Эффект Франца – Келдыша.

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Эффект Франца-Келдыша является изменение оптического поглощения с помощью полупроводника , когда электрическое поле прикладывается. Эффект назван в честь немецкого физика Вальтера Франца и российского физика Леонида Келдыша (племянника Мстислава Келдыша ).

Карл В. Беер впервые наблюдал сдвиг края оптического поглощения электрическими полями ^[1] во время открытия высокополевых доменов ^[2] и назвал это эффектом Франца. ^[3] Несколько месяцев спустя, когда появился английский перевод статьи Келдыша, он исправил это на эффект Франца-Келдыша. ^[4]

Первоначально предполагалось, что эффект Франца – Келдыша является результатом «просачивания» волновых функций в запрещенную зону. При приложении электрического поля волновые функции электронов и дырок становятся функциями Эйри, а не плоскими волнами. Функция Эйри включает в себя «хвост», который простирается в классически запрещенную запрещенную зону. Согласно золотому правилу Фермичем больше перекрытие между волновыми функциями свободного электрона и дырки, тем сильнее будет оптическое поглощение. Хвосты Эйри слегка перекрываются, даже если электрон и дырка имеют немного разные потенциалы (немного разные физические положения вдоль поля). Спектр поглощения теперь включает хвост при энергиях ниже запрещенной зоны и некоторые колебания над ней. Это объяснение, однако, не учитывает эффекты экситонов , которые могут доминировать над оптическими свойствами вблизи запрещенной зоны.

Эффект Франца – Келдыша возникает в однородных объемных полупроводниках, в отличие от квантово-ограниченного эффекта Штарка , который требует квантовой ямы. Оба используются для модуляторов электропоглощения . Эффект Франца-Келдыша обычно требует сотен вольт , что ограничивает его полезность с традиционной электроникой - хотя это не относится к коммерчески доступным модуляторам электропоглощения на эффекте Франца-Келдыша, которые используют геометрию волновода для направления оптического носителя.

Влияние на модуляционную спектроскопию [ править ]

Коэффициент поглощения связан с диэлектрической проницаемостью (особенно сложной части ₂ ). Из уравнения Максвелла легко найти соотношение${\ displaystyle \ kappa}$

${\displaystyle \alpha ={\frac {2\omega k_{0}}{c}}={{\omega \kappa _{2}} \over {n_{0}c}}.}$

n ₀ и k ₀ - действительная и комплексная части показателя преломления материала. Мы рассмотрим прямой переход электрона из валентной зоны в зону проводимости, индуцированный падающим светом в идеальном кристалле, и попытаемся учесть изменение коэффициента поглощения для каждого гамильтониана с вероятным взаимодействием типа электрон-фотон, электрон-дырка, внешнее поле. Этот подход следует из. ^[5] Первой целью мы поставили теоретические основы эффекта Франца – Келдыша и модуляционной спектроскопии третьей производной.

Одноэлектронный гамильтониан в электромагнитном поле [ править ]

${\displaystyle H={1 \over 2m}(\mathbf {p} +e\mathbf {A} )^{2}+V(r)}$( A : векторный потенциал , V ( r ): периодический потенциал)

${\displaystyle A={1 \over 2}A_{0}e[e^{i(k_{p}\cdot r-\omega t)}+e^{-i(k_{p}\cdot r-\omega t)}]}$( k _p и e - волновой вектор электромагнитного поля и единичный вектор .)

Пренебрегая квадратным членом и используя соотношение внутри кулоновской калибровки , получаем${\displaystyle A^{2}}$${\displaystyle A\cdot p=p\cdot A}$${\displaystyle \nabla \cdot A=0}$

${\displaystyle H\sim {p^{2} \over 2m}+V(r)+{e \over m}A\cdot p}$

Затем с помощью функции Блоха (j = v, c, что означает валентную зону, зону проводимости)${\displaystyle |jk\rangle =e^{ik\cdot r}u_{jk}(r)}$

вероятность перехода может быть получена так, что

${\displaystyle w_{cv}={2\pi \over \hbar }|\langle ck'|{e \over m}A\cdot p|vk\rangle |^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]}$${\displaystyle ={\pi e^{2} \over 2\hbar m^{2}}A_{0}^{2}|\langle ck'|exp(ik_{p}\cdot r)e\cdot p|vk\rangle |^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]}$( означает волновой вектор света)${\displaystyle k_{p}}$${\displaystyle e\cdot p_{cv}={1 \over V}\int _{v}e^{i(k_{p}+k-k')\cdot r}{u^{*}}_{ck'}(r)e\cdot (p+\hbar k)u_{vk}(r)d^{3}r}$

Рассеяние мощности электромагнитных волн в единицу времени и единицу объема приводит к следующему уравнению

${\displaystyle \hbar \omega w_{cv}={1 \over 2}\omega \kappa _{2}\epsilon _{0}{E_{0}}^{2}}$

Из связи между электрическим полем и векторным потенциалом, можно положить${\displaystyle {E}=-{{\partial A} \over {\partial t}}}$${\displaystyle E_{0}=\omega A_{0}}$

