В квантовой физике , золотое правило Ферми представляет собой формулу , которая описывает скорость перехода (вероятность перехода в единицу времени) от одной энергии собственного состояния квантовой системы к группе энергии собственных состояний в континууме, в результате слабого возмущения . Эта скорость перехода фактически не зависит от времени (до тех пор пока сила возмущения не зависит от времени) и пропорциональна прочности связи между начальным и конечным состояниями системы (описывается квадрат матричного элемента из возмущение), а также плотность состояний. Это также применимо, когда конечное состояние является дискретным, т.е. оно не является частью континуума, если в процессе есть некоторая декогеренция , такая как релаксация или столкновение атомов, или подобный шум в возмущении, и в этом случае плотность состояний заменяется величиной, обратной ширине полосы декогеренции.
Общий
Несмотря на то, что названа в честь Энрико Ферми , большая часть работ, ведущих к «золотому правилу», принадлежит Полю Дираку , который 20 лет назад сформулировал практически идентичное уравнение, включающее три компонента постоянной, матричный элемент возмущения и энергию разница. [1] [2] Ему было дано это название, потому что Ферми назвал его «золотым правилом № 2» из-за его важности. [3]
В большинстве случаев использование термина «золотое правило Ферми» относится к «золотому правилу № 2», однако «золотое правило № 1» Ферми имеет аналогичную форму и учитывает вероятность непрямых переходов в единицу времени. [4]
Ставка и ее вывод
Золотое правило Ферми описывает систему, которая начинается с собственного состояния невозмущенного гамильтониана H 0 и учитывает влияние возмущающего гамильтониана H ', примененного к системе. Если H 'не зависит от времени, система переходит только в те состояния континуума, которые имеют ту же энергию, что и начальное состояние. Если H ' колеблется синусоидально как функция времени (то есть это гармоническое возмущение) с угловой частотой ω , переход происходит в состояния с энергиями, которые отличаются на ħω от энергии начального состояния.
В обоих случаях вероятность перехода в единицу времени из начального состояния к набору конечных состояний по существу постоянный. В первом приближении она задается формулой
где - матричный элемент (в обозначениях бра – кет ) возмущения H ' между конечным и начальным состояниями, и- плотность состояний (число состояний континуума, деленное на в бесконечно малом интервале энергий к ) при энергии конечных состояний. Эта вероятность перехода также называется «вероятностью распада» и связана с обратной величиной среднего времени жизни . Таким образом, вероятность нахождения системы в состоянии пропорционально .
Стандартный способ вывести уравнение - начать с зависящей от времени теории возмущений и принять предел для поглощения в предположении, что время измерения намного больше, чем время, необходимое для перехода. [5] [6]
Вывод в теории нестационарных возмущений | |
---|---|
Постановка задачиЗолотое правило является прямым следствием уравнения Шредингера , решенного до низшего порядка по возмущению H ' гамильтониана. Полный гамильтониан представляет собой сумму «исходного» гамильтониана H 0 и возмущения:. В картине взаимодействия мы можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния с помощью собственных состояний энергии невозмущенной системы, с участием . Дискретный спектр конечных состоянийСначала рассмотрим случай, когда конечные состояния дискретны. Расширение состояния возмущенной системы в момент времени t равно. Коэффициенты a n ( t ) - это еще неизвестные функции времени, дающие амплитуды вероятности в картине Дирака . Это состояние подчиняется зависящему от времени уравнению Шредингера: Разлагая гамильтониан и состояние, мы видим, что в первом порядке где E n и | п ⟩ являются стационарные собственные значения и собственные функции Н 0 . Это уравнение можно переписать в виде системы дифференциальных уравнений, задающих временную эволюцию коэффициентов : Это уравнение точное, но обычно не может быть решено на практике. Для слабого постоянного возмущения H ', которое включается при t = 0, мы можем использовать теорию возмущений. А именно, если, очевидно, что , что просто говорит о том, что система остается в исходном состоянии . Для государств , становится ненулевым из-за , и они считаются малыми из-за слабого возмущения. Коэффициент которая в невозмущенном состоянии равна единице, будет иметь слабый вклад от . Следовательно, можно подставить форму нулевого порядка в приведенное выше уравнение, чтобы получить первую поправку на амплитуды : интеграл которого можно выразить как с участием , для состояния с a i (0) = 1, a k (0) = 0, переход в состояние с a k ( t ) . Вероятность перехода из начального состояния (i-го) в конечное (f-е) определяется выражением Важно изучить периодическое возмущение с заданной частотой. поскольку произвольные