Голоморфное касательное расслоение

В математике и особенно сложной геометрии , то голоморфное касательное расслоение из комплексного многообразия является голоморфным аналогом касательного расслоения в виде гладкого многообразия . Слой голоморфного касательного расслоения над точкой является голоморфным касательным пространством , которое является касательным пространством лежащего в основе гладкого многообразия, учитывая структуру комплексного векторного пространства через почти комплексную структуру комплексного многообразия .${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle J}$${\ displaystyle M}$

Определение [ править ]

Учитывая комплексное многообразие комплексной размерности , касательное расслоение как гладкое векторное расслоение является реальным ранг векторного расслоения на . Интегрируемая почти комплексная структура, соответствующая комплексной структуре на многообразии, является эндоморфизмом со свойством, что . После комплексирования вещественного касательного расслоения к , эндоморфизм может быть расширен комплексно-линейно до эндоморфизма, определенного для векторов в .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle 2n}$${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle J: TM \ to TM}$${\ displaystyle J ^ {2} = - \ operatorname {Id}}$${\ displaystyle TM \ otimes \ mathbb {C} \ to M}$${\ displaystyle J}$${\ displaystyle J: TM \ otimes \ mathbb {C} \ to TM \ otimes \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle J (X + iY) = J (X) + iJ (Y)}$${\ displaystyle X, Y}$${\ displaystyle TM}$

Поскольку , имеет собственные значения на комплексифицированном касательном расслоении и поэтому распадается как прямая сумма${\ displaystyle J ^ {2} = - \ operatorname {Id}}$${\ displaystyle J}$ ${\ displaystyle i, -i}$${\ Displaystyle TM \ otimes \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle TM \ otimes \ mathbb {C} = T ^ {1,0} M \ oplus T ^ {0,1} M}$

где это - eigenbundle и -eigenbundle. Голоморфное касательное расслоение в это векторное расслоение , а антиголоморфная касательное расслоение является векторным расслоением .${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T^{0,1}M}$${\displaystyle -i}$${\displaystyle M}$${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T^{0,1}M}$

Векторные расслоения и являются естественно сложными векторными подрасслоениями комплексного векторного расслоения , и их двойники могут быть взяты. Голоморфная котангенс расслоение двойственна голоморфному касательного расслоения, и записывается . Аналогично антиголоморфное кокасательное расслоение является двойственным к антиголоморфному касательному расслоению и записывается . Голоморфные и антиголоморфные (ко) касательные расслоения меняются местами сопряжением , которое дает вещественно-линейный (но не комплексный линейный!) Изоморфизм .${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T^{0,1}M}$ ${\displaystyle TM\otimes \mathbb {C} }$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{0,1}^{*}M}$${\displaystyle T^{1,0}M\to T^{0,1}M}$

Голоморфное касательное расслоение изоморфно как вещественное векторное расслоение ранга регулярному касательному расслоению . Изоморфизм задается композицией включения в комплексифицированное касательное расслоение, а затем проекцией на -собственное расслоение.${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle 2n}$${\displaystyle TM}$${\displaystyle TM\hookrightarrow TM\otimes \mathbb {C} {\xrightarrow {\operatorname {pr} _{1,0}}}T^{1,0}M}$${\displaystyle i}$

Каноническое расслоение определяется .${\displaystyle K_{M}=\Lambda ^{n}T_{1,0}^{*}M}$

Альтернативное местное описание [ править ]

В локальной голоморфному графики из , один различают реальные координаты , определенные для каждого . Они дают выделенные комплексные однозначные формы на . К этим комплексным однозначным формам двойственны комплекснозначные векторные поля (то есть сечения комплексного касательного расслоения),${\displaystyle \varphi =(z^{1},\dots ,z^{n}):U\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (x^{1},\dots ,x^{n},y^{1},\dots ,y^{n})}$${\displaystyle z^{j}=x^{j}+iy^{j}}$${\displaystyle j=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle dz^{j}=dx^{j}+idy^{j},d{\bar {z}}^{j}=dx^{j}-idy^{j}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}-i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right),\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial }{\partial x^{j}}}+i{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