И, наконец, мы можем получить мнимую часть диэлектрической проницаемости и, конечно, коэффициент поглощения.${\displaystyle \kappa ={{\pi e^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}\sum _{k,k'}|e\cdot p_{cv}|^{2}\delta [\mathrm {E} _{c}(k')-\mathrm {E} _{v}(k)-\hbar \omega ]\delta _{kk'}}$

Двухчастичный (электронно-дырочный) гамильтониан с электромагнитным полем [ править ]

Электрон в валентной зоне (волновой вектор k) возбуждается поглощением фотона в зону проводимости (волновой вектор в зоне равен ) и оставляет дыру в валентной зоне (волновой вектор дырки равен ). В этом случае мы включаем электронно-дырочное взаимодействие. ( )${\displaystyle k'=k_{e}}$${\displaystyle k_{h}=-k}$${\displaystyle V(r_{e}-r_{h})}$

Думая о прямом переходе, почти то же самое. Но предположим, что небольшая разница в импульсе из-за поглощения фотона не игнорируется, и пара связанных состояний-электрон-дырка очень слабая, и приближение эффективной массы справедливо для рассмотрения. Тогда мы можем составить следующую процедуру, волновую функцию и волновые векторы электрона и дырки${\displaystyle |k_{e}|,|k_{h}|}$

${\displaystyle \Psi _{ij}(r_{e},r_{h})=\psi _{ik_{e}}(r_{e})\psi _{jk_{h}}(r_{h})}$(i, j - индексы зон, а r _e , r _h , k _e , k _h - координаты и волновые векторы электрона и дырки соответственно)

И мы можем взять полный волновой вектор K так , чтобы

${\displaystyle K=k_{e}+k_{h}.}$${\displaystyle H=H_{e}+H_{h}+V(r_{e}-r_{h})}$

Тогда блоховские функции электрона и дырки можно построить с помощью фазового члена ${\displaystyle A_{cv}^{n,K}}$${\displaystyle \Psi ^{n,K}(r_{e},r_{h})=\sum _{c,k_{e},v,k_{h}}A_{cv}^{n,K}(k_{e},k_{h})\psi _{ck_{e}}(r_{e})\psi _{vk_{h}}(r_{h})}$

Если V медленно изменяется на расстоянии до интеграла, этот член можно трактовать следующим образом.

${\displaystyle [\mathrm {E} _{c}(k_{e})+\mathrm {E} _{h}(k_{h})+V(r_{e}-r_{h})-\epsilon ]A_{c,V}^{n,K}(k_{e},k_{h})=0(*)}$

здесь мы предполагаем, что зона проводимости и валентная зона являются параболическими со скалярными массами и находятся наверху валентной зоны , т.е. ( является запрещенной зоной)${\displaystyle \mathrm {E} _{v}=0}$${\displaystyle \mathrm {E} _{c}(k_{e})={{\hbar ^{2}k_{e}^{2}} \over {2m_{e}}}+\mathrm {E} _{G},\mathrm {E} _{h}(k_{h})={{\hbar ^{2}k_{h}^{2}} \over {2m_{h}}}}$${\displaystyle \mathrm {E} _{G}}$

Теперь, преобразование Фурье от и выше (*), эффективного уравнение массы для экситона может быть записано в виде${\displaystyle A_{cv}^{n,K}(k_{e},k_{h})}$

${\displaystyle [(-{\hbar ^{2} \over 2M}\nabla ^{2})+(-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2}-{e^{2} \over 4\pi \epsilon r})]\Phi ^{n,k}(r,R)=[\mathrm {E} -\mathrm {E} _{G}]\cdot \Phi ^{n,K}(r,R)}$

${\displaystyle r=r_{e}-r_{h},R={{m_{e}r_{e}+m_{h}r_{h}} \over {m_{e}+m_{h}}},{1 \over \mu }={1 \over m_{e}}+{1 \over m_{h}},M=m_{e}+m_{h}}$

тогда решение уравнения дается

${\displaystyle \Psi ^{n,K}(r,R)=\Psi _{K}(R)\psi _{n}(r)}$${\displaystyle \Psi ^{n,K}(r,R)={1 \over {\sqrt {V}}}exp(iK\cdot R)\phi _{n}(r)}$

${\displaystyle \phi _{n}(r)}$называется огибающей функцией экситона. Основное состояние экситона задается аналогично атому водорода .

тогда диэлектрическая проницаемость равна

${\displaystyle \kappa _{2}(\omega )={\pi e^{2} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}|e\cdot p_{cv}|^{2}\sum _{\lambda }|\phi _{\lambda }(0)|^{2}\delta (\mathrm {E} _{G}+\mathrm {E} _{\lambda }-\hbar \omega )(**)}$

подробный расчет в. ^[5]

Эффект Франца-Келдыша означает, что электрон в валентной зоне может быть возбужден в зону проводимости путем поглощения фотона с его энергией ниже запрещенной зоны. Теперь мы думаем об эффективном уравнении массового для относительного движения в отверстие электронной пары , когда внешнее поле приложено к кристаллу. Но мы не должны брать в гамильтониан взаимный потенциал электронно-дырочной пары.

