ displaystyle 4 '= {\ frac {1} {4}} = 0,25}$

${\ displaystyle .4 = 0,4 = {\ frac {4} {10}} = {\ frac {2} {5}}}$

${\ displaystyle 4.4 = 4 {\ frac {2} {5}}}$

$.{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}$

и Т. Д.

Обычно в этой задаче над чертой используется это значение:

.{\overline {4}}=.4444...={\frac {4}{9}}

Обычно операторы " журнала " или функция-преемник не разрешены, поскольку есть способ тривиально создать любое число с их помощью. Это работает, замечая 3 вещи:

1) вы можете многократно извлекать квадратные корни без использования дополнительных четверок

2) квадратный корень можно также записать как показатель степени (^ (1/2))

3) экспоненты имеют обратные логарифмы.

\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}=4^{(1/2)^{n}}

Записывая в этой форме повторяющийся квадратный корень, мы можем выделить n, то есть количество квадратных корней !:

4^{(1/2)^{n}}

мы можем изолировать оба показателя с помощью лог-базы 4

\log _{4}4^{(1/2)^{n}}

мы можем рассматривать эту логарифмическую базу 4 как вопрос: «4 в какой степени дает мне 4 в половинной степени в n?»

4^{x}=4^{(1/2)^{n}}

так что теперь у нас осталось:

(1/2)^{n}

и теперь мы можем сделать то же самое, чтобы выделить показатель степени n:

n=\log _{(1/2)}(1/2)^{n}

Итак, собираем все вместе:

n=\log _{(1/2)}\log _{4}4^{(1/2)^{n}}

Теперь мы можем переписать основание (1/2), используя только 4, и показатель степени (1/2) обратно в квадратный корень:

n=\log _{{\sqrt {4}}/4}\log _{4}\underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}

Мы использовали четыре четверки, и теперь количество квадратных корней, которые мы добавляем, равно любому числу, которое мы хотим получить!

Пол Бурк приписывает Бену Рудьяку-Гулду другое описание того, как четыре четверки могут быть решены с использованием натуральных логарифмов (ln (n)) для представления любого положительного целого числа n как:

n=-{\sqrt {4}}{\frac {\ln \left[\left(\ln \underbrace {\sqrt {\sqrt {\cdots {\sqrt {4}}}}} _{n}\right)/\ln 4\right]}{\ln {4}}}

Дополнительные варианты (обычно больше не называемые «четыре четверки») заменяют набор цифр («4, 4, 4, 4») каким-либо другим набором цифр, например, года рождения кого-либо. Например, вариант, использующий «1975», потребовал бы, чтобы каждое выражение использовало одну 1, одну 9, одну 7 и одну 5.

Решения [ править ]

Вот набор из четырех четверок для чисел от 0 до 32 с использованием типичных правил. Здесь перечислены некоторые альтернативные решения, хотя на самом деле правильных решений гораздо больше. Синим цветом выделены записи, в которых используются четыре целых числа 4 (а не четыре цифры 4) и основные арифметические операции . Числа без синих записей не имеют решения при этих ограничениях. Кроме того, курсивом выделены решения, в которых повторяются операторы.

