Гомотопическая категория цепных комплексов

В гомологической алгебре в математике , то гомотопическая категория К (А) цепным комплексам в аддитивной категории А является основой для работы с цепными гомотопиями и гомотопическими эквивалентностями. Он находится промежуточное положение между категорией цепных комплексов Ком (А) из А и производной категории D (А) из А , когда является абелевой ; в отличие от первой это триангулированная категория , и в отличие от второй для ее образования не требуется, чтобы A была абелевой. Философски, в то время как D (A)делает изоморфизмы любых отображений комплексов, которые являются квазиизоморфизмами в Kom (A) , K (A) делает это только для тех, которые являются квазиизоморфизмами по «уважительной причине», а именно фактически имеют обратный с точностью до гомотопической эквивалентности. Таким образом, K (A) более понятно, чем D (A) .

Определения [ править ]

Пусть A - аддитивная категория . Гомотопическая категория K (A) основана на следующем определении: если у нас есть комплексы A , B и отображают f , g из A в B , цепная гомотопия из f в g является набором отображений ( не отображением комплексов) такой, что${\ displaystyle h ^ {n} \ двоеточие A ^ {n} \ to B ^ {n-1}}$

${\ displaystyle f ^ {n} -g ^ {n} = d_ {B} ^ {n-1} h ^ {n} + h ^ {n + 1} d_ {A} ^ {n},}$ или просто ${\ displaystyle fg = d_ {B} h + hd_ {A}.}$

Это можно изобразить как:

Мы также говорим , что е и г являются цепями гомотопными , или что является стягиваемо или гомотопным 0 . Из определения ясно, что отображения комплексов, гомотопные нулю, образуют группу при сложении.${\ displaystyle fg}$

Тогда гомотопическая категория цепных комплексов K (A) определяется следующим образом: ее объекты такие же, как объекты Kom (A) , а именно цепные комплексы . Его морфизмы - это «отображения комплексов по модулю гомотопии»: то есть мы определяем отношение эквивалентности

${\ displaystyle f \ sim g \}$если f гомотопна g

и определить

${\ Displaystyle \ OperatorName {Hom} _ {K (A)} (A, B) = \ operatorname {Hom} _ {Kom (A)} (A, B) / \ sim}$

быть частным по этому отношению. Ясно, что это приводит к аддитивной категории, если заметить, что это то же самое, что и факторизация по подгруппе нуль-гомотопических отображений.

Также широко используются следующие варианты определения: если взять только ограниченное снизу ( A ⁿ = 0 для n << 0 ), ограниченное сверху ( A ⁿ = 0 для n >> 0 ) или ограниченное ( A ⁿ = 0 для | n | >> 0 ) комплексов вместо неограниченных, говорят об ограниченной снизу гомотопической категории и т. Д. Они обозначаются K ⁺ (A) , K ^- (A) и K ^b (A) соответственно .

Морфизм, являющийся изоморфизмом в K (A) , называется гомотопической эквивалентностью . В деталях это означает, что существует другая карта , такая, что две композиции гомотопны тождествам: и .${\ displaystyle f: A \ rightarrow B}$${\ displaystyle g: B \ rightarrow A}$${\ displaystyle f \ circ g \ sim Id_ {B}}$${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$

Название «гомотопия» происходит от того факта, что гомотопические отображения топологических пространств индуцируют гомотопические (в указанном выше смысле) отображения особых цепей .

Замечания [ править ]

Два цепных гомотопических отображения f и g индуцируют одни и те же отображения на гомологиях, потому что (f - g) переводит циклы на границы , которые равны нулю в гомологиях. В частности, гомотопическая эквивалентность - это квазиизоморфизм . (Обратное утверждение неверно в целом.) Это показывает , что существует канонический функтор к производной категории (если является абелевой ).${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$

Триангулированная структура [ править ]

Сдвиг А [1] комплексного А является следующим комплексом

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$(обратите внимание, что ),${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$

где дифференциал . ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$

В качестве конуса морфизма f возьмем конус отображения . Есть природные карты

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

Эта диаграмма называется треугольником . Гомотопическая категория K (A) является триангулированной категорией , если определить выделенные треугольники как изоморфные (в K (A) , т. Е. Гомотопически эквивалентные) указанным выше треугольникам для произвольных A , B и f . То же верно и для ограниченных вариантов K ⁺ (A) , K ^- (A) и K ^b (A) . Хотя треугольники также имеют смысл в Kom (A) , эта категория не триангулирована относительно этих выделенных треугольников; Например,

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

не отличается , так как конус тождественного отображения не изоморфна комплексной 0 (однако, нулевое отображение является гомотопической эквивалентности, так что этот треугольник будет отличать в K (A) ). Более того, поворот выделенного треугольника, очевидно, не выделяется в Kom (A) , но (что менее очевидно) выделяется в K (A) . См. Ссылки для получения подробной информации.${\displaystyle C(id)\to 0}$

Обобщение [ править ]

В более общем смысле, гомотопическая категория Ho (C) дифференциальной градуированной категории C определяется как имеющая те же объекты, что и C , но морфизмы определяются как . (Это сводится к гомотопии цепных комплексов, если C - категория комплексов, морфизмы которых не должны учитывать дифференциалы). Если C имеет конусы и сдвиги в подходящем смысле, то Ho (C) также является триангулированной категорией.${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

Ссылки [ править ]

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .