Релятивистский угловой момент

Пространство-время
Часть серии по

Специальная теория относительности Общая теория относительности
Концепции пространства-времени Пространственно-временное многообразие Принцип эквивалентности Преобразования Лоренца Пространство Минковского
Общая теория относительности Введение в общую теорию относительности Математика общей теории относительности Уравнения поля Эйнштейна
Классическая гравитация Введение в гравитацию Закон всемирного тяготения Ньютона
Соответствующая математика Четыре вектора Выводы теории относительности Диаграммы пространства-времени Дифференциальная геометрия Искривленное пространство-время Математика общей теории относительности Топология пространства-времени
v т е

В физике , релятивистский угловой момент относится к математическому формализму и физическим представлениям , которые определяют момент количества движения в специальной теории относительности (SR) и общую теорию относительность (GR). Релятивистская величина неуловимо отличается от трехмерной величины в классической механике .

Угловой момент - важная динамическая величина, зависящая от положения и количества движения. Это мера вращательного движения объекта и его сопротивления остановке вращения. Кроме того , в том же сохранении импульса образом соответствует трансляционной симметрии, угловой соответствует закону сохранения импульса к вращательной симметрии - связь между симметриями и законами сохранения производятся теоремой Нётера . Хотя эти концепции были первоначально открыты в классической механике , они также верны и важны для специальной и общей теории относительности. В терминах абстрактной алгебры инвариантность углового момента, четырехимпульса и других симметрий в пространстве-времени описывается группой Лоренца., или, в более общем смысле, группа Пуанкаре .

Физические величины, которые остаются отдельными в классической физике, естественным образом объединяются в СТО и ОТО, обеспечивая соблюдение постулатов теории относительности. В частности, пространственные и временные координаты объединяются в четыре положения , а энергия и импульс объединяются в четыре момента . Компоненты этих четырех векторов зависят от используемой системы отсчета и изменяются при преобразованиях Лоренца в другие инерциальные системы отсчета или ускоренные системы отсчета .

Релятивистский угловой момент менее очевиден. Классическое определение углового момента - это перекрестное произведение положения x с импульсом p для получения псевдовектора x × p или, альтернативно, как внешнее произведение для получения антисимметричного тензора второго порядка x ∧ p . С чем это сочетается? Существует еще одна векторной величины не часто обсуждается - это время , изменяющийся момент массового полярного вектора ( не момент инерция ) , связанный с повышением от центра масссистемы, и это объединяется с классическим псевдовектором углового момента, чтобы сформировать антисимметричный тензор второго порядка, точно так же, как полярный вектор электрического поля объединяется с псевдовектором магнитного поля, чтобы сформировать антисимметричный тензор электромагнитного поля. Для вращающихся распределений масса-энергия (таких как гироскопы , планеты , звезды и черные дыры ) вместо точечных частиц тензор углового момента выражается через тензор энергии-импульса вращающегося объекта.

Только в специальной теории относительности в системе покоя вращающегося объекта есть собственный угловой момент, аналогичный «спину» в квантовой механике и релятивистской квантовой механике , хотя для протяженного тела, а не для точечной частицы. В релятивистской квантовой механике элементарные частицы имеют спин, и это дополнительный вклад в оператор орбитального углового момента, который дает оператор тензора полного углового момента. В любом случае, собственная «спиновая» добавка к орбитальному угловому моменту объекта может быть выражена через псевдовектор Паули – Любанского . ^[1]

Определения [ править ]

3-угловой момент как бивектор (плоский элемент) и аксиальный вектор частицы массы m с мгновенным 3-положением x и 3-импульсом p .

Орбитальный трехмерный угловой момент [ править ]

Для справки и фона даны две тесно связанные формы углового момента.

В классической механике орбитальный угловой момент частицы с мгновенным трехмерным вектором положения x = ( x , y , z ) и вектором импульса p = ( p _x , p _y , p _z ) определяется как аксиальный вектор

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ times \ mathbf {p}}

который имеет три компонента, которые систематически задаются циклическими перестановками декартовых направлений (например, изменить x на y, y на z, z на x, повторить)

{\ displaystyle {\ begin {align} L_ {x} & = yp_ {z} -zp_ {y} \ ,, \\ L_ {y} & = zp_ {x} -xp_ {z} \ ,, \\ L_ {z} & = xp_ {y} -yp_ {x} \,. \ end {выровнено}}}

Связанное определение состоит в том, чтобы представить орбитальный угловой момент как плоский элемент . Этого можно достичь, заменив перекрестное произведение внешним произведением на языке внешней алгебры , и угловой момент станет контравариантным антисимметричным тензором второго порядка ^[2]

{\ Displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {x} \ клин \ mathbf {p}}

или написав x = ( x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = ( x , y , z ) и вектор импульса p = ( p ₁ , p ₂ , p ₃ ) = ( p _x , p _y , p _z ), компоненты могут быть компактно сокращены в нотации тензорного индекса

{\ displaystyle L ^ {ij} = x ^ {i} p ^ {j} -x ^ {j} p ^ {i}}

где индексы i и j принимают значения 1, 2, 3. С другой стороны, компоненты могут систематически отображаться полностью в антисимметричной матрице 3 × 3.

{\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}

Эта величина аддитивна, и для изолированной системы полный угловой момент системы сохраняется.

Динамический момент массы [ править ]

В классической механике трехмерная величина для частицы массы m, движущейся со скоростью u ^[2]^[3]

\mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p}

имеет размерность : момент массы - длина, умноженная на массу. Это связано с ускорением ( относительной скоростью ) центра масс (COM) частицы или системы частиц, измеренным в лабораторной системе отсчета . У этой величины нет универсального символа или даже универсального названия. Различные авторы могут обозначать его другими символами, если они есть (например, μ ), могут обозначать другие имена и могут определять N как отрицательное значение того, что здесь используется. Вышеупомянутая форма имеет то преимущество, что она напоминает знакомое преобразование Галилея для положения, которое, в свою очередь, является нерелятивистским повышающим преобразованием между инерциальными системами отсчета.

Этот вектор также аддитивен: для системы частиц векторная сумма является равнодействующей

\sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\mathrm {TOT} }(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)

где положение центра масс системы, скорость и общая масса соответственно

\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}

, , .

\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}}

M_{\mathrm {TOT} }=\sum _{n}m_{n}

Для изолированной системы N сохраняется во времени, что можно увидеть, дифференцируя по времени. Угловой момент L является псевдовектором, а N - «обычным» (полярным) вектором и, следовательно, инвариантен относительно вращений.

Результирующая _суммаN для многочастичной системы имеет физическую визуализацию: каким бы сложным ни было движение всех частиц, они движутся таким образом, что COM системы движется по прямой линии. Это не обязательно означает, что все частицы «следуют» за СОМ, или что все частицы движутся почти в одном направлении одновременно, только то, что движение всех частиц ограничено по отношению к центру масс.

В специальной теории относительности, если частица движется со скоростью u относительно лабораторной системы отсчета, то

E=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},\quad \mathbf {p} =\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u}

куда

\gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}

- фактор Лоренца, а m - масса (т. е. масса покоя) частицы. Соответствующий релятивистский момент массы через m , u , p , E в той же лабораторной системе отсчета равен

\mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).

Декартовы компоненты

{\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}

Специальная теория относительности [ править ]

Преобразования координат для усиления в направлении x [ править ]

Рассмотрим систему координат F ′, которая движется со скоростью v = ( v , 0, 0) относительно другой системы координат F в направлении совпадающих осей xx ′ . Начало двух систем координат совпадает в моменты времени t = t ′ = 0. Масса – энергия E = mc ² и компоненты импульса p = ( p _x , p _y , p _z ) объекта, а также координаты положения x = ( x , y , z ) и время tв системе F преобразуются в E ′ = m ′ c ² , p ′ = ( p _x ′, p _y ′, p _z ′), x ′ = ( x ′, y ′, z ′) и t ′ в F ′ Согласно преобразованиям Лоренца

{\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}

Фактор Лоренца здесь применяется к скорости v , относительной скорости между кадрами. Это не обязательно то же самое, что и скорость объекта u .

Для орбитального трёхмерного углового момента L как псевдовектора имеем

{\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}

Вывод

Для x-компоненты

L_{x}'=y'p_{z}'-z'p_{y}'=yp_{z}-zp_{y}=L_{x}

y-компонента

{\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}t-z{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}

и z-компонент

{\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}

Во втором плане L _у 'и L _г ', то у и г компонент кросс продукта V × N может быть выведена путем распознавания циклических перестановок из V _х = v и v _у = V _г = 0 с компонентами N ,

{\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}

Теперь L _x параллельна относительной скорости v , а другие компоненты L _y и L _z перпендикулярны v . Параллельно-перпендикулярное соответствие можно облегчить, разделив весь псевдовектор трёхмерного углового момента на компоненты, параллельные (∥) и перпендикулярные () к v в каждом кадре,

\mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.

Тогда составляющие уравнения можно собрать в уравнения псевдовектора

{\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}

Следовательно, компоненты момента количества движения вдоль направления движения не изменяются, а составляющие перпендикулярно изменяются. В отличие от преобразований пространства и времени, время и пространственные координаты изменяются вдоль направления движения, а перпендикулярные - нет.

Эти преобразования верны для всех v , а не только для движения по осям xx ′ .

Рассматривая L как тензор, получаем аналогичный результат

\mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)

куда

{\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}

Прирост динамического момента массы по направлению x равен

{\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}

Вывод

Для x-компоненты

{\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}

y-компонента

{\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}

и z-компонент

{\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}

Сбор параллельных и перпендикулярных компонентов, как и раньше

{\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}

Опять же, компоненты, параллельные направлению относительного движения, не изменяются, а те, что перпендикулярны, изменяются.

Векторные преобразования для ускорения в любом направлении [ править ]

Пока это только параллельные и перпендикулярные разложения векторов. Преобразования полных векторов могут быть построены из них следующим образом (здесь L - псевдовектор для конкретности и совместимости с векторной алгеброй).

Введем единичный вектор в направлении v , равный n = v / v . Параллельные компоненты приведены в проекции вектора из L или N в п

\mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

в то время как перпендикулярная компонента с вектором отказа от L или N от п

\mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

и преобразования

{\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}

или восстановив v = v n ,

{\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}

Они очень похожи на преобразования Лоренца электрического поля E и магнитного поля B , см. Классический электромагнетизм и специальную теорию относительности .

В качестве альтернативы, начиная с векторных преобразований Лоренца времени, пространства, энергии и импульса для ускорения со скоростью v ,

{\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}

вставляя их в определения

\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {N} '={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '

дает преобразования.

Получение векторных преобразований напрямую

Орбитальный угловой момент в каждой системе отсчета равен

\mathbf {L} '=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,\quad \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p}

поэтому взяв перекрестное произведение преобразований

{\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{aligned}}

Использование правила тройного произведения

{\begin{aligned}\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )&=\mathbf {b} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )-\mathbf {c} (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\\(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} &=(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} -(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} \\\end{aligned}}

дает

{\begin{aligned}(\mathbf {r} \times \mathbf {p} )\times \mathbf {v} &=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} \\(\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {p} -(\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} )\mathbf {r} &=\mathbf {L} \times \mathbf {v} \\\end{aligned}}

и наряду с определением N мы имеем

\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]

Восстановив единичный вектор n ,

\mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \right]

Поскольку в преобразовании слева есть векторное произведение с n ,

\mathbf {n} \times (\mathbf {L} \times \mathbf {n} )=\mathbf {L} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {n} )-\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )=\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )

тогда

\mathbf {L} '=\mathbf {L} +(\gamma -1)(\mathbf {L} -\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} ))+\beta \gamma c\mathbf {n} \times \mathbf {N} =\gamma (\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma -1)\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {L} )

4d Угловой момент как бивектор [ править ]

