Эрмитово многообразие

В математике , а точнее в дифференциальной геометрии , эрмитово многообразие является комплексным аналогом риманова многообразия . Точнее, эрмитово многообразие - это комплексное многообразие с гладко меняющимся эрмитовым скалярным произведением на каждом (голоморфном) касательном пространстве . Можно также определить эрмитово многообразие как вещественное многообразие с римановой метрикой , сохраняющей комплексную структуру .

Сложная структура - это, по сути, почти сложная структура с условием интегрируемости, и это условие дает унитарную структуру (структура U (n) ) на многообразии. Отбросив это условие, мы получим почти эрмитово многообразие .

На любом почти эрмитовом многообразии можно ввести фундаментальную 2-форму (или косимплектическую структуру ), которая зависит только от выбранной метрики и почти комплексной структуры. Эта форма всегда невырожденная. С дополнительным условием интегрируемости, что она замкнута (т.е. является симплектической формой ), мы получаем почти кэлерову структуру . Если и почти комплексная структура, и фундаментальная форма интегрируемы, то мы имеем кэлерову структуру .

Формальное определение [ править ]

Эрмитова метрика на комплексное векторное расслоение Е над гладким многообразием М является плавно меняющейся положительно определенная эрмитова форма на каждом слое. Такую метрику можно записать в виде гладкого участка

${\displaystyle h\in \Gamma (E\otimes {\bar {E}})^{*}}$

такой, что

${\displaystyle h_{p}(\eta ,{\bar {\zeta }})={\overline {h_{p}(\zeta ,{\bar {\eta }})}}}$

для всех ζ, η из E _p и

${\displaystyle h_{p}(\zeta ,{\bar {\zeta }})>0}$

для всех ненулевых z в E _p .

Эрмитово многообразие является комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на его голоморфном касательном пространстве . Точно так же почти эрмитово многообразие - это почти комплексное многообразие с эрмитовой метрикой на голоморфном касательном пространстве.

На эрмитовом многообразии метрика может быть записана в локальных голоморфных координатах ( z ^α ) как

${\displaystyle h=h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }}$

где - компоненты положительно определенной эрмитовой матрицы .${\displaystyle h_{\alpha {\bar {\beta }}}}$

Риманова метрика и ассоциированная форма [ править ]

Эрмитова метрика h на (почти) комплексном многообразии M определяет риманову метрику g на подлежащем гладком многообразии. Метрика g определяется как действительная часть h :

${\displaystyle g={1 \over 2}(h+{\bar {h}}).}$

Форма g является симметричной билинейной формой на TM ^C , комплексифицированном касательном расслоении. Так как g равен своему сопряженному, это комплексификация вещественной формы на TM . Симметрия и положительная определенность g на TM следуют из соответствующих свойств h . В локальных голоморфных координатах метрику g можно записать

${\displaystyle g={1 \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,(dz^{\alpha }\otimes d{\bar {z}}^{\beta }+d{\bar {z}}^{\beta }\otimes dz^{\alpha }).}$

Можно также сопоставить ч в комплексной дифференциальной форме со точкой степени (1,1). Форма ω определяется как минус мнимая часть h :

${\displaystyle \omega ={i \over 2}(h-{\bar {h}}).}$

Опять же, поскольку ω равно своему сопряженному, это комплексификация вещественной формы на TM . Форма ω называется по-разному ассоциированной (1,1) формой , фундаментальной формой или эрмитовой формой . В локальных голоморфных координатах ω можно записать

${\displaystyle \omega ={i \over 2}h_{\alpha {\bar {\beta }}}\,dz^{\alpha }\wedge d{\bar {z}}^{\beta }.}$

Из координатных представлений ясно, что любая из трех форм h , g и ω однозначно определяет две другие. Риманова метрика g и ассоциированная (1,1) форма ω связаны почти комплексной структурой J следующим образом

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega (u,v)&=g(Ju,v)\\g(u,v)&=\omega (u,Jv)\end{aligned}}}$

для всех комплексных касательных векторов u и v . Эрмитова метрика h восстанавливается по g и ω с помощью тождества

${\displaystyle h=g-i\omega .\,}$

Все три формы ч , г , и со сохраняют почти комплексную структуру J . То есть,

${\displaystyle {\begin{aligned}h(Ju,Jv)&=h(u,v)\\g(Ju,Jv)&=g(u,v)\\\omega (Ju,Jv)&=\omega (u,v)\end{aligned}}}$

для всех комплексных касательных векторов u и v .

