4  21 многогранник

Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E 6
4 21	1 42	2 41
Ректифицированный 4 21	Ректифицированный 1 42	Ректифицированный 2 41
Двунаправленный 4 21	Триректифицированный 4 21

В 8-мерной геометрии , то 4 ₂₁ представляет собой полурегулярен равномерный 8-многогранник , построенный в симметрии Е ₈ группы . Это было обнаружено Торольдом Госсетом , опубликованным в его статье 1900 года. Он назвал это восьмеркой полурегулярной фигурой . ^[1]

Его символ Кокстера - 4 ₂₁ , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце 4-узловых последовательностей,.

Выпрямляются 4 ₂₁ построены по точкам в середине краях - ₂₁ . Birectified 4 ₂₁ строится по точкам на треугольник лицевых центров 4 ₂₁ . Trirectified 4 ₂₁ строятся по точкам на тетраэдрических центрах - ₂₁ .

Эти многогранники являются частью семейства 255 = 2 ^8-1  выпуклых однородных 8-многогранников , состоящих из граней однородных 7-многогранников и вершинных фигур , определяемых всеми перестановками одного или нескольких колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина:.

4 ₂₁ многогранник [ править ]

4 21
Тип	Равномерный 8-многогранник
Семья	k 21 многогранник
Символ Шлефли	{3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	4 21
Диаграммы Кокстера	знак равно
7 лиц	19440 всего: 2160 4 11 17280 {3 6 }
6 лиц	207360: 138240 {3 5 } 69120 {3 5 }
5 лиц	483840 {3 4 }
4-гранный	483840 {3 3 }
Клетки	241920 {3,3}
Лица	60480 {3}
Края	6720
Вершины	240
Фигура вершины	3 21 многогранник
Многоугольник Петри	30-угольник
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ], заказ 696729600
Характеристики	выпуклый

4 ₂₁ многогранник имеет 17280 7-симплекс и 2160 7-orthoplex грани , и 240 вершин. Его вершина - это многогранник 3 21 . Как его вершины представляют корневые векторы на простой группы Ли Е 8 , этот многогранник иногда называют E ₈ корня многогранника .

Вершины этого многогранника также можно получить, взяв 240 целочисленных октонионов нормы 1. Поскольку октонионы являются неассоциативной нормированной алгеброй с делением , эти 240 точек имеют операцию умножения, превращающую их не в группу, а в петлю , фактически Петля Муфанг .

Для визуализации этот 8-мерный многогранник часто отображается в специальном наклонном ортогональном направлении проекции, которое соответствует его 240 вершинам внутри правильного триаконтагона (называемого многоугольником Петри ). Его 6720 ребер нарисованы между 240 вершинами. Определенные высшие элементы (грани, ячейки и т. Д.) Также могут быть извлечены и нарисованы на этой проекции.

Альтернативные имена [ править ]

• Этот многогранник был открыт Торольдом Госсетом , который описал его в своей статье 1900 года как 8-ю полурегулярную фигуру . ^[1] Это последняя конечная полурегулярная фигура в его перечислении, полуправильная для него, что означает, что она содержит только правильные фасеты.
• EL Elte назвал его V ₂₄₀ (из-за 240 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. ^[2]
• HSM Coxeter назвал его 4 _21, потому что его диаграмма Кокстера-Дынкина имеет три ветви длиной 4, 2 и 1, с одним узлом на конечном узле 4-й ветви.
• Dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton (Акроним Fy) - 2160-17280 фасеточный полизеттон (Джонатан Бауэрс) ^[3]

Координаты [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве.