В релятивистской механике ускорение COM и орбитальный трехмерный угловой момент вращающегося объекта объединены в четырехмерный бивектор в терминах четырехпозиционного X и четырехмерного импульса P объекта ^[4]^[5]

\mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P}

В компонентах

M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }

которые в сумме представляют собой шесть независимых величин. Поскольку компоненты X и P зависят от фрейма, M тоже . Три компонента

M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}

- это те из знакомых классических трёхмерных орбитальных угловых моментов, а остальные три

M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}

- релятивистский момент массы, умноженный на - c . Тензор антисимметричен;

M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }

Компоненты тензора можно систематически отображать в виде матрицы

{\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}

в котором последний массив является блочной матрицей, сформированной путем обработки N как вектора-строки, матрица которого транспонируется в вектор-столбец N ^T , а x ∧ p как антисимметричная матрица 3 × 3 . Линии просто вставлены, чтобы показать, где находятся блоки.

Опять же, этот тензор является аддитивным: полный угловой момент системы является суммой тензоров углового момента для каждой составляющей системы:

\mathbf {M} _{\mathrm {total} }=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.

Каждый из шести компонентов образует сохраняемую величину при агрегировании с соответствующими компонентами для других объектов и полей.

Тензор углового момента M действительно является тензором, компоненты изменяются в соответствии с матрицей преобразования Лоренца Λ, как обычно иллюстрируется обозначением тензорного индекса

{\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},

где для разгона (без вращений) с нормированной скоростью β = v / c матричные элементы преобразования Лоренца равны

{\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}

а ковариантная β _i и контравариантная β ⁱ компоненты β совпадают, поскольку это просто параметры.

Другими словами, можно провести Лоренц-преобразование четырех положений и четырех импульсов по отдельности, а затем антисимметризовать эти недавно обнаруженные компоненты, чтобы получить тензор углового момента в новой системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Преобразование компонентов наддува:

{\begin{aligned}M'^{k0}&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{0}}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}M^{ij}\\\end{aligned}}

что касается орбитального углового момента

{\begin{aligned}{M'}^{k\ell }&={\Lambda ^{k}}_{\mu }{\Lambda ^{\ell }}_{\nu }M^{\mu \nu }\\&={\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{00}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{0j}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\\&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)M^{i0}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}M^{ij}\end{aligned}}

Выражения в записях преобразования Лоренца:

{\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}

дает

{\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}

или в векторной форме, разделив на c

\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right){\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {N} \right)-{\frac {1}{c}}\gamma {\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L}

или восстанавливая β = v / c ,

\mathbf {N} '=\gamma \mathbf {N} -\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\right)\mathbf {v} \left(\mathbf {v} \cdot \mathbf {N} \right)-\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {L}

и

{\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}

или преобразование в форму псевдовектора

{\begin{aligned}\varepsilon ^{k\ell n}L'_{n}&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+\varepsilon ^{k\ell n}L_{n}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\left(\beta ^{\ell }\beta _{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}-\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{\ell in}L_{n}\right)\\\end{aligned}}

в векторной записи

\mathbf {L} '=\gamma c{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\boldsymbol {\beta }}\times ({\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {L} )

или восстанавливая β = v / c ,

\mathbf {L} '=\gamma \mathbf {v} \times \mathbf {N} +\mathbf {L} +{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {v} \times \left(\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)

Вращение жесткого тела [ править ]

Для частицы, движущейся по кривой, перекрестное произведение ее угловой скорости ω (псевдовектор) и положения x дает ее тангенциальную скорость

\mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x}

которая не может превышать величину c , поскольку в СТО поступательная скорость любого массивного объекта не может превышать скорость света c . Математически это ограничение 0 ≤ | u | < c , вертикальные черты обозначают величину вектора. Если угол между ω и x равен θ (предполагается, что он отличен от нуля, иначе u будет равно нулю, что соответствует отсутствию движения), то | u | = | ω || x | sin θ, а угловая скорость ограничена

0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}

Таким образом, максимальная угловая скорость любого массивного объекта зависит от его размера. Для данного | x | минимальный верхний предел возникает, когда ω и x перпендикулярны, так что θ = π / 2 и sin θ = 1.

