В физике , теория Гинзбурга-Ландау , часто называемая теория Ландау-Гинзбурга , названный в честь Виталия Гинзбурга и Льва Ландау , это математическая физическая теория используется для описания сверхпроводимости . В своей первоначальной форме она постулировалась как феноменологическая модель, которая могла описывать сверхпроводники типа I без изучения их микроскопических свойств. Один из сверхпроводников GL-типа - это знаменитый YBCO , и вообще все купраты. [1]
Позднее версия теории Гинзбурга – Ландау была выведена из микроскопической теории Бардина – Купера – Шриффера Львом Горьковым [2] , что показало, что она также присутствует в некотором пределе микроскопической теории, и дало микроскопическую интерпретацию всех ее параметров. Теории также можно дать общий геометрический контекст, поместив ее в контекст римановой геометрии , где во многих случаях могут быть даны точные решения. Эта общая установка затем распространяется на квантовой теории поля и теории струн , опять - таки в силу его разрешимости и его тесной связи с другими аналогичными системами.
Вступление
На основе Ландау «с ранее установленной теории второго порядка фазовых переходов , Гинзбург и Ландау утверждал , что свободная энергия , F , сверхпроводника вблизи сверхпроводящего перехода может быть выражено в терминах комплексного параметра порядка поля,, где величина является мерой локальной плотности, как волновая функция квантовой механики [2] иотлична от нуля ниже фазового перехода в сверхпроводящее состояние, хотя в исходной статье не было дано прямой интерпретации этого параметра. Предполагая малость | ψ | и малости ее градиентов свободная энергия имеет форму теории поля.
где F n - свободная энергия в нормальной фазе, α и β в начальном аргументе рассматривались как феноменологические параметры, m - эффективная масса, e - заряд электрона, A - вектор магнитного потенциала , имагнитное поле. Минимизируя свободную энергию по отношению к вариациям параметра порядка и векторного потенциала, приходим к уравнениям Гинзбурга – Ландау
где j обозначает плотность электрического тока без рассеяния, а Re - действительную часть . Первое уравнение, которое имеет некоторое сходство с не зависящим от времени уравнением Шредингера , но принципиально отличается из-за нелинейного члена, определяет параметр порядка ψ . Второе уравнение дает сверхпроводящий ток.
Простая интерпретация
Рассмотрим однородный сверхпроводник, в котором нет сверхпроводящего тока, а уравнение для ψ упрощается до:
Это уравнение имеет тривиальное решение: ψ = 0. Это соответствует нормальному проводящему состоянию, то есть для температур выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T c .
Ниже температуры сверхпроводящего перехода ожидается, что вышеуказанное уравнение будет иметь нетривиальное решение (то есть ψ ≠ 0). Исходя из этого предположения, приведенное выше уравнение можно преобразовать в:
Когда правая часть этого уравнения положительна, существует ненулевое решение для ψ (помните, что величина комплексного числа может быть положительной или нулевой). Этого можно достичь, если предположить следующую температурную зависимость α : α ( T ) = α 0 ( T - T c ) с α 0 / β > 0:
- Выше температуры сверхпроводящего перехода, T > T c , выражение α ( T ) / β положительно, а правая часть приведенного выше уравнения отрицательна. Величина комплексного числа должна быть неотрицательным числом, поэтому только ψ = 0 решает уравнение Гинзбурга – Ландау.
- Ниже температуры сверхпроводящего перехода, T < T c , правая часть приведенного выше уравнения положительна и существует нетривиальное решение для ψ . Более того,
- то есть ψ приближается к нулю, когда T приближается к T c снизу. Такое поведение типично для фазового перехода второго рода.
В теории Гинзбурга – Ландау предполагалось, что электроны, вносящие вклад в сверхпроводимость, образуют сверхтекучую жидкость . [3] В этой интерпретации | ψ | 2 показывает долю электронов, которые сконденсировались в сверхтекучую среду. [3]
Длина когерентности и глубина проникновения
Уравнения Гинзбурга – Ландау предсказали две новые характерные длины в сверхпроводнике. Первая характерная длина была названа длина когерентности , ξ . Для T > T c (нормальная фаза) она определяется выражением
в то время как для T < T c (сверхпроводящая фаза), где это более уместно, это определяется как
Он устанавливает экспоненциальный закон, согласно которому малые возмущения плотности сверхпроводящих электронов восстанавливают их равновесное значение ψ 0 . Таким образом, эта теория характеризует все сверхпроводники двумя масштабами длины. Второй из них является глубина проникновения , λ . Ранее он был введен лондонскими братьями в своей лондонской теории . Выражаясь в параметрах модели Гинзбурга – Ландау, это
где ψ 0 - равновесное значение параметра порядка в отсутствие электромагнитного поля. Глубина проникновения задает экспоненциальный закон, согласно которому внешнее магнитное поле затухает внутри сверхпроводника.
