Треугольная категория

В математике триангулированная категория — это категория с дополнительной структурой «функтор перевода» и класс «точных треугольников». Яркими примерами являются производная категория абелевой категории , а также стабильная гомотопическая категория . Точные треугольники обобщают короткие точные последовательности в абелевой категории, а также последовательности слоев и последовательности корасслоений в топологии.

Большая часть гомологической алгебры проясняется и расширяется с помощью языка триангулированных категорий, важным примером является теория когомологий пучков . В 1960-х типичным использованием триангулированных категорий было распространение свойств пучков на пространстве X на комплексы пучков, рассматриваемых как объекты производной категории пучков на X. Совсем недавно триангулированные категории стали самостоятельными объектами интереса. Было доказано или выдвинуто предположение о многих эквивалентностях между триангулированными категориями разного происхождения. Например, гипотеза гомологической зеркальной симметрии предсказывает, что производная категория многообразия Калаби–Яу эквивалентна производной категории многообразия Калаби–Яу.Категория Фукая своего «зеркального» симплектического многообразия .

История

Триангулированные категории были независимо введены Дитером Пуппе (1962) и Жаном-Луи Вердье (1963), хотя аксиомы Пуппе были менее полными (отсутствовала аксиома октаэдра (TR 4)). ^[1] Пуппе был мотивирован стабильной гомотопической категорией. Ключевым примером Вердье была производная категория абелевой категории, которую он также определил, развивая идеи Александра Гротендика . Ранние применения производных категорий включали когерентную двойственность и двойственность Вердье , которая распространяет двойственность Пуанкаре на сингулярные пространства.

Определение

Функтор сдвига или сдвига на категории D — это аддитивный автоморфизм (или, по мнению некоторых авторов, автоэквивалентность ) из D в D . Обычно пишут для целых чисел n .${\ Displaystyle \ сигма}$${\displaystyle X[n]=\Sigma ^{n}X}$

Треугольник ( X , Y , Z , u , v , w ) состоит из трех объектов X , Y и Z вместе с морфизмами и . Треугольники обычно записывают в развернутом виде:${\displaystyle u\colon X\to Y}$${\displaystyle v\colon Y\to Z}$${\displaystyle w\colon Z\to X[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1],}$

или

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}}$

коротко.

Триангулированная категория — это аддитивная категория D с функтором сдвига и классом треугольников, называемых точными треугольниками ^[2] (или выделенными треугольниками ), удовлетворяющая следующим свойствам (TR 1), (TR 2), (TR 3) и (TR 3). ТР 4). (Эти аксиомы не являются полностью независимыми, так как (TR 3) может быть получено из других. ^[3] )

ТР 1

• Для каждого объекта X точен следующий треугольник:

${\displaystyle X{\overset {\text{id}}{\to }}X\to 0\to X[1]}$

• Для каждого морфизма существует объект Z (называемый конусом или кослоем морфизма u ), вписывающийся в точный треугольник${\displaystyle u\colon X\to Y}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y\to Z\to X[1]}$

Название «конус» происходит от конуса карты цепных комплексов , которая, в свою очередь, была вдохновлена конусом отображения в топологии. Из других аксиом следует, что точный треугольник (и в частности объект Z ) определяется с точностью до изоморфизма морфизмом , хотя и не всегда с точностью до единственного изоморфизма. ^[4]${\displaystyle X\to Y}$

• Каждый треугольник, изоморфный точному треугольнику, является точным. Это означает, что если

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

— точный треугольник, а , , и — изоморфизмы, то${\displaystyle f\colon X\to X'}$${\displaystyle g\colon Y\to Y'}$${\displaystyle h\colon Z\to Z'}$

${\displaystyle X'{\xrightarrow {guf^{-1}}}Y'{\xrightarrow {hvg^{-1}}}Z'{\xrightarrow {f[1]wh^{-1}}}X'[1]}$

также является точным треугольником.