240 вершин многогранника 4 ₂₁ могут быть построены в двух наборах: 112 (2 ² × ⁸ C ₂ ) с координатами, полученными из произвольной комбинации знаков и произвольной перестановки координат, и 128 корней (2 ⁷ ) с координаты, полученные путем взятия четного числа знаков минус (или, что то же самое, требования, чтобы сумма всех восьми координат была кратна 4).${\ Displaystyle (\ pm 2, \ pm 2,0,0,0,0,0,0) \,}$${\ displaystyle (\ pm 1, \ pm 1, \ pm 1, \ pm 1, \ pm 1, \ pm 1, \ pm 1, \ pm 1) \,}$

Каждая вершина имеет 56 ближайших соседей; например, ближайшие соседи вершины - это те, чьи координаты в сумме равны 4, а именно 28, полученные перестановкой координат, и 28, полученные перестановкой координат . Эти 56 точек являются вершинами многогранника 3 21 в 7 измерениях.${\ displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\ Displaystyle (2,2,0,0,0,0,0,0) \,}$${\ displaystyle (1,1,1,1,1,1, -1, -1)}$

Каждая вершина имеет 126 вторых ближайших соседей: например, ближайшие соседи вершины - это те, у которых сумма координат равна 0, а именно 56, полученные перестановкой координат, и 70, полученные перестановкой координат . Эти 126 точек являются вершинами многогранника 2 31 в 7 измерениях.${\ displaystyle (1,1,1,1,1,1,1,1)}$${\ Displaystyle (2, -2,0,0,0,0,0,0) \,}$${\ displaystyle (1,1,1,1, -1, -1, -1, -1)}$

Каждая вершина также имеет 56 третьих ближайших соседей, которые являются отрицаниями ее ближайших соседей, и одну противоположную вершину, всего вершин.${\ displaystyle 1 + 56 + 126 + 56 + 1 = 240}$

Другое разложение дает 240 точек в 9 измерениях как расширенный 8-симплекс ,и два противоположных биректифицированных 8-симплекса , а также .

(3, -3,0,0,0,0,0,0,0): 72 вершины

(-2, -2, -2,1,1,1,1,1,1): 84 вершины

(2,2,2, -1, -1, -1, -1, -1, -1): 84 вершины

Это происходит так же , как отношение к решетке A8 и Е8 решетки , разделив 8 зеркал A8: .

Проекции плоскости Кокстера A7

Имя	Ректифицированный 4 21	расширенный 8-симплексный	двудиректифицированные 8-симплексы	двудиректифицированные 8-симплексы
Вершины	240	72	84	84
Изображение

Тесселяции [ править ]

Этот многогранник является фигурой вершины для однородной мозаики 8-мерного пространства, представленной символом 5 21 и диаграммой Кокстера-Дынкина:

Конструкция и грани [ править ]

Фасетную информацию этого многогранника можно извлечь из его диаграммы Кокстера-Дынкина :

Удаление узла на короткой ветви оставляет 7-симплекс :

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет 7-ортоплекс в его альтернированной форме ( 4 ₁₁ ):

Каждая 7-симплексная грань касается только 7-ортоплексных граней, в то время как альтернативные грани ортоплексной грани касаются либо симплекса, либо другого ортоплекса. Имеется 17 280 односторонних граней и 2160 ортоплексных граней.

Поскольку каждый 7-симплекс имеет 7 6-симплексных граней, каждая из которых не инцидентна никакому другому 6-симплексу, многогранник 4 ₂₁ имеет 120 960 (7 × 17 280) 6-симплексных граней, которые являются гранями 7-симплексов. Поскольку каждый 7-ортоплекс имеет 128 (2 ⁷ ) 6-симплексных граней, половина из которых не инцидентна 7-симплексам, многогранник 4 ₂₁ имеет 138 240 (2 ⁶ × 2160) 6-симплексных граней, которые не являются гранями 7-симплексов. симплексы. Таким образом, многогранник 4 ₂₁ имеет два вида 6-симплексных граней, которые не меняются местами симметриями этого многогранника. Общее количество 6-симплексных граней - 259200 (120 960 + 138 240).

Вершина фигуры из одного кольца многогранника получается путем удаления узла кольчатых и звонит своему соседу (ы). В результате получается многогранник 3 21 .