Первоначальная идея о параметре κ принадлежит Ландау. Отношение κ = λ / ξ в настоящее время известно как параметр Гинзбурга – Ландау . Ландау предположил, что сверхпроводники типа I - это сверхпроводники с 0 < κ <1 / √ 2 , а сверхпроводники типа II - с κ > 1 / √ 2 .
Колебания в модели Гинзбурга – Ландау.
Фазовый переход из нормального состояния второго порядка для сверхпроводников типа II, учета флуктуации, как показывает Дасгупта и Гальпериным, в то время как для сверхпроводников типа I это первый порядка, как продемонстрировано Гальперина, Лубенский и М.
Классификация сверхпроводников на основе теории Гинзбурга – Ландау.
В исходной статье Гинзбург и Ландау наблюдали существование двух типов сверхпроводников в зависимости от энергии границы раздела между нормальным и сверхпроводящим состояниями. Состояние Мейснера нарушается, когда приложенное магнитное поле слишком велико. Сверхпроводники можно разделить на два класса в зависимости от того, как происходит этот пробой. В сверхпроводниках типа I сверхпроводимость резко разрушается, когда сила приложенного поля превышает критическое значение H c . В зависимости от геометрии образца можно получить промежуточное состояние [4], состоящее из барочного рисунка [5] областей нормального материала, несущего магнитное поле, смешанного с областями сверхпроводящего материала, не содержащего поля. В сверхпроводниках типа II повышение приложенного поля выше критического значения H c 1 приводит к смешанному состоянию (также известному как состояние вихря), в котором увеличивающееся количество магнитного потока проникает в материал, но не остается сопротивления потоку электрический ток, пока ток не слишком велик. При второй критической напряженности поля H c 2 сверхпроводимость разрушается. Смешанное состояние фактически вызвано вихрями в электронной сверхтекучей жидкости, иногда называемыми флюксонами, потому что поток, переносимый этими вихрями, квантован . Большинство чистых элементарных сверхпроводников, за исключением ниобия и углеродных нанотрубок , относятся к Типу I, в то время как почти все нечистые и сложные сверхпроводники относятся к Типу II.
Наиболее важный вывод из теории Гинзбурга – Ландау был сделан Алексеем Абрикосовым в 1957 году. Он использовал теорию Гинзбурга – Ландау для объяснения экспериментов со сверхпроводящими сплавами и тонкими пленками. Он обнаружил, что в сверхпроводнике второго типа в сильном магнитном поле поле проникает в треугольную решетку квантованных трубок потоковых вихрей . [6]
Геометрическая формулировка
Функционал Гинзбурга – Ландау может быть сформулирован в общем случае комплексного векторного расслоения над компактным римановым многообразием . [7] Это тот же функционал, что и приведенный выше, преобразованный в обозначения, обычно используемые в римановой геометрии. Во многих интересных случаях можно показать те же явления, что и выше, включая вихри Абрикосова (см. Обсуждение ниже).
Для сложного векторного расслоения над римановым многообразием с волокном , параметр порядка понимается как участок векторного расслоения. Тогда функционал Гинзбурга – Ландау является лагранжианом для этого сечения:
Здесь используются следующие обозначения. Волокнапредполагается, что они снабжены эрмитовым внутренним продуктом так что квадрат нормы записывается как . Феноменологические параметры а также были поглощены так, что член потенциальной энергии представляет собой потенциал мексиканской шляпы четвертой степени , то есть демонстрирующий спонтанное нарушение симметрии с минимумом при некотором действительном значении. Интеграл явно по форме объема
для -мерное многообразие с определителем метрического тензора .
В является связью однообразной и- соответствующая 2-форма кривизны (это не то же самое, что свободная энергияотказался от вершины; здесь,соответствует тензору напряженности электромагнитного поля ). Всоответствует векторному потенциалу , но, вообще говоря, неабелева, когда, и нормализуется иначе. В физике связь обычно записывается как для электрического заряда и векторный потенциал ; в римановой геометрии удобнее опускать (и все другие физические единицы) и возьмите быть одной формой, принимающей значения в алгебре Ли, соответствующей группе симметрии слоя. Здесь группа симметрии SU (n) , так как она оставляет скалярное произведениеинвариантный; так вот, форма, принимающая значения в алгебре .
Кривизна обобщает напряженность электромагнитного поля для неабелевых условий , как форму кривизны аффинной связности на векторном расслоении . Обычно это записывается как
То есть каждый является кососимметричная матрица. (См. Статью о метрической связи для дополнительной формулировки этой конкретной записи.) Чтобы подчеркнуть это, обратите внимание, что первый член функционала Гинзбурга – Ландау, включающий только напряженность поля, равен
которое является действием Янга – Миллса на компактном римановом многообразии.