возмущения можно построить из периодических возмущений разных частот. С должен быть эрмитовым, мы должны предположить , где - оператор, не зависящий от времени. Решение для этого случая [7] Это выражение действительно только тогда, когда знаменатели в приведенном выше выражении отличны от нуля, т. Е. Для данного начального состояния с энергией , энергия конечного состояния должна быть такой, чтобы Не только знаменатели должны быть ненулевыми, но и не должны быть маленькими, поскольку должен быть маленьким. Непрерывный спектр конечных состоянийПоскольку непрерывный спектр лежит выше дискретного, и из предыдущего раздела ясно, что большую роль играют энергии лежащая около резонансной энергии , т. е. когда . В этом случае достаточно оставить только первый срок для. Предполагая, что возмущения включаются со временем, тогда у нас есть Квадрат модуля упругости является Для больших , это уменьшится до линейная зависимость от . Вероятность перехода из i-го состояния в конечное состояние, лежащее в интервале (плотность состояний в бесконечно малом элементе около ) является . Таким образом, вероятность перехода в единицу времени определяется выражением Зависимость от времени исчезла , и следует постоянная скорость затухания золотого правила. [8] Как константа, она лежит в основе законов экспоненциального распада частиц радиоактивности. (Однако в течение слишком долгого времени вековой рост членов a k ( t ) делает недействительной теорию возмущений низшего порядка, для которой требуется a k ≪ a i .) |
Только величина матричного элемента входит в золотое правило Ферми. Однако фаза этого матричного элемента содержит отдельную информацию о переходном процессе. Он появляется в выражениях, которые дополняют золотое правило в подходе к полуклассическому уравнению Больцмана к переносу электронов. [9]
Хотя Золотое правило обычно формулируется и выводится в терминах выше, волновая функция конечного состояния (континуума) часто довольно расплывчато описывается и неправильно нормализуется (и при выводе используется нормализация). Проблема в том, что для создания континуума не может быть пространственного ограничения (которое обязательно дискретировало бы спектр), и поэтому волновые функции континуума должны иметь бесконечную протяженность, а это, в свою очередь, означает, что нормализациябесконечно, а не единство. Если взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел, принято нормировать волновые функции континуума с энергией помеченный , написав где - дельта-функция Дирака , и фактически коэффициент квадратного корня из плотности состояний включается в. [10] В этом случае волновая функция континуума имеет размерность[энергия], и теперь действует Золотое правило
где относится к состоянию континуума с той же энергией, что и дискретное состояние . Например, правильно нормированные волновые функции континуума для случая свободного электрона вблизи атома водорода доступны в Бете и Солпитере. [11]
Нормализованный вывод в теории возмущений, зависящих от времени | |
---|---|
Следующие перефразируют трактовку Коэна-Таннуджи. [10] Как и раньше, полный гамильтониан представляет собой сумму «исходного» гамильтониана H 0 и возмущения:. Мы все еще можем разложить временную эволюцию произвольного квантового состояния с точки зрения собственных состояний энергии невозмущенной системы, но теперь они состоят из дискретных состояний и состояний континуума. Мы предполагаем, что взаимодействия зависят от энергии состояния континуума, но не от каких-либо других квантовых чисел. Разложение по релевантным состояниям в картине Дирака равно где а также это энергии состояний . Интеграл по континууму, т.е. находится в континууме. Подставляя в нестационарное уравнение Шредингера и умножение на производит где , и умножение на производит Мы использовали нормализацию . Интегрируя последнее и подставляя первое, Здесь видно, что вовремя зависит от во все прежние времена , т.е. немарковский . Мы делаем марковское приближение, т.е. оно зависит только от вовремя (что менее ограничительно, чем приближение, что ≈1, использованное выше, и допускает сильное возмущение) где а также . Интеграция более, Дробь справа - это зарождающаяся дельта-функция Дирака , что означает, что она имеет тенденцию к в виде (без учета его мнимой части, которая приводит к несущественному сдвигу энергии, а действительная часть вызывает распад [10] ). Ну наконец то который имеет решения: , т.е. убыль населенности в исходном дискретном состоянии равна где |
Приложения
Полупроводники
Золотое правило Ферми можно использовать для расчета вероятности перехода электрона, который возбуждается фотоном из валентной зоны в зону проводимости в полупроводнике с прямой запрещенной зоной, а также для случаев, когда электрон рекомбинирует с дыркой и излучает фотон. [12] Рассмотрим фотон частоты и волновой вектор , где закон дисперсии света имеет вид а также - показатель преломления.