Для вращающегося твердого тела, вращающегося с угловой скоростью ω , u представляет собой тангенциальную скорость в точке x внутри объекта. Для каждой точки объекта существует максимальная угловая скорость.

Угловая скорость (псевдовектор) связана с угловым моментом (псевдовектор) через тензор момента инерции I

\mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}

(точка · означает тензорное сжатие по одному индексу). Релятивистский угловой момент также ограничен размером объекта.

Спин в специальной теории относительности [ править ]

Четыре вращения [ править ]

Частица может иметь «встроенный» угловой момент, не зависящий от ее движения, называемый спином и обозначаемый s . Это 3d псевдовектор как орбитальный угловой момент L .

У спина есть соответствующий спиновый магнитный момент , поэтому, если частица подвергается взаимодействиям (например, электромагнитным полям или спин-орбитальной связи ), направление вектора спина частицы изменится, но его величина будет постоянной.

Расширение специальной теории относительности несложно. ^[6] Для некоторой лабораторной системы F, пусть F ′ будет системой покоя частицы, и предположим, что частица движется с постоянной 3-скоростью u . Затем F 'увеличивается с той же скоростью, и преобразования Лоренца применяются как обычно; удобнее использовать β = u / c . Как четырехвектор в специальной теории относительности, четырехспиновый S обычно принимает обычную форму четырехвектора с времяподобной компонентой s _t и пространственными компонентами s в лабораторной системе отсчета

\mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})

хотя в системе покоя частицы она определяется так, что времениподобная компонента равна нулю, а пространственные компоненты являются компонентами фактического вектора спина частицы, в обозначении здесь s ', поэтому в системе координат частицы

\mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)

Приравнивание норм приводит к инвариантному соотношению

s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '

поэтому, если величина спина дана в системе покоя частицы и в лабораторной системе отсчета наблюдателя, величина времениподобной компоненты s _{t также} дана в лабораторной системе отсчета.

Векторные преобразования, полученные из тензорных преобразований

Усиленные компоненты четырех вращений относительно лабораторной рамы:

{\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}

Здесь γ = γ ( u ). S 'находится в системе покоя частицы, поэтому его времениподобная компонента равна нулю, S ' ⁰ = 0 , а не S ⁰ . Кроме того, первое эквивалентно внутреннему произведению четырехскоростной (деленной на с ) и четырехскоростной. Объединение этих фактов приводит к

{S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0

который является инвариантом. Затем это в сочетании с преобразованием времениподобного компонента приводит к воспринимаемому компоненту в лабораторном кадре;

S^{0}=\beta _{i}S^{i}

Обратные соотношения:

{\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}

Ковариантным ограничением на спин является ортогональность вектору скорости,

U_{\alpha }S^{\alpha }=0

В 3-векторной записи для наглядности преобразования таковы:

{\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}

Обратные отношения

{\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}

- компоненты вращения лабораторной системы отсчета, вычисленные из компонентов системы покоя частицы. Хотя спин частицы постоянен для данной частицы, в лабораторных условиях он кажется другим.

Псевдовектор Паули – Любанского [ править ]

Паули-Любанского псевдовектор

S_{\rho }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\lambda \mu \nu \rho }U^{\lambda }J^{\mu \nu },

относится как к массивным, так и к безмассовым частицам .

Спин-орбитальное разложение [ править ]

В общем случае тензор полного углового момента распадается на орбитальную и спиновую компоненты :

J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.

Это применимо к частице, распределению массы-энергии-импульса или полю.

Угловой момент распределения масса – энергия – импульс [ править ]

Угловой момент из тензора массы-энергии-импульса [ править ]

Ниже приводится краткое изложение MTW . ^[7] Для простоты используются декартовы координаты. В специальной и общей теории относительности распределение массы-энергии-импульса, например жидкость или звезда, описывается тензором энергии-импульса T ^βγ ( тензорное поле второго порядка, зависящее от пространства и времени). Поскольку T ⁰⁰ - это плотность энергии, T ^{j 0} для j = 1, 2, 3 - j- я компонента 3d-импульса объекта на единицу объема, а T ^ij формирует компоненты тензора напряжений.включая сдвиговые и нормальные напряжения, плотность орбитального углового момента относительно положения 4-вектора X ^β задается тензором 3-го порядка

{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }

Это антисимметрично по α и β . В специальной и общей теории относительности T - симметричный тензор, но в других контекстах (например, в квантовой теории поля) это может быть не так.