Уравнения Эйлера – Лагранжа для функционала Гинзбурга – Ландау - это уравнения Янга – Миллса
а также
где - звездный оператор Ходжа , т. е. полностью антисимметричный тензор. Обратите внимание, что они тесно связаны с уравнениями Янга – Миллса – Хиггса .
Конкретные результаты
В теории струн принято изучать функционал Гинзбурга – Ландау для многообразиябудучи римановой поверхностью , и принимая, То есть на расслоение . [8] Явление вихрей Абрикосова сохраняется и в этих общих случаях, включая, где можно указать любое конечное множество точек, в которых исчезает, в том числе и множественность. [9] Доказательство обобщается на произвольные римановы поверхности и кэлеровы многообразия . [10] [11] [12] [13] В пределе слабой связи можно показать, что равномерно сходится к 1, а а также сходятся равномерно к нулю, а кривизна становится суммой по распределениям дельта-функций в вихрях. [14] Сумма по вихрям с кратностью как раз равна степени линейного расслоения; в результате можно записать линейное расслоение на римановой поверхности как плоское расслоение с N особыми точками и ковариантно постоянным сечением.
Когда многообразие четырехмерной, обладающий спином гр структуру , то можно написать очень похожие функциональным, Зайберг-Виттен функционала , которые могут быть проанализированы аналогичным образом, и который обладает многими сходными свойствами, в то числе самодвойственности. Когда такие системы интегрируемы , они изучаются как системы Хитчина .
Самодуальность
Когда коллектор является римановой поверхностью , функционал можно переписать так, чтобы явно показать самодуальность. Этого можно достичь, записав внешнюю производную в виде суммы операторов Дольбо . Точно так же и пространство одноформ над римановой поверхностью распадается на голоморфное и антиголоморфное пространство: , так что образуется в голоморфны в и не зависят от ; и наоборот для. Это позволяет записать векторный потенциал в виде и аналогично с участием а также .
В случае , где волокно так что пучок является линейным пучком , напряженность поля можно аналогично записать как
Обратите внимание, что в используемом здесь знаковом соглашении оба а также являются чисто мнимыми ( а именно, U (1) порождаетсятак что производные чисто мнимые). Тогда функционал становится
Под интегралом понимается форма объема
- ,
чтобы
это общая площадь поверхности . Вявляется Ходжи звезда , как и раньше. Степень линейного пакета по поверхности является
где - первый класс Черна .
Лагранжиан минимизируется (стационарен), когда решить уравнения Гинзберга – Ландау
Обратите внимание, что это оба дифференциальных уравнения первого порядка, явно самодуальные. Интегрируя второй из них, можно быстро обнаружить, что нетривиальное решение должно подчиняться
- .
Грубо говоря, это можно интерпретировать как верхний предел плотности абрикосовских вихрей. Можно также показать, что решения ограничены; нужно иметь.
Теории Ландау – Гинзбурга в теории струн.
В физике элементарных частиц любая квантовая теория поля с уникальным классическим вакуумным состоянием и потенциальной энергией с вырожденной критической точкой называется теорией Ландау – Гинзбурга. Обобщение N = (2,2) суперсимметричных теорий в двух измерениях пространства-времени было предложено Кумруном Вафа и Николасом Уорнером в ноябрьской 1988 г. статье Катастрофы и классификация конформных теорий , в этом обобщении утверждается, что суперпотенциал обладает вырожденной критической точкой. . В том же месяце вместе с Брайаном Грином они доказали, что эти теории связаны потоком ренормгруппы с сигма-моделями на многообразиях Калаби – Яу в статье « Многообразия Калаби – Яу и потоки ренормгруппы» . В его 1993 бумажными Этапов N = 2 теорий в двух измерениях , Виттен утверждал , что Ландау-Гинзбурга теории и модели сигмы на Калаби-Яу разные фазы одной и той же теории. Конструкция такой двойственности была дана путем связывания теории Громова – Виттена орбифолдов Калаби – Яу с теорией FJRW и аналогичной теорией Ландау – Гинзбурга «FJRW» в уравнении Виттена, зеркальной симметрии и квантовой теории сингулярностей . Позднее сигма-модели Виттена использовались для описания низкоэнергетической динамики 4-мерных калибровочных теорий с монополями, а также бранных конструкций. [15]
Смотрите также
- Пиннинг флюса
- Уравнение Гросса – Питаевского.
