4 21 | 1 42 | 2 41 |
Ректифицированный 4 21 | Ректифицированный 1 42 | Ректифицированный 2 41 |
Двунаправленный 4 21 | Триректифицированный 4 21 | |
Ортогональные проекции на плоскость Кокстера E 6 |
---|
В 8-мерной геометрии , то 2 41 является однородным 8-многогранник , построенный в симметрии Е 8 группы.
Его символ Кокстера - 2 41 , описывающий его раздваивающуюся диаграмму Кокстера-Дынкина с одним кольцом на конце последовательностей с двумя узлами.
Выпрямляются 2 41 построены по точкам в середине краях - 41 . Birectified 2 41 строится по точкам на треугольник лицевых центров - 41 , и является таким же , как исправлено- 42 .
Эти многогранники являются частью семейства из 255 (2 8 - 1) выпуклых однородных многогранников в 8-мерном пространстве, состоящих из граней однородных многогранников , определяемых всеми перестановками колец в этой диаграмме Кокстера-Дынкина :.
2 41 многогранник
2 41 многогранник | |
---|---|
Тип | Равномерный 8-многогранник |
Семья | 2 k1 многогранник |
Символ Шлефли | {3,3,3 4,1 } |
Символ Кокстера | 2 41 |
Диаграмма Кокстера | |
7 лиц | 17520: 240 2 31 17280 {3 6 } |
6 лиц | 144960: 6720 2 21 138240 {3 5 } |
5 лиц | 544320: 60480 2 11 483840 {3 4 } |
4-гранный | 1209600: 241920 {2 01 967680 {3 3 } |
Клетки | 1209600 {3 2 } |
Лица | 483840 {3} |
Края | 69120 |
Вершины | 2160 |
Фигура вершины | 1 41 |
Многоугольник Петри | 30-угольник |
Группа Кокстера | E 8 , [3 4,2,1 ] |
Характеристики | выпуклый |
- 41 состоит из 17,520 граней (240 2 31 многогранников и 17280 7-симплексов ), 144,960 6-граней (6720 2 21 многогранников и 138,240 6-симплексов ), 544,320 5-граней (60480 2 11 и 483,840 5-симплексов ) , 1 209 600 4-граней ( 4-симплекса ), 1 209 600 ячеек ( тетраэдры ), 483 840 граней ( треугольники ), 69 120 ребер и 2160 вершин . Его вершина представляет собой 7-полукуб .
Этот многогранник является фасетом в однородной тесселяции 2 51 с диаграммой Кокстера-Дынкина :
Альтернативные имена
- EL Elte назвал его V 2160 (из-за 2160 вершин) в своем списке полуправильных многогранников 1912 года. [1]
- Она названа 2 41 по Кокстеру для его бифурцирующего Кокстера-Дынкин, с одним кольцом на конце последовательности 2-узла.
- Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton ( Acronym Bay) - 240-17280 граненый полизеттон (Джонатан Бауэрс) [2]
Координаты
2160 вершин можно определить следующим образом:
- 16 перестановок (± 4,0,0,0,0,0,0,0) из ( 8-ортоплекс )
- 1120 перестановок (± 2, ± 2, ± 2, ± 2,0,0,0,0) ( триректифицированный 8-ортоплекс )
- 1024 перестановки (± 3, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1, ± 1) с нечетным количеством знаков минус
Строительство
Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве.
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.
Удаление узла на короткой ветви оставляет 7-симплекс :. Всего 17280 таких граней
Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет 2 31 ,. Всего таких граней 240. Они центрированы в положениях 240 вершин многогранника 4 21 .
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает 7-полукуб , 1 41 ,.
