Гиромагнитное соотношение

В физике , то гиромагнитное отношение (также иногда называют гиромагнитное отношение ^[1] в других дисциплинах) частицы или системы является отношение его магнитного момента его углового момента , и часто обозначается символом гамма , гамма. Его единица СИ - это радиан в секунду на тесла (рад⋅с ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) или, что то же самое, кулон на килограмм (Клкг ⁻¹ ).

Термин «гиромагнитное отношение» часто используется ^[2] как синоним другой, но тесно связанной величины, g- фактора . Г -фактор, в отличии от гиромагнитного отношения, является безразмерным . Подробнее о g -factor см. Ниже или в статье g -factor .

Ларморовая прецессия [ править ]

Любая свободная система с постоянным гиромагнитным отношением, такая как жесткая система зарядов, ядро или электрон , при помещении во внешнее магнитное поле B (измеряемое в теслах), которое не совпадает с его магнитным моментом , будет прецессировать с частота f (измеряется в герцах ), пропорциональная внешнему полю:

${\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B.}$

По этой причине вместо γ часто указываются значения γ / (2 π ) в единицах герц на тесла (Гц / Тл) .

Эвристический вывод [ править ]

Вывод этого соотношения следующий: сначала мы должны доказать, что крутящий момент, возникающий в результате воздействия магнитного момента на магнитное поле, равен . Идентичность функциональной формы стационарного электрического и магнитного полей привела к определению величины магнитного дипольного момента так же хорошо или следующим образом, имитируя момент p электрического диполя: Магнитный диполь может быть представлен как стрелка компаса с фиктивными магнитными зарядами на двух полюсах и векторным расстоянием между полюсами под действием магнитного поля Земли . Согласно классической механике крутящий момент на этой игле равен Но, как указано ранее${\ displaystyle \ mathbf {m}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ Displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B}}$${\ displaystyle m = I \ pi r ^ {2}}$${\ displaystyle \ pm q _ {\ rm {m}}}$${\ displaystyle \ mathbf {d}}$${\ displaystyle \ mathbf {B}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = q _ {\ rm {m}} (\ mathbf {d} \ times \ mathbf {B}).}$${\ displaystyle q _ {\ rm {m}} \ mathbf {d} = I \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {d}}} = \ mathbf {m},}$ так появляется желаемая формула.

Модель вращающегося электрона, которую мы используем при выводе, имеет очевидную аналогию с гироскопом. Для любого вращающегося тела скорость изменения углового момента равна приложенному крутящему моменту :${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}=\mathbf {T} .}$

Обратите внимание на прецессию гироскопа. Гравитационное притяжение Земли прикладывает силу или крутящий момент к гироскопу в вертикальном направлении, и вектор углового момента вдоль оси гироскопа медленно вращается вокруг вертикальной линии через стержень. Вместо гироскопа представьте себе сферу, вращающуюся вокруг оси, с центром на оси гироскопа, а вдоль оси гироскопа два противоположно направленных вектора, оба исходящие из центра сферы, вверх и вниз. Замените силу тяжести. с плотностью магнитного потока B .${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \mathbf {m} .}$

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {J} }{dt}}}$представляет собой линейную скорость острия стрелки по окружности, радиус которой равен , где - угол между и вертикалью. Следовательно, угловая скорость вращения спина равна${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle J\sin {\phi }}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \mathbf {J} }$${\displaystyle \quad \omega =2\pi f={\frac {|d\mathbf {J} |}{dt\cdot J\cdot \sin {\phi }}}={\frac {|\mathbf {T} |}{J\cdot \sin {\phi }}}={\frac {|\mathbf {m} \times \mathbf {B} |}{J\cdot \sin {\phi }}}={\frac {mB\sin {\phi }}{J\cdot \sin {\phi }}}={\frac {mB}{J}}=\gamma B.}$

Как следствие, ${\displaystyle f={\frac {\gamma }{2\pi }}B.\quad {\text{q.e.d.}}}$

Это соотношение также объясняет очевидное противоречие между двумя эквивалентными терминами, гиромагнитным отношением и магнитогирическим отношением: тогда как это отношение магнитного свойства (т. Е. Дипольного момента ) к вращательному (вращательное, от греческого : γύρος , «поворот») свойство ( т.е. угловой момент ), это также, в то же время , отношение между частотой угловой прецессии (другое свойство вращения ) ω = 2 πf и магнитным полем .

