Гармоническое суперпространство

В суперсимметрии , гармоническая суперпространство ^[1] является одним из способов борьбы с суперсимметричных теорий с 8 генераторов реальной СУСИ в явно ковариантной форме. Оказывается, что 8 генераторы реального сУсИ являются псевдовещественными , и после того, как усложнение , соответствует тензорному произведению из четырехмерного Дирака спинора с фундаментальным представлением о SU (2) _R . Фактор - пространство , которое является 2-сфера / сфера Римана .${\ Displaystyle СУ (2) _ {R} / U (1) _ {R} \ приблизительно S ^ {2} \ simeq \ mathbb {CP} ^ {1}}$

Гармоническое суперпространство явно ковариантным образом описывает N = 2 D = 4, N = 1 D = 5 и N = (1,0) D = 6 SUSY.

Есть много возможных систем координат над S ² , ^[2], но выбранная не только включает в себя избыточные координаты , но также является координацией . Мы получаем S ^{2 только} после завершения проекции . Конечно, это расслоение Хопфа . Рассмотрим левое действие SU (2) _R на себя. Затем мы можем расширить это пространство комплекснозначных гладких функций над SU (2) _R . В частности, у нас есть подпространство функций, которые преобразуются как фундаментальное представление при SU (2) _R${\ Displaystyle СУ (2) _ {R} \ приблизительно S ^ {3}}$ ${\ Displaystyle U (1) _ {R} \ приблизительно S ^ {1}}$. Фундаментальное представление (с точностью до изоморфизма, разумеется) - это двумерное комплексное векторное пространство. Обозначим индексы этого представления через i, j, k, ... = 1,2. Интересующее подпространство состоит из двух копий фундаментального представления. Под правым действием U (1) _R - которое коммутирует с любым левым действием - одна копия имеет «заряд» +1, а другая -1. Обозначим базисные функции . ${\ displaystyle u ^ {\ pm i}}$

${\ displaystyle \ left (u ^ {+ i} \ right) ^ {*} = u_ {i} ^ {-}}$.

Избыточность координат определяется выражением

${\ Displaystyle и ^ {+ я} и_ {я} ^ {-} = 1}$.

Все можно интерпретировать в терминах алгебраической геометрии . Проекция задается «калибровочным преобразованием», где φ - любое действительное число. Подумайте S ³ как U (1) _R - главное расслоение над S ² с ненулевым первым Черна класса . Затем, «поле» над S ² характеризуется интеграл U (1) _R заряд задается правым действие U (1) _R . Например, u ⁺ имеет заряд +1, а u ^-${\ Displaystyle и ^ {\ пм я} \ к е ^ {\ пм я \ фи} и ^ {\ пм я}}$из -1. По соглашению поля с зарядом + r обозначаются верхним индексом с r +, и то же самое для полей с зарядом -r. R-заряды аддитивны относительно умножения полей.

Заряды SUSY равны , а соответствующие фермионные координаты равны . Гармоническое суперпространство задается произведением обычного расширенного суперпространства (с 8 вещественными фермионными координатами) на S ² с нетривиальным расслоением U (1) _R над ним. Продукт несколько скручены в том , что фермионные координаты также загружают под U (1) _R . Это обвинение дается${\displaystyle Q^{i\alpha }}$${\displaystyle \theta ^{i\alpha }}$

${\displaystyle \theta ^{\pm \alpha }=u_{i}^{\pm }\theta ^{i\alpha }}$.

Мы можем определить ковариантные производные, обладающие тем свойством, что они суперкоммутируются с преобразованиями SUSY, и где f - любая функция гармонических переменных. Аналогичным образом определим${\displaystyle D_{\alpha }^{\pm }}$${\displaystyle D_{\alpha }^{\pm }f(u)=0}$

${\displaystyle D^{++}\equiv u^{+i}{\frac {\partial }{\partial u^{-i}}}}$

а также

${\displaystyle D^{--}\equiv u^{-i}{\frac {\partial }{\partial u^{+i}}}}$.

Киральное суперполе q с R-зарядом r удовлетворяет . Скалярная гипермультиплета задается хирального суперполем . У нас есть дополнительное ограничение${\displaystyle D_{\alpha }^{+}q=0}$${\displaystyle q^{+}}$

${\displaystyle D^{++}q^{+}=J^{+++}(q^{+},\,u)}$.

Согласно теореме Атьи-Зингера об индексе пространство решений предыдущего ограничения представляет собой двумерное комплексное многообразие.

Отношение к кватернионам [ править ]

Группу можно отождествить с группой Ли кватернионов с единичной нормой при умножении. , и, следовательно, кватернионы действуют на касательное пространство расширенного суперпространства. Размерности бозонного пространства-времени преобразуются тривиально, а размерности фермионов преобразуются в соответствии с фундаментальным представлением . ^[3] Левое умножение на кватернионы линейно. Теперь рассмотрим подпространство единичных кватернионов без реальной компоненты, которое изоморфно S ² . Каждый элемент этого подпространства может действовать как мнимое число i в комплексной подалгебре кватернионов. Итак, для каждого элемента S ²${\displaystyle SU(2)_{R}}$${\displaystyle SU(2)_{R}}$${\displaystyle SU(2)_{R}}$, мы можем использовать соответствующую мнимую единицу для определения комплексно-вещественной структуры над расширенным суперпространством с 8 действительными генераторами SUSY. Совокупность всех CR структур для каждой точки S ² является гармоническим суперпространством.

См. Также [ править ]

• Суперпространство
• Проективное суперпространство

Ссылки [ править ]