Взятые вместе, эти векторные поля образуют каркас для ограничения комплексифицированного касательного расслоения на . Таким образом, эти векторные поля также разбивают комплексифицированное касательное расслоение на два подрасслоения.${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle U}$

${\displaystyle \left.T^{1,0}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\right\},\quad \left.T^{0,1}M\right|_{U}:=\operatorname {Span} \left\{{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\right\}.}$

При голоморфной замене координат эти два подрасслоения сохраняются, и, таким образом, накрывая голоморфными картами, мы получаем расщепление комплексифицированного касательного расслоения. Это и есть расщепление на голоморфные и антиголоморфные касательные расслоения, описанные ранее. Аналогично комплекснозначные однозначные формы и обеспечивают разбиение комплексифицированного кокасательного расслоения на голоморфное и антиголоморфное кокасательное расслоения.${\displaystyle \left.TM\otimes \mathbb {C} \right|_{U}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle dz^{j}}$${\displaystyle d{\bar {z}}^{j}}$

С этой точки зрения название голоморфного касательного расслоения становится прозрачным. А именно, функции перехода для голоморфного касательного расслоения с локальными шкалами, порожденными с помощью , задаются матрицей Якоби функций перехода . Явно, если у нас есть две карты с двумя наборами координат , то ${\displaystyle \partial /\partial z^{j}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{\alpha },U_{\beta }}$${\displaystyle z^{j},w^{k}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial w^{k}}{\partial z^{j}}}{\frac {\partial }{\partial w^{k}}}.}$

Поскольку координатные функции голоморфны, то же самое происходит с любыми производными от них, и поэтому функции перехода голоморфного касательного расслоения также голоморфны. Таким образом, голоморфное касательное расслоение является настоящим голоморфным векторным расслоением . Точно так же голоморфное кокасательное расслоение является настоящим голоморфным векторным расслоением с функциями перехода, заданными обратной матрицей Якоби. Обратите внимание, что антиголоморфные касательные и кокасательные расслоения не имеют голоморфных функций перехода, а имеют антиголоморфные функции.

В терминах описанных локальных фреймов почти сложная структура действует следующим образом:${\displaystyle J}$

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial z^{j}}}\mapsto i{\frac {\partial }{\partial z^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}}\mapsto -i{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}^{j}}},}$

или в реальных координатах

${\displaystyle J:{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\mapsto {\frac {\partial }{\partial y^{j}}},\quad {\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\mapsto -{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}$

Голоморфные векторные поля и дифференциальные формы [ править ]

Поскольку голоморфные касательные и кокасательные расслоения имеют структуру голоморфных векторных расслоений, выделяются голоморфные сечения. Голоморфное векторное поле является голоморфным сечением . Голоморфная один-форма представляет собой голоморфное сечение . Взяв внешние степени , можно определить голоморфные -формы для целых чисел . Оператор Кошей-Риман из может быть расширен от функций к комплекснозначным дифференциальным формам, а голоморфные сечения голоморфного кокасательного расслоения согласуются с комплекснозначными дифференциальными -формами, аннулируемые . Подробнее см.${\displaystyle T^{1,0}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}M}$${\displaystyle T_{1,0}^{*}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle (p,0)}$${\displaystyle {\bar {\partial }}}$сложные дифференциальные формы .

См. Также [ править ]

• Почти комплексное многообразие
• Эрмитово многообразие

Ссылки [ править ]

• Хайбрехтс, Даниэль (2005). Сложная геометрия: Введение . Springer. ISBN 3-540-21290-6.
• Гриффитс, Филипп ; Харрис, Джозеф (1994), Принципы алгебраической геометрии , Библиотека Wiley Classics, Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-05059-9, MR  1288523