0 =  4 ÷ 4 × 4-4  = 44-44 1 =  4 ÷ 4 + 4-4  = 44 ÷ 44 2 =  4 - (4 + 4) ÷ 4  = (44 + 4) ÷ 4! 3 =  (4 × 4-4) ÷ 4  =  (4 + 4 + 4) ÷ 4 4 =  4 + 4 × ( 4-4 ) = −44 + 4! + 4! 5 =  (4 × 4 + 4) ÷ 4  = (44-4!) ÷ 4 6 =  (4 + 4) ÷ 4 + 4  = 4,4 + 4 × 0,4 7 =  4 + 4-4 ÷ 4  = 44 ÷ 4-4 8 =  4 ÷ 4 × 4 + 4  = 4,4 - 4 + 4 9 =  4 ÷ 4 + 4 + 4  = 44 ÷ 4 −√410 = (4 + 4 + 4) −√4 = ( 44-4 ) ÷ 411 = (4! × √4 - 4) ÷ 4 = √4 × (4! −√4) ÷ 412 =  4 × (4-4 ÷ 4)  = (44 + 4) ÷ 413 = (4! × √4 + 4) ÷ 4 = (4 - 4) ÷ .4 + 414 = 4 × 4-4 ÷ √4 = 4 × (√4 + √4) −√415 =  4 × 4-4 ÷ 4  = 44 ÷ 4 + 416 =  4 × 4 + 4-4  = (44-4) × 0,417 =  4 × 4 + 4 ÷ 4  = (44 + 4!) ÷ 418 = 4 × 4 + 4 −√4 = (44 ÷ √4) - 419 = 4! - (4 + 4 ÷ 4) = (4 + 4 −.4) ÷ .420 =  4 × (4 ÷ 4 + 4)  = (44-4) ÷ √421 = 4! - 4 + 4 ÷ 4 = (44 −√4) ÷ √422 = 4! ÷ 4 + 4 × 4 = 44 ÷ (4 −√4)23 = 4! + 4 ÷ 4 −√4 = (44 + √4) ÷ √424 =  4 × 4 + 4 + 4  = (44 + 4) ÷ √425 = 4! - 4 ÷ 4 + √4 = (4 + 4 + √4) ÷ .426 = 4! + √4 + 4-427 = 4! + √4 + (4 ÷ 4)28 =  (4 + 4) × 4 - 4  = 4! + 4 + 4 - 429 = 4! + 4 + (4 ÷ 4)30 = 4! + 4 + 4 -√431 = 4! + (4! + 4) ÷ 432 =  4 × 4 + 4 × 4

Есть также много других способов найти ответ на все эти вопросы.

Обратите внимание, что числа со значениями меньше единицы обычно не пишутся с нуля в начале. Например, «0,4» обычно записывается как «.4». Это потому, что «0» - это цифра, и в этой головоломке может использоваться только цифра «4».

У данного числа обычно есть несколько возможных решений; приемлемо любое решение, соответствующее правилам. Некоторые варианты предпочитают «наименьшее» количество операций или предпочитают одни операции другим. Другие просто предпочитают «интересные» решения, т. Е. Удивительный способ достижения цели.

Определенные числа, такие как 113, особенно сложно решить по обычным правилам. Для 113, предлагает Уиллер . ^[3] Нестандартным решением является , где 4 'является мультипликативным обратным числом 4. (т.е. ) Другое возможное решение: где и представляют 10-й и 127-й мультифакториалы соответственно, и технически должны быть обозначены таким количеством восклицательных знаков, чтобы придерживаться к правилам задачи. $\Gamma (\Gamma (4))-{\frac {4!+4}{4}}$ $4(4!+4+4')$ ${\frac {1}{4}}$ ${\frac {((4!)!_{10})!_{127}}{(4!)!_{10}}}$ $!_{10}$ $!_{127}$

Использование процента («%») допускает решения для гораздо большей части чисел; например, 113 = (√4 + (√4 + 4!)%) ÷ (√4)%.

Число 157 можно решить с помощью гамма-функции , одно из возможных решений - . ${\frac {\Gamma (4)!+4}{4}}-4!$

Алгоритмика задачи [ править ]

Эта проблема и ее обобщения (например, проблемы пяти пятерок и шести шестерок, обе показаны ниже) могут быть решены с помощью простого алгоритма. Основные ингредиенты - это хеш-таблицы, которые отображают рациональные числа в строки. В этих таблицах ключи представляют собой числа, представленные некоторой допустимой комбинацией операторов и выбранной цифрой d , например четыре, а значения представляют собой строки, содержащие фактическую формулу. Для каждого числа n случаев появления d существует одна таблица . Например, когда d = 4 , хеш-таблица для двух вхождений d будет содержать пару ключ-значение 8 и 4 + 4 , а одна для трех вхождений пара ключ-значение2 и (4 + 4) / 4 (строки выделены жирным шрифтом).

Затем задача сводится к рекурсивному вычислению этих хеш-таблиц для увеличения n , начиная с n = 1 и продолжая, например, до n = 4. Таблицы для n = 1 и n = 2 являются особенными, потому что они содержат примитивные записи, которые не являются комбинацией других, меньших формул, и, следовательно, они должны быть правильно инициализированы, например (для n = 1 )

 Т [4]: = «4»; Т [4/10]: = ".4"; Т [4/9]: = ".4 ...";

и

 Т [44]: = "44" ;.