В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . ^[4]

E 8		k -face	f k	f 0	f 1	ж 2	ж 3	ж 4	ж 5	ж 6		ж 7		k -фигура	заметки
E 7		()	f 0	240	56	756	4032	10080	12096	4032	2016 г.	576	126	3_21 многогранник	E 8 / E 7 = 192 × 10! / (72 × 8!) = 240
А 1 Е 6		{}	f 1	2	6720	27	216	720	1080	432	216	72	27	2_21 многогранник	E 8 / A 1 E 6 = 192 × 10! / (2 × 72 × 6!) = 6720
А 2 Д 5		{3}	ж 2	3	3	60480	16	80	160	80	40	16	10	5-полукуб	E 8 / A 2 D 5 = 192 × 10! / (6 × 2 4 × 5!) = 60480
А 3 А 4		{3,3}	ж 3	4	6	4	241920	10	30	20	10	5	5	Выпрямленный 5-элементный	E 8 / A 3 A 4 = 192 × 10! / (4! × 5!) = 241920
А 4 А 2 А 1		{3,3,3}	ж 4	5	10	10	5	483840	6	6	3	2	3	Треугольная призма	E 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 × 10! / (5! × 3! × 2) = 483840
А 5 А 1		{3,3,3,3}	ж 5	6	15	20	15	6	483840	2	1	1	2	Равнобедренный треугольник	E 8 / A 5 A 1 = 192 × 10! / (6! × 2) = 483840
А 6		{3,3,3,3,3}	ж 6	7	21 год	35 год	35 год	21 год	7	138240	*	1	1	{}	E 8 / A 6 = 192 × (10! × 7!) = 138240
А 6 А 1				7	21 год	35 год	35 год	21 год	7	*	69120	0	2		E 8 / A 6 A 1 = 192 × 10! / (7! × 2) = 69120
А 7		{3,3,3,3,3,3}	ж 7	8	28 год	56	70	56	28 год	8	0	17280	*	()	E 8 / A 7 = 192 × 10! / 8! = 17280
Д 7		{3,3,3,3,3,4}		14	84	280	560	672	448	64	64	*	2160		E 8 / D 7 = 192 × 10! / (2 6 × 7!) = 2160

Прогнозы [ править ]

3D [ править ]

2D [ править ]

Эти графы представляют собой орфографические проекции в плоскостях Кокстера E ₈ , E ₇ , E ₆ и B ₈ , D ₈ , D ₇ , D ₆ , D ₅ , D ₄ , D ₃ , A ₇ , A ₅ . Цвета вершин задаются перекрывающейся кратностью в проекции: окрашены в порядке увеличения кратности: красный, оранжевый, желтый, зеленый.

k ₂₁ семья [ править ]

- ₂₁ многогранник является последним в семье называется K 21 многогранников . Первый многогранник в этом семействе - полуправильная треугольная призма, состоящая из трех квадратов (2-ортоплексы) и двух треугольников (2-симплексы).

Геометрическое складывание [ править ]

4 ₂₁ связан с 600-элементной геометрической складывания из диаграмм Кокстера-Дынкина . Это можно увидеть в проекциях на плоскость Кокстера E8 / H4 . 240 вершин многогранника 4 ₂₁ проецируются в 4-пространство как две копии 120 вершин 600-ячеечного, одна копия меньше (масштабируется по золотому сечению ), чем другая с той же ориентацией. Если рассматривать как двумерную ортогональную проекцию в плоскости Кокстера E8 / H4, 120 вершин 600-ячеечной ячейки проецируются в те же четыре кольца, что и в 4 ₂₁ . Остальные 4 кольца из 4 ₂₁ График также соответствует уменьшенной копии четырех колец из 600 ячеек.

Складывание плоскости Кокстера E8 / H4
E 8	H 4
4 21	600 ячеек
[20] плоскости симметрии
4 21	600 ячеек

Связанные многогранники [ править ]

В 4-мерной сложной геометрии регулярный комплексный многогранник ₃ {3} ₃ {3} ₃ {3} ₃ и диаграмма Кокстера существует с тем же расположением вершин, что и многогранник 4 ₂₁ . Он самодвойственный. Кокстер назвал его многогранником Уиттинга в честь Александра Уиттинга . Кокстер выражает симметрию группы Шепарда как ₃ [3] ₃ [3] ₃ [3] ₃ . ^[7]

4 ₂₁ является шестым в размерном ряду полуправильных многогранников . Каждый прогрессивный равномерный многогранник строится вершинной фигурой предыдущего многогранника. Торольд Госсет определил эту серию в 1900 году как содержащую все фасеты правильных многогранников , включая все симплексы и ортоплексы .