Используя кулоновскую калибровку, где а также , векторный потенциал ЭМ волны определяется выражением где результирующее электрическое поле равно
Для заряженной частицы в валентной зоне гамильтониан имеет вид
где - потенциал кристалла. Если наша частица - электрон () и рассматриваем процесс с участием одного фотона и первого порядка по . В результате гамильтониан
где - возмущение ЭМ волны.
Отсюда у нас есть вероятность перехода, основанная на зависящей от времени теории возмущений, которая
где - вектор поляризации света. Из возмущения очевидно, что суть расчета лежит в матричных элементах, показанных в скобке.
Для начального и конечного состояний в валентной зоне и зоне проводимости соответственно имеем а также , а если не действует на спин, электрон остается в том же спиновом состоянии, и, следовательно, мы можем записать волновые функции как блоховские волны, чтобы
где - количество элементарных ячеек с объемом . Используя эти волновые функции и немного математики, сосредоточив внимание на излучении ( фотолюминесценции ), а не на поглощении, мы приходим к скорости перехода
где - матричный элемент дипольного момента перехода - качественно математическое ожидание и в этой ситуации принимает вид
Наконец, мы хотим узнать общую скорость перехода . Следовательно, нам нужно просуммировать по всем начальным и конечным состояниям (т.е. интеграл от зоны Бриллюэна в k- пространстве) и учесть вырождение спина, которое с помощью некоторой математики приводит к
где представляет собой совместную плотность состояний валентной проводимости (т. е. плотность пары состояний; одно занятое валентное состояние, одно пустое состояние проводимости). В 3D это
но совместная DOS отличается для 2D, 1D и 0D.
Наконец, отметим, что в общем виде золотое правило Ферми для полупроводников можно выразить как [13]
Сканирующая туннельная микроскопия
В сканирующем туннельном микроскопе для определения туннельного тока используется золотое правило Ферми. Это принимает форму
где - матричный элемент туннелирования.
Квантовая оптика
При рассмотрении переходов уровней энергии между двумя дискретными состояниями золотое правило Ферми записывается как
где - плотность состояний фотона при заданной энергии, - энергия фотона , а- угловая частота . Это альтернативное выражение основано на том факте, что существует континуум конечных (фотонных) состояний, то есть диапазон разрешенных энергий фотонов непрерывен. [14]
Дрексхаге эксперимент
Золотое правило Ферми предсказывает, что вероятность распада возбужденного состояния зависит от плотности состояний. Это можно увидеть экспериментально, измерив скорость распада диполя около зеркала: поскольку наличие зеркала создает области с более высокой и более низкой плотностью состояний, измеренная скорость распада зависит от расстояния между зеркалом и диполем. [15] [16]
Смотрите также
- Экспоненциальный распад - Плотность вероятности
- Список вещей, названных в честь Энрико Ферми - статья со списком в Википедии
- Распад частиц
- Функция Sinc - специальная математическая функция, определяемая как sin (x) / x
- Теория нестационарных возмущений
- Правило Сарджента
Рекомендации
- ^ Брансден, BH; Иоахайн, CJ (1999). Квантовая механика (2-е изд.). п. 443. ISBN. 978-0582356917.