Пусть Ω - область 4-го пространства-времени. Граница является 3d пространства - времени гиперповерхность ( «пространство - объем поверхность» в отличие от «пространственной области поверхности»), обозначается дП где «∂» означает «граница». Интегрирование плотности углового момента по гиперповерхности трехмерного пространства-времени дает тензор углового момента относительно X ,

M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }

где dΣ _γ - объемная 1-форма, играющая роль единичного вектора, нормального к двумерной поверхности в обычном трехмерном евклидовом пространстве. Интеграл берется по координатам X , а не X . Интеграл внутри пространственноподобной поверхности постоянного времени равен

M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dxdydz

которые вместе образуют тензор углового момента.

Угловой момент относительно центра масс [ править ]

В системе центра масс есть собственный угловой момент, другими словами, угловой момент любого события.

\mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)

на линии центра масс объекта. Поскольку T ⁰⁰ - это плотность энергии объекта, пространственные координаты центра масс определяются выражением

X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz

Установка Y = X _{COM позволяет} получить плотность орбитального углового момента относительно центра масс объекта.

Сохранение углового момента [ править ]

Сохранения энергии-импульса задается в дифференциальной форме с помощью уравнения непрерывности

\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0

где ∂ _γ - четыре градиента . (В не декартовых координатах и общей теории относительности это было бы заменено ковариантной производной ). Сохранение полного углового момента дается другим уравнением неразрывности

\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0

Интегральные уравнения используют теорему Гаусса в пространстве-времени.

{\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}

Крутящий момент в специальной теории относительности [ править ]

Крутящий момент, действующий на точечную частицу, определяется как производная тензора момента количества движения, указанного выше, по собственному времени: ^[8]^[9]

{\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F}

или в компонентах тензора:

\Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }

где Р является 4d сила , действующая на частицу в событии X . Как и в случае с угловым моментом, крутящий момент является аддитивным, поэтому для протяженного объекта можно суммировать или интегрировать распределение массы.

Угловой момент как генератор ускорений и вращений пространства-времени [ править ]

В этом разделе см. (Например) BR Durney (2011), ^[10] и HL Berk et al. ^[11] и ссылки в нем.

Тензор углового момента является генератором ускорений и вращений для группы Лоренца . Повышения Лоренца можно параметризовать скоростью и трехмерным единичным вектором n, указывающим в направлении повышения, которые объединяются в «вектор скорости»

{\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta

где β = v / c - скорость относительного движения, деленная на скорость света. Пространственные повороты можно параметризовать с помощью представления ось-угол , угла θ и единичного вектора a, указывающего в направлении оси, которые объединяются в «вектор ось-угол».

{\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a}

Каждый единичный вектор имеет только две независимые компоненты, третья определяется по единичной величине. Всего существует шесть параметров группы Лоренца; три для вращения и три для повышения. (Однородная) группа Лоренца шестимерна.

Генераторы повышения K и генераторы вращения J могут быть объединены в один генератор для преобразований Лоренца; M - антисимметричный тензор углового момента с компонентами

M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.

и, соответственно, параметры ускорения и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с элементами:

\omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,

где соглашение суммирования по повторяющимся индексам i, j, k было использовано для предотвращения неуклюжих знаков суммирования. Общее преобразование Лоренца тогда задается матричной экспонентой

\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)

и соглашение о суммировании было применено к повторяющимся матричным индексам α и β .

Общее преобразование Лоренца Λ - это закон преобразования для любых четырех векторов A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ), задающий компоненты этого же 4-вектора в другой инерциальной системе отсчета.

\mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A}

Тензор углового момента образует 6 из 10 генераторов группы Пуанкаре , остальные четыре являются компонентами четырехимпульса для пространственно-временных трансляций.

Угловой момент в общей теории относительности [ править ]

Угловой момент пробных частиц на слегка изогнутом фоне более сложен в ОТО, но может быть обобщен простым образом. Если лагранжиан выражается относительно угловых переменных как обобщенные координаты , то угловые моменты являются функциональными производными лагранжиана по угловым скоростям . В декартовых координатах они обычно задаются недиагональными членами сдвига пространственноподобной части тензора энергии-импульса . Если пространство-время поддерживает касательное векторное поле Киллинга к окружности, то угловой момент вокруг оси сохраняется.

Также желательно изучить влияние компактной вращающейся массы на окружающее ее пространство-время. Прототип решения основан на метрике Керра , которая описывает пространство-время вокруг аксиально-симметричной черной дыры . Очевидно, невозможно нарисовать точку на горизонте событий черной дыры Керра и наблюдать, как она вращается. Однако решение поддерживает постоянную системы, которая математически действует аналогично угловому моменту.

См. Также [ править ]

Прецессия Томаса
Угловой момент света
Задача двух тел в общей теории относительности
Проблема Кеплера в общей теории относительности
Релятивистская механика
Центр масс (релятивистский)
Уравнения Матиссона – Папапетру – Диксона

Ссылки [ править ]

^ DSA Freed; ККА Уленбек (1995). Геометрия и квантовая теория поля (2-е изд.). Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси): Американское математическое общество . ISBN 0-8218-8683-5.
^ а б Р. Пенроуз (2005). Дорога в реальность . старинные книги. п. 433. ISBN. 978-0-09-944068-0. Пенроуз включает коэффициент 2 в произведение клина, другие авторы также могут.
^ М. Fayngold (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Вили и сыновья . п. 138. ISBN 978-3-527-40607-4.
^ Р. Пенроуз (2005). Дорога в реальность . старинные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя обычно для векторов и тензоров в пространстве-времени используются греческие индексы.
^ М. Fayngold (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Вили и сыновья. С. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.
^ Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 556–557 . ISBN 0-471-43132-X.CS1 maint: ref=harv (link)Обозначения Джексона: S (спин в F, лабораторная система отсчета), s (спин в F ′, система покоя частицы), S ⁰ (времениподобная компонента в лабораторной системе координат), S ′ ⁰ = 0 (времениподобная компонента в системе покоя частицы) , нет символа для 4-спина как 4-вектора
^ Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 156–159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.
^ С. Аранофф (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе в состоянии равновесия в специальной теории относительности» . Американский журнал физики . 37 (4): 453–454. Bibcode : 1969AmJPh..37..453A . DOI : 10.1119 / 1.1975612 .Этот автор использует T для крутящего момента, здесь мы используем прописную Gamma Γ, поскольку T чаще всего зарезервирован для тензора энергии-напряжения .
^ С. Аранофф (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode : 1972NCimB..10..155A . DOI : 10.1007 / BF02911417 . S2CID 117291369 .
^ BR Durney (2011). «Преобразования Лоренца». arXiv : 1103.0156 [ Physics.gen -ph ].
^ HL Берк; К. Чайчердсакул; Т. Удагава. «Собственный однородный оператор преобразования Лоренца e L = e - ω · S - ξ · K , куда он идет, в чем суть» (PDF) . Техас, Остин.

К. Хриссомалакос; Х. Эрнандес-Коронадо; Э. Окон (2009). «Центр масс в специальной и общей теории относительности и его роль в эффективном описании пространства-времени». J. Phys. Конф. Сер . Мексика. 174 (1): 012026. arXiv : 0901.3349 . Bibcode : 2009JPhCS.174a2026C . DOI : 10.1088 / 1742-6596 / 174/1/012026 . S2CID 17734387 .
У. Э. Шредер (1990). Специальная теория относительности . Конспект лекций в серии «Физика». 33 . World Scientific . п. 139. ISBN 981-02-0132-X.