Если пренебречь кулоновским взаимодействием, уравнение для эффективной массы имеет вид

${\displaystyle [-{\hbar ^{2} \over 2\mu }\nabla ^{2}-eE\cdot r]\psi (r)=\epsilon \psi (r)}$.

И уравнение может быть выражено,

${\displaystyle [-{\hbar ^{2} \over 2\mu }{d^{2} \over {dr_{i}^{2}}}-eE_{i}r_{i}-\epsilon _{i}]\psi (r_{i})=0}$(где - значение в направлении главной оси тензора приведенной эффективной массы)${\displaystyle \mu _{i}}$

Используя замену переменных:

${\displaystyle \hbar \theta _{i}=({{e^{2}E_{i}^{2}\hbar ^{2}} \over {2\mu _{i}}})^{1/3},\xi _{i}={{\epsilon _{i}+eE_{i}r_{i}} \over {\hbar \theta _{i}}}}$

тогда решение

${\displaystyle \psi (\xi _{x},\xi _{y},\xi _{z})=C_{x}C_{y}C_{z}Ai(-\xi _{x})Ai(-\xi _{y})Ai(-\xi _{z})}$

куда ${\displaystyle C_{i}={{\sqrt {e|E_{i}|}} \over {\hbar \theta }}}$

Например, решение дается формулой${\displaystyle E_{y}=E_{z}=0,E_{x}}$

${\displaystyle \psi (x,y,z)=C\cdot Ai({{-eEx-\epsilon +\hbar ^{2}k_{y}^{2}/2\mu _{y}+\hbar ^{2}k_{z}^{2}/2\mu _{z}} \over {\hbar \theta _{x}}})}$

Диэлектрическую проницаемость можно получить, вставив это уравнение в (**) (блок выше) и изменив сумму по λ на ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}d\epsilon _{z}}$

Интеграл по дается совместной плотностью состояний для двумерной зоны. (Совместная плотность состояний - это не что иное, как значение плотности состояний как электрона, так и дырки одновременно.)${\displaystyle d\epsilon _{x}d\epsilon _{y}}$

${\displaystyle {\kappa (\omega ,E)}={{\pi ^{2}} \over {\epsilon _{0}m^{2}\omega ^{2}}}|e\cdot p_{c}v|^{2}{{e|E_{x}|} \over {\hbar \theta _{x}^{2}}}\int _{-\infty }^{\infty }{J^{2D}}_{cv}(\hbar \omega -\epsilon _{G}-\epsilon _{x})\cdot |Ai(-{{\epsilon _{x}} \over {\hbar \theta }})^{2}|d\epsilon _{x}.}$

куда ${\displaystyle J_{cv}^{2D}(\hbar \omega )={(\mu _{y}\mu _{z})^{1/2} \over \pi \hbar ^{2}},\hbar \omega >\epsilon _{G}.}$

${\displaystyle =0,\hbar \omega <\epsilon _{G}.}$

Затем мы положили ${\displaystyle \eta ={{\hbar \omega -\epsilon _{G}} \over {\hbar \theta _{x}}}}$

И подумайте о случае, который мы находим , то есть об асимптотическом решении для функции Эйри в этом пределе.${\displaystyle \eta <<0}$${\displaystyle \hbar \omega <<\epsilon _{G}}$

Ну наконец то,${\displaystyle \kappa _{2}(\omega ,E_{x})={1/2}\kappa _{2}(\omega )exp[{-4 \over 3}({{\epsilon _{G}-\hbar \omega } \over {\hbar \theta _{x}}})]}$

Следовательно, диэлектрическая проницаемость для энергии падающих фотонов ниже запрещенной зоны существует! Эти результаты показывают, что происходит поглощение падающего фотона.

См. Также [ править ]

• Квантово-ограниченный эффект Штарка

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• W. Franz, Einfluß eines elektrischen Feldes auf eine optische Absorptionskante , Z. Naturforschung 13a (1958) 484–489.
• Келдыш Л.В. Поведение неметаллических кристаллов в сильных электрических полях // Изв. Теорет. Phys. (СССР) 33 (1957) 994–1003, перевод: ЖЭТФ «Советская физика» 6 (1958) 763–770.
• Келдыш Л.В. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны // Изв. Теорет. Phys. (СССР) 47 (1964) 1945–1957, перевод: ЖЭТФ 20 (1965) 1307–1314.
• Уильямс, Ричард (1960-03-15). «Индуцированное электрическим полем поглощение света в CdS». Физический обзор . Американское физическое общество (APS). 117 (6): 1487–1490. DOI : 10.1103 / Physrev.117.1487 . ISSN  0031-899X .
• JI Pankove, Оптические процессы в полупроводниках , Dover Publications Inc., Нью-Йорк (1971).
• Х. Хауг и С.В. Кох, "Квантовая теория оптических и электронных свойств полупроводников", World Scientific (1994).
• К. Киттель, " Введение в физику твердого тела ", Wiley (1996).