Галилей-ковариантная тензорная формулировка

Препарат Галилей-ковариантный тензор представляет собой способ для лечения не-релятивистской физики с использованием расширенной группы Галилея в качестве представления группы теории. Он построен в световом конусе пятимерного многообразия.

Takahashi et. др., в 1988 г., начал изучение симметрии Галилея , где могла быть разработана явно ковариантная нерелятивистская теория поля. Теория построена в световом конусе пространства Минковского (4,1) . ^{[1] [2] [3] [4]} Ранее, в 1985 г., Duval et. al. построил аналогичную тензорную формулировку в контексте теории Ньютона – Картана . ^[5] Некоторые другие авторы также разработали аналогичный галилеев тензорный формализм. ^{[6] [7]}

Галилеево многообразие [ править ]

Преобразования Галилея:

${\ displaystyle {\ textbf {x}} '= R {\ textbf {x}} - {\ textbf {v}} t + {\ textbf {a}}}$

${\ displaystyle t '= t + {\ textbf {b}}.}$

где обозначает трехмерные евклидовы вращения, - относительная скорость, определяющая галилеевы бусты, a обозначает пространственные перемещения, а b - перемещения во времени. Рассмотрим частицу со свободной массой ; соотношение массовой оболочки дается выражением .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ textbf {v}}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle p ^ {2} -2mE = 0}$

Затем мы можем определить 5-вектор,, с .${\ displaystyle p ^ {\ mu} = (p_ {x}, p_ {y}, p_ {z}, m, E) = (p_ {i}, m, E)}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$

Таким образом, мы можем определить скалярное произведение типа

${\ displaystyle p _ {\ mu} p _ {\ nu} g ^ {\ mu \ nu} = p_ {i} p_ {i} -p_ {5} p_ {4} -p_ {4} p_ {5} = p ^ {2} -2mE = k,}$

где

${\ displaystyle g ^ {\ mu \ nu} = \ pm {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & -1 & 0 \ end {pmatrix}},}$

- метрика пространства-времени, и . ^[3]${\ displaystyle p _ {\ nu} g ^ {\ mu \ nu} = p ^ {\ mu}}$

Расширенная алгебра Галилея [ править ]

Пятимерная алгебра Пуанкаре оставляет метрический инвариант${\ Displaystyle г ^ {\ му \ ню}}$

${\ displaystyle [P _ {\ mu}, P _ {\ nu}] = 0,}$

${\displaystyle {\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=g_{\mu \rho }P_{\nu }-g_{\nu \rho }P_{\mu }\,}$

${\displaystyle {\frac {1}{i}}~[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=g_{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-g_{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-g_{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,,}$

Мы можем записать генераторы как

${\displaystyle J_{i}={\frac {1}{2}}\epsilon _{ijk}M_{jk},}$

${\displaystyle K_{i}=M_{5i},}$

${\displaystyle C_{i}=M_{4i},}$

${\displaystyle D=M_{54}.}$

Тогда не обращающиеся в нуль коммутационные соотношения перепишутся как

${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},}$

${\displaystyle \left[J_{i},C_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}C_{k},}$

${\displaystyle \left[D,K_{i}\right]=iK_{i},}$

${\displaystyle \left[P_{4},D\right]=iP_{4},}$

${\displaystyle \left[P_{i},K_{j}\right]=i\delta _{ij}P_{5},}$

${\displaystyle \left[P_{4},K_{i}\right]=iP_{i},}$

${\displaystyle \left[P_{5},D\right]=-iP_{5},}$

${\displaystyle \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$

${\displaystyle \left[K_{i},C_{j}\right]=i\delta _{ij}D+i\epsilon _{ijk}J_{k},}$

${\displaystyle \left[C_{i},D\right]=iC_{i},}$

${\displaystyle \left[J_{i},P_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}P_{k},}$

${\displaystyle \left[P_{i},C_{j}\right]=i\delta _{ij}P_{4},}$

${\displaystyle \left[P_{5},C_{i}\right]=iP_{i}.}$

Важной подалгеброй Ли является

${\displaystyle [P_{4},P_{i}]=0}$

${\displaystyle [P_{i},P_{j}]=0}$

${\displaystyle [J_{i},P_{4}]=0}$

${\displaystyle [K_{i},K_{j}]=0}$

${\displaystyle \left[J_{i},J_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}J_{k},}$

${\displaystyle \left[J_{i},P_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}P_{k},}$

${\displaystyle \left[J_{i},K_{j}\right]=i\epsilon _{ijk}K_{k},}$

${\displaystyle \left[P_{4},K_{i}\right]=iP_{i},}$

${\displaystyle \left[P_{i},K_{j}\right]=i\delta _{ij}P_{5},}$

${\displaystyle P_{4}}$- генератор временных трансляций ( гамильтониан ), P _i - генератор пространственных трансляций ( оператор импульса ), является генератором галилеевых бустов и обозначает генератор вращений ( оператор углового момента ). Генератор является инвариантом Казимира и дополнительным инвариантом Казимира . Эта алгебра изоморфна расширенный галилеевой алгебре в (3 + 1) с размерами , The центральным зарядом , интерпретируемых как масса, и . ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle K_{i}}$${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle P_{5}}$${\displaystyle P^{2}-2P_{4}P_{5}}$${\displaystyle P_{5}=M}$${\displaystyle P_{4}=H}$

Третий инвариант Казимира имеет вид , где - 5-мерный аналог псевдовектора Паули – Любанского . ^[4]${\displaystyle W_{\mu \,5}W^{\mu }{}_{5}}$${\displaystyle W_{\mu \nu }=\epsilon _{\mu \alpha \beta \rho \nu }P^{\alpha }M^{\beta \rho }}$

Строения Баргмана [ править ]

В 1985 году Дюваль, Бурде и Кунцле показали, что четырехмерная теория гравитации Ньютона – Картана может быть переформулирована как редукция Калуцы – Клейна пятимерной гравитации Эйнштейна вдоль нулевого направления. Используемая метрика такая же, как метрика Галилея, но со всеми положительными значениями.

${\displaystyle g^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&0&1&0\end{pmatrix}}.}$

Этот подъем считается полезным для нерелятивистских голографических моделей. ^[8] Было показано, что гравитационные модели в этой структуре позволяют точно рассчитать прецессию ртути. ^[9]

См. Также [ править ]

• Галилейская группа
• Теория представлений галилеевой группы
• Группа Лоренца
• Группа Пуанкаре
• Псевдовектор Паули – Любанского

Ссылки [ править ]