В математической теории игр , в частности при изучении непрерывных игр с нулевой суммой , не каждая игра имеет минимаксное значение. Это ожидаемая ценность для одного из игроков, когда оба используют идеальную стратегию (которая заключается в выборе из определенного PDF-файла ).
В этой статье приводится пример игры с нулевой суммой, которая не имеет ценности . Это связано с Сионом и Вулфом . [1]
Известно, что игры с нулевой суммой с конечным числом чистых стратегий имеют минимаксное значение (первоначально доказанное Джоном фон Нейманом ), но это не обязательно так, если игра имеет бесконечный набор стратегий. Ниже приводится простой пример игры без минимаксного значения.
Существование таких игр с нулевой суммой интересно тем, что многие результаты теории игр становятся неприменимыми, если нет минимаксного значения.
Игра
Игроки I и II выбирают номер, а также соответственно, с ; выигрыш для меня
(т.е. игрок II платит игроку I; игра с нулевой суммой ). Иногда игрока I называют максимизирующим игроком, а игрока II - минимизирующим игроком .
Если интерпретируется как точка на единичном квадрате, рисунок показывает выигрыш для игрока I. Теперь предположим, что игрок I применяет смешанную стратегию: выбирает число из функции плотности вероятности (pdf) ; игрок II выбирает из. Игрок I стремится максимизировать выигрыш, игрок II - минимизировать выигрыш. Обратите внимание, что каждый игрок знает о цели другого.
Ценность игры
Сион и Вульф показывают, что
но
Это максимальное и минимальное ожидания ценности игры для игроков I и II соответственно.
В а также соответственно возьмите верхнюю и нижнюю границу PDF-файлов на единичном интервале (на самом деле вероятностные меры Бореля ). Они представляют (смешанные) стратегии игрока I и игрока II. Таким образом, игрок I может гарантировать себе выигрыш не менее 3/7, если он знает стратегию игрока II; а игрок II может удерживать выплату до 1/3, если он знает стратегию игрока I.
Ясно, что эпсилон-равновесие для достаточно малых, в частности, если . Дасгупта и Маскин [2] утверждают, что игровые ценности достигаются, если игрок I устанавливает вес вероятности только на множество а игрок II ставит вес только на .
Теорема Гликсберг показывает , что любая игра с нулевой суммой с верхней или полунепрерывен снизу функцией выигрыша имеет значение (в данном контексте, верхняя (снизу) функция К является тот , в котором множество (соответственно ) открыто для любого действительного c ).
Обратите внимание, что функция выигрыша в примере Сиона и Вульфа явно не является полунепрерывной. Однако это можно сделать, изменив значение K ( x , x ) и K ( x , x + 1/2) [т.е. выигрыш по двум разрывам] либо на +1, либо на -1, увеличивая выигрыш. или полунепрерывный снизу соответственно. Если это сделано, игра имеет ценность.
Обобщения
Последующая работа Heuer [3] обсуждает класс игр, в которых единичный квадрат делится на три области, причем функция выигрыша постоянна в каждой из областей.
Рекомендации
- ^ Сион, Морис; Wolfe, Phillip (1957), «Об игре без значения», в Dresher, M .; Такер, AW; Вулф П. (ред.), Вклад в теорию игр III , Annals of Mathematics Studies 39, Princeton University Press, стр. 299–306, ISBN 9780691079363
- ^ П. Дасгупта и Э. Маскин (1986). «Существование равновесия в прерывистых экономических играх, I: теория». Обзор экономических исследований . 53 (1): 1-26. DOI : 10.2307 / 2297588 . JSTOR 2297588 .
- ^ Г. А. Хойер (2001). «Трехчастные игры на прямоугольники». Теоретическая информатика . 259 : 639–661. DOI : 10.1016 / S0304-3975 (00) 00404-7 .