k 21 фигурка в n мерном
Космос	Конечный						Евклидово	Гиперболический
E n	3	4	5	6	7	8	9	10
Группа Коксетера	Е 3 = А 2 А 1	Е 4 = А 4	E 5 = D 5	E 6	E 7	E 8	E 9 = = E 8 +${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {8}}$	E 10 = = E 8 ++${\ displaystyle {\ bar {T}} _ {8}}$
Диаграмма Кокстера
Симметрия	[3 −1,2,1 ]	[3 0,2,1 ]	[3 1,2,1 ]	[3 2,2,1 ]	[3 3,2,1 ]	[3 4,2,1 ]	[3 5,2,1 ]	[3 6,2,1 ]
Заказ	12	120	1,920	51 840	2 903 040	696 729 600	∞
График							-	-
Имя	−1 21	0 21	1 21	2 21	3 21	4 21	5 21	6 21

Выпрямленный многогранник 4_21 [ править ]

Ректифицированный 4 21
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 1 {3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	т 1 (4 21 )
Диаграмма Кокстера
7 лиц	19680 Всего: 240 3 21 17280 т 1 {3 6 } 2160 т 1 {3 5 , 4}
6 лиц	375840
5 лиц	1935360
4-гранный	3386880
Клетки	2661120
Лица	1028160
Края	181440
Вершины	6720
Фигура вершины	2 21 призма
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Выпрямляются 4 ₂₁ можно рассматривать как устранение из 4 ₂₁ многогранника, создавая новые вершины в центре ребер- ₂₁ .

Альтернативные названия [ править ]

• Ректифицированный dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для ректифицированного полизеттона 2160-17280 (аббревиатура riffy) (Джонатан Бауэрс) ^[8]

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве. Он назван в честь исправления модели 4 ₂₁ . Вершины расположены в средней точке всех ребер 4 ₂₁ , и новые ребра соединяют их.

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина .

Удаление узла на короткой ветви оставляет выпрямленный 7-симплекс :

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет выпрямленный 7-ортоплекс в его альтернированной форме:

Удаление узла на конце 4-х длинной ветви оставляет 3 21 :

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и добавления кольца на соседнем узел. Это составляет призму 2 21 .

Координаты [ править ]

В декартовы координатах этих вершин 6720 выпрямленные 4 ₂₁ задаются все перестановками координат из трех других равномерного многогранника:

• шестиугольный 8-куб - нечетные отрицания: ½ (± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 3, ± 3) - 3584 вершины ^[9]
• двунаправленный 8-куб - (0,0, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) - 1792 вершины ^[10]
• скошенный 8-ортоплекс - (0,0,0,0,0,0, ± 1, ± 1, ± 2) - 1344 вершины ^[11]

Проекции плоскости Кокстера D8

Имя	Ректифицированный 4 21	двуатомный 8-куб знак равно	гексик 8-куб знак равно	скошенный 8-ортоплекс знак равно
Вершины	6720	1792	3584	1344
Изображение

Прогнозы [ править ]

2D [ править ]

Эти графы представляют собой орфографические проекции в плоскостях Кокстера E ₈ , E ₇ , E ₆ и B ₈ , D ₈ , D ₇ , D ₆ , D ₅ , D ₄ , D ₃ , A ₇ , A ₅ . Цвета вершин задаются перекрывающейся кратностью в проекции: окрашены в порядке увеличения кратности: красный, оранжевый, желтый, зеленый.

Двунаправленный многогранник 4_21 [ править ]

Двиректифицированный многогранник 4 21
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 2 {3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	т 2 (4 21 )
Диаграмма Кокстера
7 лиц	19680 Всего: 17280 т 2 {3 6 } 2160 т 2 {3 5 , 4} 240 т 1 (3 21 )
6 лиц	382560
5 лиц	2600640
4-гранный	7741440
Клетки	9918720
Лица	5806080
Края	1451520
Вершины	60480
Фигура вершины	5-полукуб - треугольная дуопризма
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Birectified 4 ₂₁ можно рассматривать как вторую ректификацию равномерного- ₂₁ многогранника. Вершины этого многогранника расположены в центрах всех 60480 треугольных граней 4 ₂₁ .