Следовательно, эрмитова структура на (почти) комплексном многообразии M может быть задана либо

1. эрмитова метрика h, как указано выше,
2. риманова метрика g , сохраняющая почти комплексную структуру J , или
3. невырожденная 2-форма ω , которая сохраняет J и положительно определена в том смысле , что ω ( у , Ju )> 0 для всех ненулевых вещественных касательных векторов ˙U .

Обратите внимание, что многие авторы называют g эрмитовой метрикой.

Свойства [ править ]

Каждое (почти) комплексное многообразие допускает эрмитову метрику. Это непосредственно следует из аналогичного утверждения для римановой метрики. Для произвольной римановой метрики g на почти комплексном многообразии M можно очевидным образом построить новую метрику g ′, совместимую с почти комплексной структурой J :

${\displaystyle g'(u,v)={1 \over 2}\left(g(u,v)+g(Ju,Jv)\right).}$

Выбор эрмитовой метрики на почти комплексном многообразии M равносилен выбору U ( n ) -структуры на M ; то есть уменьшение структурной группы из кадра пучка из M из GL ( п , С ) к унитарной группе U ( п ). Унитарная рамка на почти эрмитово многообразии является сложным линейным репером , который является ортонормированным относительно эрмитова метрикой. Унитарная рама пучок из М является главным U ( п ) -расслоение всех унитарных кадров.

Каждое почти эрмитово многообразие M имеет каноническую форму объема, которая является просто римановой формой объема, определяемой g . Эта форма задается в терминах ассоциированной (1,1) -формы ω формулой

${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}={\frac {\omega ^{n}}{n!}}\in \Omega ^{n,n}(M)}$

где ω ⁿ - произведение клина ω на себя n раз. Поэтому форма объема является реальным ( п , п ) -форма на М . В локальных голоморфных координатах форма объема задается выражением

${\displaystyle \mathrm {vol} _{M}=\left({\frac {i}{2}}\right)^{n}\det(h_{\alpha {\bar {\beta }}})\,dz^{1}\wedge d{\bar {z}}^{1}\wedge \cdots \wedge dz^{n}\wedge d{\bar {z}}^{n}.}$

Можно также рассматривать эрмитову метрику на голоморфном векторном расслоении .

Кэлеровы многообразия [ править ]

Самый важный класс эрмитовых многообразий - это кэлеровы многообразия . Это эрмитовы многообразия, для которых эрмитова форма ω замкнута :

${\displaystyle d\omega =0\,.}$

В этом случае форма ω называется кэлеровой . Кэлерова форма - это симплектическая форма , поэтому кэлеровы многообразия естественным образом являются симплектическими многообразиями .

Почти эрмитово многообразие, ассоциированная (1,1) -форма которого замкнута, естественно назвать почти кэлеровым многообразием . Любое симплектическое многообразие допускает согласованную почти комплексную структуру, превращающую его в почти кэлерово многообразие.

Интегрируемость [ править ]

Кэлерово многообразие - это почти эрмитово многообразие, удовлетворяющее условию интегрируемости . Об этом можно сказать несколькими эквивалентными способами.

Пусть ( М , г , ω, J ) почти эрмитово многообразие вещественной размерности 2 п и пусть ∇ быть связность Леви-Чивита из г . Следующие условия являются эквивалентными для того, чтобы M было кэлеровым:

• ω замкнуто, а J интегрируемо
• ∇ J = 0,
• ∇ω = 0,
• голономия группа из ∇ содержится в унитарной группе U ( п ) , ассоциированной с J .

Эквивалентность этих условий соответствует свойству унитарной группы « 2 из 3 » .

В частности, если M - эрмитово многообразие, условие dω = 0 эквивалентно, по-видимому, гораздо более сильным условиям ∇ω = ∇ J = 0. Богатство кэлеровой теории отчасти связано с этими свойствами.

Ссылки [ править ]

• Гриффитс, Филипп; Джозеф Харрис (1994) [1978]. Основы алгебраической геометрии . Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8.
• Кобаяси, Шошичи; Кацуми Номидзу (1996) [1963]. Основы дифференциальной геометрии . 2 . Библиотека Wiley Classics. Нью-Йорк: Wiley Interscience . ISBN 0-471-15732-5.
• Кодаира, Кунихико (1986). Сложные многообразия и деформации сложных структур . Классика по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 3-540-22614-1.