Обозначения Германа – Могена

В геометрии , Германн-Mauguin обозначение используется для представления элементов симметрии в группах точек , плоские группах и пространственных группах . Он назван в честь немецкого кристаллографа Карла Германа (который представил его в 1928 году) и французского минералога Шарля-Виктора Могена (который модифицировал его в 1931 году). Это обозначение иногда называют международным обозначением , потому что оно было принято в качестве стандарта Международными таблицами кристаллографии с момента их первого издания в 1935 году.

Обозначение Германа – Могена, по сравнению с обозначением Шенфлиса , предпочтительнее в кристаллографии, потому что его можно легко использовать для включения элементов трансляционной симметрии, и оно определяет направления осей симметрии. ^[1]

Группы точек [ править ]

Оси вращения обозначаются цифрами n - 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ... (угол поворота φ  = 360 °/п). Для неправильных вращений символы Германа – Могена показывают оси вращения, в отличие от обозначений Шенфлиса и Шубникова, которые показывают оси вращения-отражения. Оси ротоинверсии обозначены соответствующим номером с макроном , n - 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , .... 2 эквивалентно зеркальной плоскости и обычно обозначается как m . Направление плоскости зеркала определяется как направление перпендикуляра к ней (направление оси 2 ).

Символы Германа – Могена симметрично показывают неэквивалентные оси и плоскости. Направление элемента симметрии соответствует его положению в символе Германа – Могена. Если ось вращения n и плоскость зеркала m имеют одинаковое направление (т. Е. Плоскость перпендикулярна оси  n ), то они обозначаются дробьюп/мили  н  / м .

Если две или более оси имеют одинаковое направление, отображается ось с более высокой симметрией. Более высокая симметрия означает, что ось образует узор с большим количеством точек. Например, оси вращения 3, 4, 5, 6, 7, 8 генерируют 3-, 4-, 5-, 6-, 7-, 8-точечные шаблоны соответственно. Неправильные оси вращения 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 создают 6-, 4-, 10-, 6-, 14-, 8-точечные шаблоны соответственно. Если ось вращения и ось вращения создают одинаковое количество точек, следует выбрать ось вращения. Например,3/мкомбинация эквивалентна 6 . Так как 6 генерирует 6 очков, а 3 генерирует только 3, 6 должен быть записан вместо3/м (нет 6/м, поскольку 6 уже содержит зеркальную плоскость m ). Аналогично, в случае , когда оба 3 и 3 осей присутствуют, 3 должны быть записаны. Однако мы пишем4/м, нет 4/м, потому что и 4, и 4 генерируют четыре точки. В случае6/мкомбинация, где присутствуют оси 2, 3, 6, 3 и 6 , оси 3 , 6 и 6 все генерируют 6-точечные шаблоны, но следует использовать последний, потому что это ось вращения - символ будет6/м.

И, наконец, символ Германн-Mauguin зависит от типа ^{[ разъяснение необходимости ]} в группе .

Группы без осей высшего порядка (оси третьего порядка и более) [ править ]

Эти группы могут содержать только оси двойного сечения, зеркальные плоскости и / или центр инверсии. Это кристаллографические точечные группы 1 и 1 ( триклинная кристаллическая система ), 2, m и2/м( моноклинический ) и 222,2/м2/м2/м, мм 2 ( ромбическая ). (Краткая форма2/м2/м2/мравно mmm .) Если символ содержит три позиции, то они обозначают элементы симметрии в направлениях x , y , z соответственно.

Группы с одной высшей осью [ править ]

• Первая позиция - основное направление - направление z , присвоенное оси более высокого порядка.
• Вторая позиция - симметрично эквивалентные вторичные направления, перпендикулярные оси z . Это может быть 2, м или2/м.
• Третья позиция - симметрично эквивалентные третичные направления, переходящие между второстепенными направлениями ^{[ требуется пояснение ]} . Это может быть 2, м или2/м.

Это кристаллографические группы 3, 32, 3 м , 3 и 3.2/м( тригональная кристаллическая система ), 4, 422, 4 мм , 4 , 4 2 м ,4/м, а также 4/м2/м2/м( четырехугольный ), и 6, 622, 6 мм , 6 , 6 м 2,6/м, а также 6/м2/м2/м( шестиугольный ). Аналогично могут быть построены символы некристаллографических групп (с осями порядка 5, 7, 8, 9 ...). Эти группы можно расположить в следующей таблице.