Частота угловой прецессии имеет важное физическое значение: это угловая циклотронная частота , резонансная частота ионизированной плазмы, находящейся под действием статического конечного магнитного поля, когда мы накладываем высокочастотное электромагнитное поле.

Для классического вращающегося тела [ править ]

Рассмотрим заряженное тело, вращающееся вокруг оси симметрии. Согласно законам классической физики, он обладает как магнитным дипольным моментом, так и угловым моментом, обусловленным его вращением. Можно показать, что до тех пор, пока его заряд и масса распределены одинаково (например, оба распределены равномерно), его гиромагнитное отношение равно

${\displaystyle \gamma ={\frac {q}{2m}}}$

где q - его заряд, а m - его масса. Вывод этого соотношения следующий:

Достаточно продемонстрировать это для бесконечно узкого кругового кольца внутри тела, поскольку общий результат следует из интегрирования . Предположим, что кольцо имеет радиус r , площадь A = πr ² , массу m , заряд q и угловой момент L = mvr . Тогда величина магнитного дипольного момента равна

${\displaystyle \mu =IA={\frac {qv}{2\pi r}}\times \pi r^{2}={\frac {q}{2m}}\times mvr={\frac {q}{2m}}L.}$

Для изолированного электрона [ править ]

Изолированный электрон имеет угловой момент и магнитный момент, обусловленный его спином . Хотя спин электрона иногда визуализируется как буквальное вращение вокруг оси, его нельзя отнести к массе, распределенной идентично заряду. Выше классическое соотношение не имеет места, что дает неправильный результат на коэффициенте безразмерного называется электрон г -коэффициент , обозначаемый г _е (или просто г , когда нет никакого риска путаницы):

${\displaystyle |\gamma _{\mathrm {e} }|={\frac {|-e|}{2m_{\mathrm {e} }}}g_{\mathrm {e} }=g_{\mathrm {e} }\mu _{\mathrm {B} }/\hbar ,}$

где μ _B - магнетон Бора .

Гиромагнитное отношение для самовращающегося электрона в два раза больше, чем для вращающегося электрона.

В рамках релятивистской квантовой механики

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=2(1+{\frac {\alpha }{2\pi }}+\cdots ),}$

где - постоянная тонкой структуры . Здесь небольшие поправки к релятивистскому результату g = 2 происходят из расчетов аномального магнитного дипольного момента квантовой теорией поля . G- фактор электрона известен с точностью до двенадцати десятичных знаков после измерения магнитного момента электрона в одноэлектронном циклотроне: ^[3]${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle g_{\mathrm {e} }=2.0023193043617(15).}$

Гиромагнитное отношение электронов определяется NIST ^{[4] [5] [6]} как

${\displaystyle \left|\gamma _{\mathrm {e} }\right|=1.760\,859\,644(11)\times 10^{11}\,\mathrm {\ {\frac {rad}{s\cdot T}}} }$

${\displaystyle \left|{\frac {\gamma _{\mathrm {e} }}{2\pi }}\right|=28\,024.951\,64(17)\mathrm {\ {\frac {MHz}{T}}} .}$

Г -коэффициент и γ находятся в хорошем согласии с теорией; подробности см. в разделе « Тесты точности QED» .

Гиромагнитный фактор как следствие теории относительности [ править ]

Поскольку гиромагнитный фактор, равный 2, следует из уравнения Дирака, часто ошибочно полагать, что g- фактор 2 является следствием теории относительности; это не так. Множитель 2 может быть получен путем линеаризации как уравнения Шредингера, так и релятивистского уравнения Клейна – Гордона (которое приводит к уравнению Дирака). В обоих случаях получается 4- спинор и для обеих линеаризаций g- фактор оказывается равным 2; Следовательно, множитель 2 является следствием зависимости волнового уравнения от первой (а не второй) производной по пространству и времени. ^[7]