(для n = 2 ). Теперь есть два способа появления новых записей: либо как комбинация существующих с помощью бинарного оператора, либо с применением операторов факториала или квадратного корня (которые не используют дополнительные экземпляры d ). В первом случае выполняется итерация по всем парам подвыражений, в которых используется всего n экземпляров d . Например, когда n = 4 , мы будем проверять пары (a, b) с a, содержащим один экземпляр d и b three, а также с a, содержащим два экземпляра d и b два. Затем мы войдемa + b, ab, ba, a * b, a / b, b / a) в хеш-таблицу, включая скобки, для n = 4 . Здесь наборы A и B , содержащие a и b , вычисляются рекурсивно, причем n = 1 и n = 2 являются базовым случаем. Мемоизация используется для того, чтобы каждая хеш-таблица вычислялась только один раз.

Второй случай (факториалы и корни) обрабатывается с помощью вспомогательной функции, которая вызывается каждый раз, когда записывается значение v . Эта функция вычисляет вложенные факториалы и корни v до некоторой максимальной глубины, ограничиваясь рациональными числами.

Последний этап алгоритма заключается в переборе ключей таблицы для получения желаемого значения n, а также в извлечении и сортировке тех ключей, которые являются целыми числами. Этот алгоритм был использован для вычисления пяти пятерок и шести шестерок, показанных ниже. Более компактная формула (в смысле количества символов в соответствующем значении) выбиралась каждый раз, когда ключ появлялся более одного раза.

Отрывок из решения проблемы пяти пятерок [ править ]

139 = (((5+ (5/5))! / 5) -5)140 = (0,5 * (5+ (5 * 55)))141 = ((5)! + ((5+ (5 + .5)) /. 5))142 = ((5)! + ((55 / .5) / 5))143 = ((((5+ (5/5)))! - 5) / 5)144 = ((((55/5) -5))! / 5)145 = ((5 * (5+ (5 * 5))) - 5)146 = ((5)! + ((5/5) + (5 * 5)))147 = ((5)! + ((. 5 * 55) -. 5))148 = ((5)! + (. 5 + (. 5 * 55)))149 = (5 + (((5+ (5/5)))! + 5))

Отрывок из решения проблемы шести шестерок [ править ]

В таблице ниже обозначение .6 ... представляет значение 6/9 или 2/3 ( повторяющееся десятичное число 6).

241 = ((.6 + ((6 + 6) * (6 + 6))) /. 6)242 = ((6 * (6+ (6 * 6))) - (6 / .6))243 = (6 + ((6 * (. 6 * 66)) -. 6))244 = (.6 ... * (6+ (6 * (66-6))))245 = ((((6)! + ((6)! + 66)) / 6) -6)246 = (66+ (6 * ((6 * 6) -6)))247 = (66 + ((6 + ((6)! /. 6 ...)) / 6))248 = (6 * (6+ (6 * (6 - (. 6 ... / 6)))))249 = (.6+ (6 * (6 + ((6 * 6) -. 6))))250 = (((6 * (6 * 6)) - 66) /. 6)251 = ((6 * (6+ (6 * 6))) - (6/6))

См. Также [ править ]

Крипто (игра)

Ссылки [ править ]

^ Пэт Баллью, До того, как было четыре-четыре, было четыре тройки и несколько других , Pat'sBlog , 30 декабря 2018.
^ Болл, Уолтер Уильям Роуз. Математические развлечения и эссе, страница 14 (6-е изд.).
^ "Окончательный ответ на четыре четверки (Дэвид А. Уиллер)" . Dwheeler.com .

Внешние ссылки [ править ]

Бурк, Поль. «Проблема четырех четверок» .
Карвер, Рут. «Головоломка четырех четверок» . на MathForum.org
«4444 (Четыре четверки)» . Галерея Eyegate.
four4s на GitHub
«Онлайн-реализация игры« Четыре четверки »» .

[1] Пэт Баллью, До того, как было четыре-четыре, было четыре тройки и несколько других , Pat'sBlog , 30 декабря 2018.

[2] Болл, Уолтер Уильям Роуз. Математические развлечения и эссе, страница 14 (6-е изд.).

[3] "Окончательный ответ на четыре четверки (Дэвид А. Уиллер)" . Dwheeler.com .

[1].