Теория бифуркации

Теория бифуркаций — математическое исследование изменений качественной или топологической структуры данного семейства кривых , например интегральных кривых семейства векторных полей и решений семейства дифференциальных уравнений . Наиболее часто применяемая к математическому изучению динамических систем бифуркация возникает, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение ее поведения. ^[1] Бифуркации происходят в обеих непрерывных системах (описываемыхобыкновенные , уравнения с запаздыванием или уравнения в частных производных) и дискретные системы (описываемые картами) .

Название «бифуркация» впервые было введено Анри Пуанкаре в 1885 году в первой работе по математике, показывающей такое поведение. ^[2] Анри Пуанкаре также позже назвал различные типы стационарных точек и классифицировал их мотивом ^{[ прояснить ]} .

Локальная бифуркация возникает, когда изменение параметра приводит к изменению устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через нуль. В дискретных системах (описываемых картами) это соответствует фиксированной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболическое в точке бифуркации. Топологические изменения фазового портрета системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек путем перемещения параметра бифуркации ближе к точке бифуркации (отсюда «локальные»).

Более технически, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)

Локальная бифуркация возникает при , если матрица Якоби имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является стационарной бифуркацией, но если собственное значение не равно нулю, но является чисто мнимым, это бифуркация Хопфа .${\ Displaystyle (х_ {0}, \ лямбда _ {0})}$${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

Тогда локальная бифуркация происходит при , если матрица имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация является либо седло-узловой (часто называемой складчатой ​​бифуркацией в картах), либо транскритической бифуркацией, либо бифуркацией вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или переворота), а в противном случае - бифуркация Хопфа.${\ Displaystyle (х_ {0}, \ лямбда _ {0})}$${\ displaystyle {\ textrm {d}} f_ {x_ {0}, \ lambda _ {0}}}$

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седлового узла

Бифуркации уменьшения периода вдвое (L), ведущие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), ведущие к хаосу.

Фазовый портрет до, во время и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет до тех пор, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности, и она стала гомоклинической . После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель : для небольших значений параметров имеется седловая точка в начале координат и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель : по мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл растет до тех пор, пока он точно не пересекает седловую точку, что дает орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель: При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.