Альтернативные названия [ править ]

• Биректифицированный dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для биректифицированного полизеттона 2160-17280 (аббревиатура borfy) (Джонатан Бауэрс) ^[12]

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве. Он назван в честь того, что он является двунаправленной версией 4 ₂₁ . Вершины расположены в центре всех граней треугольника 4 ₂₁ .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина .

Удаление узла на короткой ветке оставляет биректифицированный 7-симплекс . Всего таких граней 17280.

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет двунаправленный 7-ортоплекс в его альтернированной форме. Всего таких граней 2160.

Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет выпрямленное 3 21 . Всего таких граней 240.

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и добавления кольца в соседних узлы. Таким образом получается пятиугольная треугольная дуопризма.

Прогнозы [ править ]

2D [ править ]

Эти графики представляют собой орфографические проекции в плоскостях Кокстера E ₈ , E ₇ , E ₆ и B ₈ , D ₈ , D ₇ , D ₆ , D ₅ , D ₄ , D ₃ , A ₇ , A ₅ . Края не прорисовываются. Цвета вершин задаются перекрывающейся кратностью в проекции: раскрашены в порядке возрастания кратности: красный, оранжевый, желтый, зеленый и т. Д.

Триректифицированный многогранник 4_21 [ править ]

Триректифицированный многогранник 4 21
Тип	Равномерный 8-многогранник
Символ Шлефли	т 3 {3,3,3,3,3 2,1 }
Символ Кокстера	т 3 (4 21 )
Диаграмма Кокстера
7 лиц	19680
6 лиц	382560
5 лиц	2661120
4-гранный	9313920
Клетки	16934400
Лица	14515200
Края	4838400
Вершины	241920
Фигура вершины	тетраэдр - выпрямленная 5- ячеечная дуопризма
Группа Коксетера	E 8 , [3 4,2,1 ]
Характеристики	выпуклый

Альтернативные названия [ править ]

• Триректифицированный dischiliahectohexaconta-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для триректифицированного полизеттона 2160-17280 (аббревиатура torfy) (Джонатан Бауэрс) ^[13]

Строительство [ править ]

Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве. Он назван в честь того, что он является двунаправленной версией 4 ₂₁ . Вершины расположены в центре всех граней треугольника 4 ₂₁ .

Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина .

Удаление узла на короткой ветви оставляет триректифицированный 7-симплекс :

Удаление узла на конце 2-длины ветви оставляет триректифицированный 7-ортоплекс в его альтернативной форме:

Удаление узла на конце 4-х длинной ветви оставляет двунаправленную 3 21 :

Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и кольца соседних узлов. Получается тетраэдр - выпрямленная 5- ячеечная дуопризма.

Прогнозы [ править ]

2D [ править ]

Эти графики представляют собой орфографические проекции в плоскостях Кокстера E ₇ , E ₆ , B ₈ , D ₈ , D ₇ , D ₆ , D ₅ , D ₄ , D ₃ , A ₇ и A ₅ . Цвета вершин задаются перекрывающейся кратностью в проекции: окрашены в порядке увеличения кратности: красный, оранжевый, желтый, зеленый.

(E ₈ и B ₈ были слишком большими для отображения)

См. Также [ править ]

• Список многогранников E8

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Т. Госсет : О регулярных и полурегулярных фигурах в пространстве n измерений , Вестник математики, Macmillan, 1900
• Elte, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
• Кокстер, HSM , Регулярные комплексные многогранники , Издательство Кембриджского университета, (1974).
• Калейдоскопы: Избранные сочинения HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом , Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1] 
  • (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45] См. Стр. 347 (рисунок 3.8c) Питера Макмаллена : (30-угольный граф вершин-ребер из 4 ₂₁ )
• Клитцинг, Ричард. «8D однородные многогранники (полизетты)» . o3o3o3o * c3o3o3o3x - fy, o3o3o3o * c3o3o3x3o - riffy, o3o3o3o * c3o3x3o3o - борфи, o3o3o3o * c3x3o3o3o - torfy