- ^ Дирак, РАМ (1 марта 1927 г.). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения» . Труды Королевского общества А . 114 (767): 243–265. Bibcode : 1927RSPSA.114..243D . DOI : 10.1098 / RSPA.1927.0039 . JSTOR 94746 . См. Уравнения (24) и (32).
- ^ Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658. формула VIII.2
- ^ Ферми, Э. (1950). Ядерная физика . Издательство Чикагского университета. ISBN 978-0226243658. формула VIII.19
- ^ Заметки UT Р. Швиттерса о выводе .
- ^ Это примечательно тем, что скорость постоянна, а не линейно увеличивается во времени, как можно было бы наивно ожидать для переходов со строгим сохранением энергии. Это происходит из-за интерференции колебательных вкладов переходов в многочисленные состояния континуума с лишь приблизительнымсохранением невозмущенной энергии, см. Wolfgang Pauli , Wave Mechanics: Volume 5 of Pauli Lectures on Physics (Dover Books on Physics, 2000). ISBN 0486414620 , стр. 150–151.
- Перейти ↑ Landau, LD, & Lifshitz, EM (2013). Квантовая механика: нерелятивистская теория (Том 3). Эльзевир.
- ^ Мерцбахер, Ойген (1998). «19,7» (PDF) . Квантовая механика (3-е изд.). ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 978-0-471-88702-7.
- ^ Н. А. Синицын, К. Ню и А. Х. Макдональд (2006). «Сдвиг координат в полуклассическом уравнении Больцмана и аномальный эффект Холла». Phys. Rev. B . 73 (7): 075318. arXiv : cond-mat / 0511310 . Bibcode : 2006PhRvB..73g5318S . DOI : 10.1103 / PhysRevB.73.075318 . S2CID 119476624 .
- ^ а б в Коэн-Таннуджи, Клод ; Диу, Бернард; Лалоэ, Франк (1977). Квантовая механика Том II Глава XIII Дополнение D_ {XIII} . Вайли. ISBN 978-0471164333.
- ^ Бете, Ганс и Солпитер, Эдвин (1977). Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов . Спрингер, Бостон, Массачусетс. ISBN 978-0-306-20022-9.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ Yu, Peter Y .; Кардона, Мануэль (2010). Основы полупроводников - физика и свойства материалов (4-е изд.). Springer. п. 260. DOI : 10.1007 / 978-3-642-00710-1 . ISBN 978-3-642-00709-5.
- ^ Эдвинссон, Т. (2018). «Оптическое квантовое ограничение и фотокаталитические свойства в двумерных, одномерных и нульмерных наноструктурах» . Королевское общество «Открытая наука» . 5 (9): 180387. Bibcode : 2018RSOS .... 580387E . DOI : 10,1098 / rsos.180387 . ISSN 2054-5703 . PMC 6170533 . PMID 30839677 .
- ^ Фокс, Марк (2006). Квантовая оптика: Введение . Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 51. ISBN 9780198566731.
- ^ К. Х. Дрексхаге, Х. Кун, Ф. П. Шефер (1968). «Изменение времени затухания флуоресценции молекулы перед зеркалом». Berichte der Bunsengesellschaft für Physikalische Chemie . 72 : 329. doi : 10.1002 / bbpc.19680720261 (неактивен 31 мая 2021 г.).CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) CS1 maint: DOI неактивен с мая 2021 года ( ссылка )
- ^ К. Х. Дрексхаге (1970). «Влияние диэлектрической границы раздела на время затухания флуоресценции». Журнал люминесценции . 1 : 693–701. Bibcode : 1970JLum .... 1..693D . DOI : 10.1016 / 0022-2313 (70) 90082-7 .
Внешние ссылки
- Дополнительная информация о золотом правиле Ферми
- Вывод золотого правила Ферми
- Теория нестационарных возмущений
- Золотое правило Ферми: его вывод и разбивка на идеальной модели