Можно заметить, что в группах с осями нечетного порядка n и n третья позиция в символе всегда отсутствует, потому что все направления n , перпендикулярные оси более высокого порядка, симметрично эквивалентны. Например, на изображении треугольника все три зеркальные плоскости ( S ₀ , S ₁ , S ₂ ) эквивалентны - все они проходят через одну вершину и центр противоположной стороны. Для осей четного порядка n и n существуютп/2 второстепенные направления и п/2третичные направления. Например, на изображении правильного шестиугольника можно выделить два набора зеркальных плоскостей - три плоскости проходят через две противоположные вершины, а три другие плоскости проходят через центры противоположных сторон. В этом случае любой из двух наборов может быть выбран в качестве второстепенных направлений, остальные наборы будут третичными направлениями. Следовательно, группы 4 2 m , 6 2 m , 8 2 m , ... могут быть записаны как 4 m 2, 6 m 2, 8 m2, .... Для обозначений точечных групп этот порядок обычно не имеет значения; однако это будет важно для символов Германа – Могена соответствующих пространственных групп, где вторичные направления представляют собой направления элементов симметрии вдоль трансляций элементарной ячейки b и c , в то время как третичные направления соответствуют направлению между трансляциями элементарной ячейки b и c . Например, символы P 6 m 2 и P 6 2 m обозначают две разные пространственные группы. Это также относится к символам пространственных групп с осями нечетного порядка 3 и 3 . Перпендикулярные элементы симметрии могут идти по трансляциям элементарной ячейки b и cили между ними. Пространственные группы P321 и P312 являются примерами первого и второго случаев соответственно.

Символ точечной группы 32/мможет сбивать с толку; соответствующий символ Schoenflies - D _{3 d} , что означает, что группа состоит из 3-кратной оси, трех перпендикулярных 2-кратных осей и 3 вертикальных диагональных плоскостей, проходящих между этими 2-кратными осями, поэтому кажется, что группа может быть обозначена как 32 м или 3 м 2. Однако следует помнить, что, в отличие от обозначений Шенфлиса, направление плоскости в символе Германа – Могена определяется как направление, перпендикулярное плоскости, а в группе D _{3 d} все зеркальные плоскости перпендикулярны 2-кратным осям, поэтому они должны быть написаны в том же положении, что и2/м. Во-вторых, эти2/мкомплексы генерируют центр инверсии, который в сочетании с осью вращения 3-кратного генерирует 3 ось rotoinversion.

Группы с n  = ∞ называются предельными группами или группами Кюри .

Группы с несколькими осями более высокого порядка [ править ]

Это кристаллографические группы кубической кристаллической системы : 23, 432,2/м3 , 4 3 м , и4/м32/м. Все они содержат четыре диагональных оси 3-го порядка. Эти оси расположены как оси 3-го порядка в кубе, направленные по его четырем пространственным диагоналям (куб имеет4/м32/мсимметрия). Эти символы построены следующим образом:

• Первое положение - симметрично эквивалентные направления осей координат x , y и z . Они равнозначны за счет наличия диагональных осей 3-го порядка.
• Вторая позиция - диагональ 3 или 3 оси.
• Третье положение - диагональные направления между любыми двумя из трех осей координат x , y и z . Это может быть 2, м или2/м.

Все представленные выше символы Германа – Могена называются полными . Для многих групп их можно упростить, исключив оси вращения n-го порядка вп/мпозиции. Это может быть сделано, если ось вращения может быть однозначно получена из комбинации элементов симметрии, представленных в символе. Например, короткий символ для2/м2/м2/мэто ммм , для4/м2/м2/м является 4/ммм , а для4/м32/мэто м 3 м . В группах, содержащих одну ось более высокого порядка, эту ось более высокого порядка нельзя пропускать. Например, символы4/м2/м2/м а также 6/м2/м2/мможно упростить до 4 / ммм (или4/ммм ) и 6 / ммм (или6/ммм ), но не до ммм ; короткий символ для 32/мсоставляет 3 м . Полный и короткий символы для всех 32 кристаллографических точечных групп приведены на странице кристаллографических точечных групп .