Дальнейшее чтение [ править ]

Специальная теория относительности [ править ]

Р. Торретти (1996). Относительность и геометрия . Дуврские книги по физике. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-69046-6.

Общая теория относительности [ править ]

Л. Бланше; А. Спалличчи; Б. Уайтинг (2011). Масса и движение в общей теории относительности . Фундаментальные теории физики. 162 . Springer. п. 87. ISBN 978-90-481-3015-3.
М. Людвигсен (1999). Общая теория относительности: геометрический подход . Издательство Кембриджского университета . п. 77. ISBN 0-521-63976-X.
Н. Эшби, Д. Ф. Бартлетт, У. Висс (1990). Общая теория относительности и гравитации 1989: Труды 12-й Международной конференции по общей теории относительности и гравитации . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-38428-1.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
BL Hu; Депутат Райан; Депутат Райан; Резюме Вишвешвара (2005). Направления в общей теории относительности: Том 1: Труды 1993 . Направления в общей теории относительности: материалы Международного симпозиума 1993 г., Мэриленд: документы в честь Чарльза Миснера. 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 347. ISBN 0-521-02139-1.
А. Папапетру (1974). Лекции по общей теории относительности . Springer. ISBN 90-277-0514-3.

Внешние ссылки [ править ]

Н. Меникуччи (2001). «Релятивистский угловой момент» (PDF) .
«Специальная теория относительности» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 04.11.2013 . Проверено 30 октября 2013 .

[1] DSA Freed; ККА Уленбек (1995). Геометрия и квантовая теория поля (2-е изд.). Институт перспективных исследований (Принстон, Нью-Джерси): Американское математическое общество . ISBN 0-8218-8683-5.

[Penrose_p433-2] а б Р. Пенроуз (2005). Дорога в реальность . старинные книги. п. 433. ISBN. 978-0-09-944068-0. Пенроуз включает коэффициент 2 в произведение клина, другие авторы также могут.

[3] М. Fayngold (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Вили и сыновья . п. 138. ISBN 978-3-527-40607-4.

[4] Р. Пенроуз (2005). Дорога в реальность . старинные книги. С. 437–438, 566–569. ISBN 978-0-09-944068-0. Примечание. Некоторые авторы, в том числе Пенроуз, используют в этом определении латинские буквы, хотя обычно для векторов и тензоров в пространстве-времени используются греческие индексы.

[5] М. Fayngold (2008). Специальная теория относительности и как она работает . Джон Вили и сыновья. С. 137–139. ISBN 978-3-527-40607-4.

[6] Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . С. 556–557 . ISBN 0-471-43132-X.CS1 maint: ref=harv (link)Обозначения Джексона: S (спин в F, лабораторная система отсчета), s (спин в F ′, система покоя частицы), S ⁰ (времениподобная компонента в лабораторной системе координат), S ′ ⁰ = 0 (времениподобная компонента в системе покоя частицы) , нет символа для 4-спина как 4-вектора

[7] Дж. А. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация . WH Freeman & Co., стр. 156–159, §5.11. ISBN 0-7167-0344-0.

[8] С. Аранофф (1969). «Крутящий момент и угловой момент в системе в состоянии равновесия в специальной теории относительности» . Американский журнал физики . 37 (4): 453–454. Bibcode : 1969AmJPh..37..453A . DOI : 10.1119 / 1.1975612 .Этот автор использует T для крутящего момента, здесь мы используем прописную Gamma Γ, поскольку T чаще всего зарезервирован для тензора энергии-напряжения .

[9] С. Аранофф (1972). «Равновесие в специальной теории относительности» (PDF) . Nuovo Cimento . 10 (1): 159. Bibcode : 1972NCimB..10..155A . DOI : 10.1007 / BF02911417 . S2CID 117291369 .

[10] BR Durney (2011). «Преобразования Лоренца». arXiv : 1103.0156 [ Physics.gen -ph ].

[11] HL Берк; К. Чайчердсакул; Т. Удагава. «Собственный однородный оператор преобразования Лоренца e L = e - ω · S - ξ · K , куда он идет, в чем суть» (PDF) . Техас, Остин.