В физике , то псевдовектор Паули-Любанского является оператором определяется из импульса и углового момента , используемый в квантово-релятивистской описания углового момента. Он назван в честь Вольфганга Паули и Юзефа Любаньского , [1]
Он описывает спиновые состояния движущихся частиц. [2] Это генератор малой группы группы Пуанкаре , то есть максимальная подгруппа (с четырьмя образующими), оставляющая собственные значения четырехмерного вектора импульса P μ инвариантными. [3]
Определение
Обычно обозначается W (реже S ) и определяется как: [4] [5] [6]
где
- - четырехмерный полностью антисимметричный символ Леви-Чивиты ;
- - оператор тензора релятивистского момента количества движения ();
- - оператор четырехмерного импульса .
На языке внешней алгебры его можно записать как двойственный по Ходжу тривектора , [7]
Примечание , а также
W μ, очевидно, удовлетворяет
а также следующие коммутаторные соотношения:
Вследствие этого,
Скаляр W μ W μ является лоренц-инвариантным оператором, коммутирует с четырехмерным импульсом и, таким образом, может служить меткой для неприводимых унитарных представлений группы Пуанкаре . То есть он может служить меткой для спина , особенности пространственно-временной структуры представления, помимо релятивистски инвариантной метки P μ P μ для массы всех состояний в представлении.
Маленькая группа
На собственном подпространстве от оператора 4-импульса с 4-импульсным собственным значением гильбертово пространство квантовой системы (или в этом отношении в стандартном представлении с ℝ 4 интерпретируется как импульсное пространство с действием 5 × 5 матрицами с верхним левым блоком 4 × 4 обычное преобразование Лоренца, последний столбец зарезервирован для переводов и действие на элементы(векторы - столбцов) импульсное пространства с 1 прилагаемых в качестве пятой строки, см стандартных текстов [8] [9] ) справедливо следующий: [10]
- Компоненты с участием заменен на образуют алгебру Ли. Это алгебра Ли Маленькой группыиз , т.е. подгруппа однородной группы Лоренца, покидающая инвариантный.
- Для любого неприводимого унитарного представления существует неприводимое унитарное представление полной группы Пуанкаре, называемое индуцированным представлением .
- Пространство представления индуцированного представления может быть получено последовательным применением элементов полной группы Пуанкаре к ненулевому элементу группы и расширяясь за счет линейности.
Неприводимое унитарное представление группы Пуанкаре характеризуется собственными значениями двух операторов Казимира а также . Лучший способ убедиться в том, что неприводимое унитарное представление действительно получается, - это показать его действие на элементе с произвольным собственным значением с 4-импульсомв полученном пространстве представления. [11] : 62–74 Неприводимость следует из построения пространства представления.
Массивные поля
В квантовой теории поля в случае массивного поля инвариант Казимира W μ W μ описывает полный спин частицы с собственными значениями
где s - спиновое квантовое число частицы, а m - ее масса покоя .
Это легко увидеть в системе покоя частицы, указанный выше коммутатор, действующий на состояние частицы, составляет [ W j , W k ] = i ε jkl W l m ; следовательно, W → = mJ → и W 0 = 0 , так что маленькая группа составляет группу вращений,
Поскольку это инвариантная величина Лоренца , она будет такой же во всех других системах отсчета .
Также принято использовать W 3 для описания проекции спина вдоль третьего направления в системе покоя.
В движущихся системах отсчета при разложении W = ( W 0 , W → ) на компоненты ( W 1 , W 2 , W 3 ) , при этом W 1 и W 2 ортогональны P → , а W 3 параллельны P → , вектор может быть выражен через вектор спина S → = ( S 1 , S 2 , S 3 ) (разложенный аналогично) как
где
- соотношение энергия – импульс .
Поперечные компоненты W 1 , W 2 , наряду с S 3 , удовлетворяют следующим коммутаторным соотношениям (которые применимы, как правило, не только к представлениям ненулевой массы),
Для частиц с ненулевой массой и полей, связанных с такими частицами,
Безмассовые поля
В общем, в случае немассивных представлений можно выделить два случая. Для безмассовых частиц [11] : 71–72
где K → - вектор динамического момента массы . Таким образом, математически P 2 = 0 не означает, что W 2 = 0.