- Теория Ландау
- Реакционно-диффузионные системы
- Квантовый вихрь
- Связка Хиггса
Рекомендации
- ^ Wesche, Глава 50: Высокотемпературные сверхпроводники, Springer 2017, на стр. 1233, содержится в Casap, Kapper Handbook
- ^ а б Цуэй, СС; Киртли, Дж. Р. Симметрия спаривания в купратных сверхпроводниках (PDF) . Исследовательский центр IBM Томаса Дж. Уотсона. п. 970.
- ^ а б Гинзбург В.Л. (июль 2004 г.). «О сверхпроводимости и сверхтекучести (что мне удалось и что не удалось сделать), а также о« физическом минимуме »в начале 21 века». ХимФисХим . 5 (7): 930–945. DOI : 10.1002 / cphc.200400182 . PMID 15298379 .
- ^ Лев Д. Ландау; Евгений М. Лифшиц (1984). Электродинамика сплошных сред . Курс теоретической физики . 8 . Оксфорд: Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 978-0-7506-2634-7.
- ^ Дэвид Дж. Кэллавей (1990). «О замечательной структуре сверхпроводящего промежуточного состояния». Ядерная физика Б . 344 (3): 627–645. Bibcode : 1990NuPhB.344..627C . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (90) 90672-Z .
- Перейти ↑ Abrikosov, AA (1957). Магнитные свойства сверхпроводящих сплавов . Журнал физики и химии твердого тела , 2 (3), 199–208.
- ^ Йост, Юрген (2002). «Функционал Гинзбурга – Ландау». Риманова геометрия и геометрический анализ (Третье изд.). Springer-Verlag. стр. 373 -381. ISBN 3-540-42627-2.
- ^ Хитчин, штат Нью-Джерси (1987). «Уравнения самодуальности на римановой поверхности». Труды Лондонского математического общества . s3-55 (1): 59–126. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-55.1.59 . ISSN 0024-6115 .
- ^ Таубс, Клиффорд Генри (1980). "Произвольные N-вихревые решения уравнений Гинзбурга-Ландау первого порядка". Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 72 (3): 277–292. DOI : 10.1007 / bf01197552 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122086974 .
- ^ Брэдлоу, Стивен Б. (1990). «Вихри в голоморфных линейных расслоениях над замкнутыми кэлеровыми многообразиями». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 135 (1): 1–17. DOI : 10.1007 / bf02097654 . ISSN 0010-3616 . S2CID 59456762 .
- ^ Брэдлоу, Стивен Б. (1991). «Специальные метрики и устойчивость голоморфных расслоений с глобальными сечениями» . Журнал дифференциальной геометрии . Международная пресса Бостона. 33 (1): 169–213. DOI : 10.4310 / JDG / 1214446034 . ISSN 0022-040X .
- ^ Гарсия-Прада, Оскар (1993). «Инвариантные связи и вихри». Сообщения по математической физике . ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 156 (3): 527–546. DOI : 10.1007 / bf02096862 . ISSN 0010-3616 . S2CID 122906366 .
- ^ Гарсия-Прада, Оскар (1994). «Прямое доказательство существования вихревых уравнений над компактной римановой поверхностью». Бюллетень Лондонского математического общества . Вайли. 26 (1): 88–96. DOI : 10.1112 / БЛМ / 26.1.88 . ISSN 0024-6093 .
- ^ MC Hong, J, Jost, M Struwe, "Асимптотические пределы функционала типа Гинзберга-Ландау", Геометрический анализ и вариационное исчисление для Стефана Хильдебрандта (1996) Международная пресса (Бостон), стр. 99-123.
- ^ Гайотто, Давиде ; Гуков, Сергей ; Зайберг, Натан (2013), «Поверхностные дефекты и резольвенты», Журнал физики высоких энергий , 2013 (9): 70, arXiv : 1307.2578 , Bibcode : 2013JHEP ... 09..070G , doi : 10.1007 / JHEP09 (2013) 070 , S2CID 118498045
Статьи
- Гинзбург В.Л., Ландау Л.Д. // Журн. Эксп. Теор. Физ. 20 , 1064 (1950). Английский перевод в: Л. Д. Ландау, Сборник статей (Oxford: Pergamon Press, 1965) с. 546
- Абрикосов А.А., Ж. Эксп. Теор. Физ. 32 , 1442 (1957) (английский перевод: Sov. Phys. JETP 5 1174 (1957)].) Оригинальная работа Абрикосова о вихревой структуре сверхпроводников второго типа, полученная как решение уравнений Г – Л для κ> 1 / √2
- Горьков Л.П., Сов. Phys. ЖЭТФ 36 , 1364 (1959).
- Нобелевская лекция А.А. Абрикосова 2003 года: файл в формате pdf или видео
- Нобелевская лекция В.Л. Гинзбурга 2003 г.: файл в формате pdf или видео