Теорема Гильберта о проекции

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Найти источники:  "Проекционная теорема Гильберта"  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( февраль 2020 г. )

В математике Гильберт проекция теорема является известным результатом выпуклого анализа , который говорит , что для каждого вектора в гильбертовом пространстве и каждый непустом выпуклом замкнутом , существует единственный вектор , для которого минимизирован над векторами . ${\ displaystyle x}$ ${\displaystyle H}$${\displaystyle C\subset H}$${\displaystyle y\in C}$${\displaystyle \lVert x-z\rVert }$${\displaystyle z\in C}$

Это, в частности, верно для любого замкнутого подпространства в . В этом случае необходимым и достаточным условием является то, что вектор ортогонален .${\displaystyle M}$${\displaystyle H}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x-y}$${\displaystyle M}$

Конечномерный случай [ править ]

Некоторое понимание теоремы можно получить, рассматривая условие первого порядка задачи оптимизации.

Рассмотрим конечномерное вещественное гильбертово пространство с подпространством и точкой . Если - минимизатор (в ) числа , то производная должна быть равна нулю.${\displaystyle H}$${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y\in M}$${\displaystyle z}$${\displaystyle \lVert x-z\rVert }$

В обозначении производной матрицы ^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial \lVert x-z\rVert ^{2}&=\partial \langle z-x,z-x\rangle \\&=2\langle z-x,\partial z\rangle \end{aligned}}}$

Поскольку представляет собой произвольное касательное направление, то есть вектор в , мы видим, что он должен быть ортогонален всем из .${\displaystyle \partial z}$${\displaystyle M}$${\displaystyle y-x}$${\displaystyle M}$

Доказательство [ править ]

• Покажем существование y :

Пусть δ - расстояние между x и C , ( y _n ) последовательность в C такая, что квадрат расстояния между x и y _n меньше или равен δ ² + 1 / n . Пусть n и m - два целых числа, тогда верны следующие равенства:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2}-2\langle y_{n}-x\,,\,y_{m}-x\rangle }$

и

${\displaystyle 4\left\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\right\|^{2}=\|y_{n}-x\|^{2}+\|y_{m}-x\|^{2}+2\langle y_{n}-x\,,\,y_{m}-x\rangle }$

Таким образом, мы имеем:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}=2\|y_{n}-x\|^{2}+2\|y_{m}-x\|^{2}-4\left\|{\frac {y_{n}+y_{m}}{2}}-x\right\|^{2}}$

(Вспомните формулу для медианы в треугольнике - Median_ (geometry) # Formulas_involving_the_medians'_lengths ) Задав верхнюю границу для первых двух членов равенства и заметив, что середины y _n и y _m принадлежат C и имеют следовательно, расстояние от x больше или равно δ , получаем:

${\displaystyle \|y_{n}-y_{m}\|^{2}\;\leq \;2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{n}}\right)+2\left(\delta ^{2}+{\frac {1}{m}}\right)-4\delta ^{2}=2\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}\right)}$

Последнее неравенство доказывает, что ( y _n ) - последовательность Коши . Поскольку C полна, последовательность сходится к точке y в C , расстояние от которой до x минимально.

• Покажем единственность y  :

Пусть y ₁ и y ₂ - два минимизатора. Потом:

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}=2\|y_{1}-x\|^{2}+2\|y_{2}-x\|^{2}-4\left\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\right\|^{2}}$

Поскольку принадлежит C , мы имеем и, следовательно,${\displaystyle {\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}}$${\displaystyle \left\|{\frac {y_{1}+y_{2}}{2}}-x\right\|^{2}\geq \delta ^{2}}$

${\displaystyle \|y_{2}-y_{1}\|^{2}\leq 2\delta ^{2}+2\delta ^{2}-4\delta ^{2}=0\,}$

Следовательно , что доказывает уникальность.${\displaystyle y_{1}=y_{2}}$

• Покажем эквивалентное условие на y, когда C  =  M - замкнутое подпространство.

Условие достаточно: пусть такое, что для всех . что доказывает, что это минимизатор.${\displaystyle z\in M}$${\displaystyle \langle z-x,a\rangle =0}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle \|x-a\|^{2}=\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}+2\langle z-x,a-z\rangle =\|z-x\|^{2}+\|a-z\|^{2}}$${\displaystyle z}$

Необходимо условие: Пусть будет минимизатор. Пусть и .${\displaystyle y\in M}$${\displaystyle a\in M}$${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \|(y+ta)-x\|^{2}-\|y-x\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +t^{2}\|a\|^{2}=2t\langle y-x,a\rangle +O(t^{2})}$

всегда неотрицательно. Следовательно,${\displaystyle \langle y-x,a\rangle =0.}$

QED

См. Также [ править ]

• Принцип ортогональности

Ссылки [ править ]

• Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (Третье изд.).