Физические частицы со спином 1/2, которые не могут быть описаны линейным калиброванным уравнением Дирака, удовлетворяют калиброванному уравнению Клейна – Гордона, расширенному функцией gе/4σ ^μν F _μν член согласно, ^[8]

${\displaystyle \left((\partial ^{\mu }+ieA^{\mu })(\partial _{\mu }+ieA_{\mu })+g{\frac {e}{4}}\sigma ^{\mu \nu }F_{\mu \nu }+m^{2}\right)\psi =0,\quad g\not =2.}$

Здесь, 1/2σ ^μν и F ^μν обозначают генераторы группы Лоренца в пространстве Дирака и электромагнитный тензор соответственно, в то время как A ^μ - электромагнитный четырехпотенциал . Примером такой частицы, ^[8] является спутник спина 1/2 к спину 3/2 в пространстве представления D ^{(1 / 2,1)} ⊕ D ^{(1,1 / 2)} группы Лоренца . Было показано, что эта частица характеризуется g = −2/3 и, следовательно, ведет себя как истинно квадратичный фермион.

Для ядра [ править ]

Протоны , нейтроны и многие ядра несут ядерный спин , который приводит к гиромагнитному отношению, как указано выше. Отношение обычно записывается через массу и заряд протона, даже для нейтронов и других ядер, для простоты и единообразия. Формула:

${\displaystyle \gamma _{\rm {n}}={\frac {e}{2m_{p}}}g_{\rm {n}}=g_{\rm {n}}\mu _{\mathrm {N} }/\hbar ,}$

где - ядерный магнетон , а - g- фактор рассматриваемого нуклона или ядра. Отношение равно 7,622593285 (47) МГц / Тл. ^[9]${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }}$${\displaystyle g_{\rm {n}}}$${\displaystyle {\frac {\gamma _{n}}{2\pi g_{\rm {n}}}}}$${\displaystyle \mu _{\mathrm {N} }/h}$

Гиромагнитное отношение ядра играет роль в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и магнитно-резонансной томографии (МРТ). Эти процедуры основаны на том факте, что объемная намагниченность из-за ядерных спинов прецессирует в магнитном поле со скоростью, называемой ларморовской частотой , которая является просто произведением гиромагнитного отношения на напряженность магнитного поля. При этом явлении знак γ определяет направление прецессии (по часовой стрелке или против часовой стрелки).

Наиболее распространенные ядра, такие как ¹ H и ¹³ C, имеют положительные гиромагнитные отношения. ^{[10] [11]} Приблизительные значения для некоторых распространенных ядер приведены в таблице ниже. ^{[12] [13]}

Ядро	${\displaystyle \gamma _{n}}$(10 6 рад⋅с −1 ⋅T −1 )	${\displaystyle \gamma _{n}/(2\pi )}$(МГц⋅T −1 )
1 ч	267,52218744 (11) [14]	42,577478518 (18) [15]
2 ч	41,065	6,536
3 ч	285,3508	45,415 [16]
3 Он	-203,789	-32,434
7 Ли	103,962	16,546
13 С	67,2828	10,7084
14 с.ш.	19,331	3,077
15 с.ш.	-27,116	-4,316
17 O	-36,264	-5,772
19 F	251,815	40,078
23 Na	70,761	11,262
27 Al	69,763	11.103
29 Si	-53,190	-8,465
31 P	108,291	17,235
57 Fe	8,681	1,382
63 Cu	71,118	11,319
67 Zn	16,767	2,669
129 Xe	-73,997	-11,777

См. Также [ править ]

• Отношение заряда к массе
• Химический сдвиг
• Уравнение Дирака
• Ланде g -фактор
• Уравнение лармора
• Гиромагнитное отношение протонов

Заметки [ править ]

• ↑ Примечание 1  : Марк Кнехт, Аномальные магнитные моменты электрона и мюона , семинар Пуанкаре (Париж, 12 октября 2002 г.), опубликовано в: Duplantier, Bertrand; Ривассо, Винсент (ред.); Семинар Пуанкаре 2002 г., Прогресс в математической физике 30, Биркхойзер (2003),ISBN 3-7643-0579-7.

Ссылки [ править ]