Помимо пяти кубических групп, есть еще две некристаллографические икосаэдрические группы ( I и I _h в обозначениях Шенфлиса ) и две предельные группы ( K и K _h в обозначениях Шенфлиса ). Символы Германа – Могена не предназначались для некристаллографических групп, поэтому их символы довольно условны и основаны на сходстве с символами кристаллографических групп кубической кристаллической системы. ^{[2] [3] [4] [5] [6]} Группа I может быть обозначена как 235, 25, 532, 53. Возможные короткие символы для I _h : m 35, м 5 , м 5 м , 53 м . Возможные символы для предельной группы K - ∞∞ или 2∞, а для K _h -∞/м∞, или m ∞, или ∞∞ m .

Группы самолетов [ править ]

Плоские группы можно изобразить с помощью системы Германа – Могена. Первая буква - строчная p или c для обозначения примитивных или центрированных элементарных ячеек . Следующее число - вращательная симметрия, как указано выше. Наличие зеркальных плоскостей обозначено m , а отражения скольжения обозначено g .

Космические группы [ править ]

Символ пространственной группы определяется сочетанием прописной буквы, описывающей тип решетки.с символами, обозначающими элементы симметрии. Элементы симметрии упорядочены так же, как и в символе соответствующей точечной группы (группа, которая получается, если удалить все трансляционные компоненты из пространственной группы). Обозначения для элементов симметрии более разнообразны, поскольку, помимо осей вращения и зеркальных плоскостей, пространственная группа может содержать более сложные элементы симметрии - винтовые оси (сочетание вращения и перемещения) и плоскости скольжения (сочетание зеркального отражения и перемещения). В результате одной и той же точечной группе может соответствовать множество различных пространственных групп. Например, выбирая разные типы решетки и плоскости скольжения, можно сгенерировать 28 различных пространственных групп из точечной группы mmm , например, Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Cmcm, Ibam, Fmmm, Fddd.

Типы решеток [ править ]

Это типы решеток Браве в трех измерениях:

• P - примитивный
• I - Телоцентрированный (от немецкого "Innenzentriert")
• F - По центру лица (от немецкого "Flächenzentriert")
• A - База с центром только на гранях A
• B - основание с центром только на гранях B.
• C - Основание центрируется только по граням C.
• R - ромбоэдрический

Винтовые оси [ править ]

Винтовая ось отмечена числом, п , где угол поворота360 °/п. Затем степень смещения добавляется в виде нижнего индекса, показывающего, как далеко по оси находится смещение, как часть вектора параллельной решетки. Например, 2 ₁ - это поворот на 180 ° (в два раза), за которым следует перенос1/2вектора решетки. 3 ₁ - это поворот на 120 ° (в три раза) с последующим переносом1/3 вектора решетки.

Возможные оси винта: 2 ₁ , 3 ₁ , 3 ₂ , 4 ₁ , 4 ₂ , 4 ₃ , 6 ₁ , 6 ₂ , 6 ₃ , 6 ₄ и 6 ₅ . Существует 4 энантиоморфных пары осей: (3 ₁ - 3 ₂ ), (4 ₁ - 4 ₃ ), (6 ₁ - 6 ₅ ) и (6 ₂ - 6 ₄ ). Этот энантиоморфизм приводит к 11 парам энантиоморфных пространственных групп, а именно

Планирующие самолеты [ править ]

Плоскости скольжения отмечены буквами a , b или c в зависимости от того, по какой оси идет планирование. Есть также скольжение n , которое представляет собой скольжение по половине диагонали грани, и скольжение d , которое происходит вдоль четверти диагонали грани или пространственной диагонали элементарной ячейки. Д скольжения часто называют алмазной плоскостью скольжения , как это показывает в алмазной структуры.

• a , b или c - скользящее перемещение вдоль половины вектора решетки этой грани.
• n скользящий перевод вместе с диагональю половины лица.
• d - самолеты скольжения с переносом по четверти диагонали лица.
• е два скользит с одной и той же плоскостью скольжения и сдвигом вдоль два (различных) векторов половины решетки.

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Расшифровка нотации Германа-Магена - Введение в нотацию Германа-Магена для начинающих.