Конус отображения (гомологическая алгебра)

В гомологической алгебре , то отображение конуса является построение на карте цепных комплексов , вдохновленных аналогичной конструкции в топологии . В теории триангулированных категорий является своего рода комбинированного ядра и коядра : если цепные комплексы принимают свои условия в абелевой категории , так что мы можем говорить о когомологиях , то конус карты F быть ациклические означает , что карта квазиизоморфизм ; если перейти к производной категории комплексов, это означает, что fтам является изоморфизмом, напоминающим известное свойство отображений групп , модулей над кольцом или элементов произвольной абелевой категории: если и ядро, и коядро обращаются в нуль, то отображение является изоморфизмом. Если мы работаем в t-категории , то на самом деле конус предоставляет как ядро, так и коядро отображений между объектами его ядра.

Определение [ править ]

Конус может быть определен в категории коцепных комплексов над любой аддитивной категорией (т. Е. В категории, морфизмы которой образуют абелевы группы и в которой мы можем построить прямую сумму любых двух объектов). Пусть будут два комплекса с дифференциалами, т. Е.${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle d_ {A}, d_ {B};}$

${\ displaystyle A = \ dots \ to A ^ {n-1} {\ xrightarrow {d_ {A} ^ {n-1}}} A ^ {n} {\ xrightarrow {d_ {A} ^ {n}} } A ^ {n + 1} \ to \ cdots}$

и аналогично для ${\ displaystyle B.}$

Для карты комплексов мы определяем конус, который часто обозначается как или как следующий комплекс:${\ displaystyle f: от A \ до B,}$${\ displaystyle \ operatorname {Cone} (f)}$${\ Displaystyle C (е),}$

${\displaystyle C(f)=A[1]\oplus B=\dots \to A^{n}\oplus B^{n-1}\to A^{n+1}\oplus B^{n}\to A^{n+2}\oplus B^{n+1}\to \cdots }$ на условиях,

с дифференциалом

${\displaystyle d_{C(f)}={\begin{pmatrix}d_{A[1]}&0\\f[1]&d_{B}\end{pmatrix}}}$(действует как на векторах-столбцах ).

Вот комплекс с и . Обратите внимание, что дифференциал включения отличается от естественного дифференциала включения , и что некоторые авторы используют другое соглашение о знаках.${\displaystyle A[1]}$${\displaystyle A[1]^{n}=A^{n+1}}$${\displaystyle d_{A[1]}^{n}=-d_{A}^{n+1}}$${\displaystyle C(f)}$${\displaystyle A[1]\oplus B}$

Таким образом, если, например, наши комплексы принадлежат абелевым группам, дифференциал будет действовать как

${\displaystyle {\begin{array}{ccl}d_{C(f)}^{n}(a^{n+1},b^{n})&=&{\begin{pmatrix}d_{A[1]}^{n}&0\\f[1]^{n}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}&0\\f^{n+1}&d_{B}^{n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a^{n+1}\\b^{n}\end{pmatrix}}\\&=&{\begin{pmatrix}-d_{A}^{n+1}(a^{n+1})\\f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\end{pmatrix}}\\&=&\left(-d_{A}^{n+1}(a^{n+1}),f^{n+1}(a^{n+1})+d_{B}^{n}(b^{n})\right).\end{array}}}$

Свойства [ править ]

Предположим теперь, что мы работаем над абелевой категорией , так что гомологии комплекса определены. Основное использование конуса - выявление квазиизоморфизмов : если конус ациклический , то отображение является квазиизоморфизмом. Чтобы убедиться в этом, воспользуемся существованием треугольника

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

где отображения задаются прямыми слагаемыми (см. Гомотопическая категория цепных комплексов ). Поскольку это треугольник, он дает длинную точную последовательность на группах гомологий :${\displaystyle B\to C(f),C(f)\to A[1]}$

${\displaystyle \dots \to H_{i-1}(C(f))\to H_{i}(A){\xrightarrow {f^{*}}}H_{i}(B)\to H_{i}(C(f))\to \cdots }$

а если является ациклическим, то по определению внешние члены, указанные выше, равны нулю. Поскольку последовательность точна, это означает, что индуцирует изоморфизм на всех группах гомологий и, следовательно (снова по определению) является квазиизоморфизмом.${\displaystyle C(f)}$${\displaystyle f^{*}}$

Этот факт напоминает обычную альтернативную характеризацию изоморфизмов в абелевой категории как отображений, ядро ​​и коядро которых равны нулю. Такое появление конуса как совмещенного ядра и коядра не случайно; фактически, при определенных обстоятельствах конус буквально воплощает в себе и то, и другое. Скажем, например, что мы работаем над абелевой категорией и имеем только один ненулевой член степени 0:${\displaystyle A,B}$

${\displaystyle A=\dots \to 0\to A_{0}\to 0\to \cdots ,}$

${\displaystyle B=\dots \to 0\to B_{0}\to 0\to \cdots ,}$

и поэтому справедливо (как карта объектов лежащей в основе абелевой категории). Тогда конус просто${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle f_{0}\colon A_{0}\to B_{0}}$

${\displaystyle C(f)=\dots \to 0\to {\underset {[-1]}{A_{0}}}{\xrightarrow {f_{0}}}{\underset {[0]}{B_{0}}}\to 0\to \cdots .}$

(В нижеследующем тексте указывается степень каждого члена.) Тогда гомология этого комплекса

${\displaystyle H_{-1}(C(f))=\operatorname {ker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{0}(C(f))=\operatorname {coker} (f_{0}),}$

${\displaystyle H_{i}(C(f))=0{\text{ for }}i\neq -1,0.\ }$

Это не случайность и фактически происходит в каждой t-категории .

Картографический цилиндр [ править ]

Связанное с этим понятие - цилиндр отображения : пусть будет морфизм цепных комплексов, пусть далее будет естественное отображение. Цилиндр отображения отображения f по определению является конусом отображения отображения g .${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle g\colon \operatorname {Cone} (f)[-1]\to A}$

Топологическое вдохновение [ править ]

Этот комплекс называется конусом по аналогии с отображением конуса (топология) в виде непрерывного отображения из топологических пространств : комплекс сингулярных цепей топологического конуса гомотопический эквивалентно конус (в цепи-комплексно-смысле) индуцированный карта сингулярных цепей X в Y . Цилиндр отображения карты комплексов аналогичным образом связан с цилиндром отображения непрерывных отображений.${\displaystyle \phi :X\rightarrow Y}$${\displaystyle cone(\phi )}$

Ссылки [ править ]

• Манин Юрий Иванович ; Гельфанд, Сергей I. (2003), Методы гомологической алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования в области высшей математики. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. Руководство по ремонту  1269324 . OCLC  36131259 .
• Джозеф Дж. Ротман, Введение в алгебраическую топологию (1988) Springer-Verlag ISBN 0-387-96678-1 ( см. Главу 9 )