В матрице конфигурации количество элементов может быть получено путем удаления зеркала и соотношений групповых порядков Кокстера . [3]
E 8 | k -face | f k | f 0 | f 1 | ж 2 | ж 3 | ж 4 | ж 5 | ж 6 | ж 7 | k -фигура | заметки | |||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Д 7 | () | f 0 | 2160 | 64 | 672 | 2240 | 560 | 2240 | 280 | 1344 | 84 | 448 | 14 | 64 | ч {4,3,3,3,3,3} | E 8 / D 7 = 192 * 10! / 64/7! = 2160 | |
А 6 А 1 | {} | f 1 | 2 | 69120 | 21 год | 105 | 35 год | 140 | 35 год | 105 | 21 год | 42 | 7 | 7 | г {3,3,3,3,3} | E 8 / A 6 A 1 = 192 * 10! / 7! / 2 = 69120 | |
А 4 А 2 А 1 | {3} | ж 2 | 3 | 3 | 483840 | 10 | 5 | 20 | 10 | 20 | 10 | 10 | 5 | 2 | {} x {3,3,3} | E 8 / A 4 A 2 A 1 = 192 * 10! / 5! / 3! / 2 = 483840 | |
А 3 А 3 | {3,3} | ж 3 | 4 | 6 | 4 | 1209600 | 1 | 4 | 4 | 6 | 6 | 4 | 4 | 1 | {3,3} V () | E 8 / A 3 A 3 = 192 * 10! / 4! / 4! = 1209600 | |
А 4 А 3 | {3,3,3} | ж 4 | 5 | 10 | 10 | 5 | 241920 | * | 4 | 0 | 6 | 0 | 4 | 0 | {3,3} | E 8 / A 4 A 3 = 192 * 10! / 5! / 4! = 241920 | |
А 4 А 2 | 5 | 10 | 10 | 5 | * | 967680 | 1 | 3 | 3 | 3 | 3 | 1 | {3} V () | E 8 / A 4 A 2 = 192 * 10! / 5! / 3! = 967680 | |||
Д 5 А 2 | {3,3,3 1,1 } | ж 5 | 10 | 40 | 80 | 80 | 16 | 16 | 60480 | * | 3 | 0 | 3 | 0 | {3} | E 8 / D 5 A 2 = 192 * 10! / 16/5! / 2 = 40480 | |
А 5 А 1 | {3,3,3,3} | 6 | 15 | 20 | 15 | 0 | 6 | * | 483840 | 1 | 2 | 2 | 1 | {} V () | E 8 / A 5 A 1 = 192 * 10! / 6! / 2 = 483840 | ||
E 6 A 1 | {3,3,3 2,1 } | ж 6 | 27 | 216 | 720 | 1080 | 216 | 432 | 27 | 72 | 6720 | * | 2 | 0 | {} | E 8 / E 6 A 1 = 192 * 10! / 72/6! = 6720 | |
А 6 | {3,3,3,3,3} | 7 | 21 год | 35 год | 35 год | 0 | 21 год | 0 | 7 | * | 138240 | 1 | 1 | E 8 / A 6 = 192 * 10! / 7! = 138240 | |||
E 7 | {3,3,3 3,1 } | ж 7 | 126 | 2016 г. | 10080 | 20160 | 4032 | 12096 | 756 | 4032 | 56 | 576 | 240 | * | () | E 8 / E 7 = 192 * 10! / 72! / 8! = 240 | |
А 7 | {3,3,3,3,3,3} | 8 | 28 год | 56 | 70 | 0 | 56 | 0 | 28 год | 0 | 8 | * | 17280 | E 8 / A 7 = 192 * 10! / 8! = 17280 |
Изображений
Проекции многоугольника Петри могут быть 12-, 18- или 30-сторонними в зависимости от симметрии E6, E7 и E8. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые положения, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.
E8 [30] | [20] | [24] |
---|---|---|
(1) | ||
E7 [18] | E6 [12] | [6] |
(1,8,24,32) |
D3 / B2 / A3 [4] | D4 / B3 / A2 [6] | D5 / B4 [8] |
---|---|---|
D6 / B5 / A4 [10] | D7 / B6 [12] | D8 / B7 / A6 [14] |
(1,3,9,12,18,21,36) | ||
B8 [16/2] | A5 [6] | A7 [8] |
Связанные многогранники и соты
2 k 1 фигур в n размерах | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Космос | Конечный | Евклидово | Гиперболический | ||||||||
п | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | |||
Группа Кокстера | Е 3 = А 2 А 1 | E 4 = A 4 | E 5 = D 5 | E 6 | E 7 | E 8 | E 9 == E 8 + | E 10 == E 8 ++ | |||
Диаграмма Кокстера | |||||||||||
Симметрия | [3 −1,2,1 ] | [3 0,2,1 ] | [[3 1,2,1 ]] | [3 2,2,1 ] | [3 3,2,1 ] | [3 4,2,1 ] | [3 5,2,1 ] | [3 6,2,1 ] | |||
Заказ | 12 | 120 | 384 | 51 840 | 2 903 040 | 696 729 600 | ∞ | ||||
График | - | - | |||||||||
Имя | 2 −1,1 | 2 01 | 2 11 | 2 21 | 2 31 | 2 41 | 2 51 | 2 61 |
Выпрямленный многогранник 2_41
Выпрямленный многогранник 2 41 | |
---|---|
Тип | Равномерный 8-многогранник |
Символ Шлефли | т 1 {3,3,3 4,1 } |
Символ Кокстера | т 1 (2 41 ) |
Диаграмма Кокстера | |
7 лиц | 19680 всего: 240 т 1 (2 21 ) |
6 лиц | 313440 |
5 лиц | 1693440 |
4-гранный | 4717440 |
Клетки | 7257600 |
Лица | 5322240 |
Края | 19680 |
Вершины | 69120 |
Фигура вершины | выпрямленная 6-симплексная призма |
Многоугольник Петри | 30-угольник |
Группа Кокстера | E 8 , [3 4,2,1 ] |
Характеристики | выпуклый |
Выпрямляется 2 41 является устранение из 2 41 многогранника, с вершинами , расположенными в середине ребер 2 41 .
Альтернативные имена
- Ректифицированный Diacositetracont-myriaheptachiliadiacosioctaconta-zetton для ректифицированного 240-17280 фасетного полизетона (сокращенно robay) [4] [5]
Строительство
Он создан конструкцией Wythoff на наборе из 8 гиперплоскостных зеркал в 8-мерном пространстве, определяемых корневыми векторами группы E 8 Coxeter .
Информацию о фасетах можно извлечь из диаграммы Кокстера-Дынкина :.
Удаление узла на короткой ветви оставляет выпрямленный 7-симплекс :.
Удаление узла на конце 4-х длинного ответвления оставляет выпрямленный 2 31 ,.
При удалении узла на конце 2-длины ветви остается 7-полукуб , 1 41.
Фигура вершины определяется путем удаления кольчатого узла и звонят в соседнем узел. Это делает выпрямленную 6-симплексную призму,.
Визуализации
Проекции многоугольника Петри могут быть 12-, 18- или 30-сторонними в зависимости от симметрии E6, E7 и E8. Отображаются все 2160 вершин, но формы с более низкой симметрией имеют перекрывающиеся проецируемые положения, показанные в виде вершин разного цвета. Для сравнения также показана группа коксетера B6.
E8 [30] | [20] | [24] |
---|---|---|
(1) | ||
E7 [18] | E6 [12] | [6] |
(1,8,24,32) |
D3 / B2 / A3 [4] | D4 / B3 / A2 [6] | D5 / B4 [8] |
---|---|---|
D6 / B5 / A4 [10] | D7 / B6 [12] | D8 / B7 / A6 [14] |
(1,3,9,12,18,21,36) | ||
B8 [16/2] | A5 [6] | A7 [8] |
Смотрите также
- Список многогранников E8
Заметки
- ^ Elte, 1912
- ^ Клитцинг, (x3o3o3o * c3o3o3o3o - залив)
- ^ Коксетер, Правильные многогранники, 11,8 фигур Госсетта в шести, семи и восьми измерениях, стр. 202-203
- ↑ Джонатан Бауэрс
- ^ Клитцинг, (o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay)
Рекомендации
- Элте, EL (1912), Полурегулярные многогранники гиперпространств , Гронинген: Университет Гронингена
- HSM Coxeter , Regular Polytopes , 3rd Edition, Dover New York, 1973.
- Калейдоскопы: Избранные труды HSM Coxeter , отредактированные Ф. Артуром Шерком, Питером Макмалленом, Энтони С. Томпсоном, Азией Ивичем Вайс, публикацией Wiley-Interscience, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]
- (Документ 24) HSM Кокстер, Правильные и полурегулярные многогранники III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
- Клитцинг, Ричард. «8D Равномерная полизетта» . x3o3o3o * c3o3o3o3o - залив, o3x3o3o * c3o3o3o3o - robay
Семья | А п | B n | I 2 (p) / D n | E 6 / E 7 / E 8 / F 4 / G 2 | H n | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Правильный многоугольник | Треугольник | Квадратный | п-угольник | Шестиугольник | Пентагон | |||||||
Равномерный многогранник | Тетраэдр | Октаэдр • Куб | Демикуб | Додекаэдр • Икосаэдр | ||||||||
Равномерный полихорон | Пентахорон | 16 ячеек • Тессеракт | Demitesseract | 24-элементный | 120 ячеек • 600 ячеек | |||||||
Равномерный 5-многогранник | 5-симплекс | 5-ортоплекс • 5-куб. | 5-полукуб | |||||||||
Равномерный 6-многогранник | 6-симплекс | 6-ортоплекс • 6-куб. | 6-полукуб | 1 22 • 2 21 | ||||||||
Равномерный 7-многогранник | 7-симплекс | 7-ортоплекс • 7-куб | 7-полукруглый | 1 32 • 2 31 • 3 21 | ||||||||
Равномерный 8-многогранник | 8-симплекс | 8-ортоплекс • 8-куб. | 8-полукруглый | 1 42 • 2 41 • 4 21 | ||||||||
Равномерный 9-многогранник | 9-симплекс | 9-ортоплекс • 9-куб | 9-полукруглый | |||||||||
Равномерный 10-многогранник | 10-симплекс | 10-ортоплекс • 10-куб | 10-полукуб | |||||||||
Равномерное n - многогранник | n - симплекс | n - ортоплекс • n - куб | n - demicube | 1 к2 • 2 к1 • к 21 | n - пятиугольный многогранник | |||||||
Темы: Семейства многогранников • Правильный многогранник • Список правильных многогранников и соединений |