Представления непрерывного спина
В более общем случае компоненты W → поперечные к P → могут быть ненулевыми, что дает семейство представлений, называемых цилиндрическими люксонами («люксон» - другой термин для «безмассовой частицы»), их идентифицирующее свойство состоит в том, что компоненты W → образуют подалгебру Ли, изоморфную 2-мерной евклидовой группе ISO (2) , причем продольная компонента W → играет роль генератора вращения, а поперечные компоненты - роль генераторов сдвигов. Это равносильно группа сжатие от SO (3) , и приводит к тому , что известно как непрерывные спиновым представления. Однако в этом семействе нет известных физических случаев элементарных частиц или полей. Можно доказать, что непрерывные спиновые состояния нефизичны. [11] : 69–74
Представления спиральности
В частном случае W → параллельно P → ; или, что то же самое, W → × P → = 0 → . При ненулевом W → это ограничение может быть последовательно наложено только для люксонов, поскольку коммутатор двух поперечных компонент W → пропорционален m 2 J → · P → . Для этого семейства W 2 = 0 и W μ = λP μ ; вместо этого инвариант имеет вид ( W 0 ) 2 = ( W 3 ) 2 , где
поэтому инвариант представлен оператором спиральности
Все частицы, которые взаимодействуют со слабой ядерной силой , например, попадают в это семейство, поскольку определение слабого ядерного заряда (слабый изоспин ) включает спиральность, которая, как говорилось выше, должна быть инвариантом. Появление ненулевой массы в таких случаях должно быть объяснено другими способами, такими как механизм Хиггса . Однако даже после учета таких механизмов генерации массы фотон (и, следовательно, электромагнитное поле) продолжает попадать в этот класс, хотя другие массовые собственные состояния носителей электрослабой силы ( частицы W и античастицы и Z частица) приобретают ненулевую массу.
Раньше считалось, что к этому классу относятся и нейтрино. Однако благодаря осцилляциям нейтрино теперь известно, что по крайней мере два из трех массовых состояний нейтрино с левой спиральностью и антинейтрино с правой спиральностью должны иметь ненулевую массу.
Смотрите также
- Центр масс (релятивистский)
- Классификация Вигнера
- Оператор углового момента
- Оператор Казимира
- Хиральность
- Псевдовектор
- Псевдотензор
- Индуцированное представительство
Заметки
- ^ Lubański & 1942A , стр. 310-324 , Lubański & 1942B , стр. 325–338.
- ^ Brown 1994 , стр. 180-181
- ^ Вигнера 1939 , стр. 149-204
- Перейти ↑ Ryder 1996 , p. 62
- ↑ Боголюбов 1989 , с. 273
- ^ Олссон 2011 , стр. 11
- Перейти ↑ Penrose 2005 , p. 568
- ^ Холл 2015 , Формула 1.12.
- ^ Rossmann 2002 , Глава 2.
- ^ Тунг 1985 , теорема 10.13, глава 10.
- ^ a b c Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей . 1 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521550017.
Рекомендации
- Боголюбов, Н.Н. (1989). Общие принципы квантовой теории поля (2-е изд.). Springer Verlag . ISBN 0-7923-0540-X.
- Браун, LS (1994). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46946-3.
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, 222 (2-е изд.), Springer, DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 , ISBN 978-3319134666, ISSN 0072-5285
- Любанский, JK (1942A). "Sur la theorie des Partules élémentaires de spin quelconque. I". Physica (на французском языке). 9 (3): 310–324. Bibcode : 1942Phy ..... 9..310L . DOI : 10.1016 / S0031-8914 (42) 90113-7 .
- Любанский, JK (1942B). "Sur la théorie des Partules élémentaires de spin quelconque. II". Physica (на французском языке). 9 (3): 325–338. Bibcode : 1942Phy ..... 9..325L . DOI : 10.1016 / S0031-8914 (42) 90114-9 .
- Олссон, Т. (2011). Релятивистская квантовая физика: от продвинутой квантовой механики до вводной квантовой теории поля . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-139-50432-4.
- Пенроуз, Р. (2005). Дорога к реальности . Винтажные книги. ISBN 978-0-09-944068-0.
- Россманн, Вульф (2002), Группы Ли - Введение в линейные группы , Тексты для выпускников Оксфорда по математике, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
- Райдер, LH (1996). Квантовая теория поля (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-47814-6.
- Тунг, Ву-Ки (1985). Теория групп в физике (1-е изд.). Нью-Джерси · Лондон · Сингапур · Гонконг: World Scientific . ISBN 978-9971966577.
- Вайнберг, С. (2002) [1995], Основы , Квантовая теория полей, 1 , Кембридж: Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-55001-7
- Вигнер, EP (1939). «Об унитарных представлениях неоднородной группы Лоренца». Анналы математики . 40 (1): 149–204. Bibcode : 1939AnMat..40..149W . DOI : 10.2307 / 1968551 . JSTOR 1968551 . Руководство по ремонту 1503456 .