ТР 2

Если

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

является точным треугольником, то таковы и два повернутых треугольника

${\displaystyle Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]{\xrightarrow {-u[1]}}Y[1]}$

и

${\displaystyle Z[-1]{\xrightarrow {-w[-1]}}X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z.\ }$

Ввиду последнего треугольника объект Z [−1] называется слоем морфизма .${\displaystyle X\to Y}$

Второй повернутый треугольник имеет более сложный вид, когда и не являются изоморфизмами, а лишь взаимно обратными эквивалентностями категорий, так как является морфизмом из в , а для получения морфизма в нужно составить с естественным преобразованием . Это приводит к сложным вопросам о возможных аксиомах, которые нужно наложить на естественные преобразования, производящие и на пару обратных эквивалентностей. Из-за этой проблемы предположение, что и являются взаимно обратными изоморфизмами, является обычным выбором в определении триангулированной категории.${\displaystyle [1]}$${\displaystyle [-1]}$${\displaystyle -w[-1]}$${\displaystyle Z[-1]}$${\displaystyle (X[1])[-1]}$${\displaystyle [X]}$${\displaystyle (X[1])[-1]{\xrightarrow {}}X}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle [-1]}$${\displaystyle [1]}$${\displaystyle [-1]}$

ТР 3

Даны два точных треугольника и отображение между первыми морфизмами в каждом треугольнике, существует морфизм между третьими объектами в каждом из двух треугольников, который делает все коммутативным . То есть на следующей диаграмме (где две строки являются точными треугольниками, а f и g являются морфизмами, такими что gu = u′f ), существует отображение h (не обязательно уникальное), делающее все квадраты коммутирующими:

TR 4: Октаэдрическая аксиома

Пусть и будут морфизмами, и рассмотрим составной морфизм . Сформируйте точные треугольники для каждого из этих трех морфизмов в соответствии с ТУ 1. Аксиома октаэдра утверждает (грубо), что три конуса отображения можно превратить в вершины точного треугольника, так что «все коммутирует».${\displaystyle u\colon X\to Y}$${\displaystyle v\colon Y\to Z}$${\displaystyle vu\colon X\to Z}$

Более формально, учитывая точные треугольники

${\displaystyle X{\xrightarrow {u\,}}Y{\xrightarrow {j}}Z'{\xrightarrow {k}}X[1]}$

${\displaystyle Y{\xrightarrow {v\,}}Z{\xrightarrow {l}}X'{\xrightarrow {i}}Y[1]}$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop vu}}Z{\xrightarrow {m}}Y'{\xrightarrow {n}}X[1]}$,

существует точный треугольник

${\displaystyle Z'{\xrightarrow {f}}Y'{\xrightarrow {g}}X'{\xrightarrow {h}}Z'[1]}$

такой, что

${\displaystyle l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.}$

Эта аксиома называется «октаэдрической аксиомой», потому что рисование всех объектов и морфизмов дает скелет октаэдра , четыре грани которого являются точными треугольниками. Представление здесь принадлежит Вердье и появляется вместе с октаэдрической диаграммой в (Hartshorne  1966 ). На следующей диаграмме u и v — заданные морфизмы, а буквы со штрихом — конусы различных отображений (выбранных таким образом, что каждый точный треугольник имеет буквы X , Y и Z ). Различные стрелки были отмечены [1], чтобы указать, что они имеют «степень 1»; например, карта из Z ′ в X на самом деле из Z′ к X [1]. Затем октаэдрическая аксиома утверждает существование отображений f и g , образующих точный треугольник, и поэтому f и g образуют коммутативные треугольники на других гранях, которые их содержат:

Две разные картинки появляются в (Beilinson, Bernstein & Deligne  1982 ) (Gelfand and Manin ( 2006 ) также представляют первую). В первом представлены верхняя и нижняя пирамиды вышеупомянутого октаэдра и утверждается, что по заданной нижней пирамиде можно заполнить верхнюю пирамиду так, что два пути из Y в Y ′ и из Y ′ в Y равны (это условие опущен, возможно ошибочно, в презентации Хартсхорна). Треугольники, отмеченные +, коммутативны, а треугольники, отмеченные «d», точны:

Вторая диаграмма представляет собой более инновационное представление. Точные треугольники представлены линейно, и на диаграмме подчеркивается тот факт, что четыре треугольника в «октаэдре» связаны серией отображений треугольников, где три треугольника (а именно завершающие морфизмы из X в Y , из Y в Z , и от X до Z ) и утверждается существование четвертого. Один проходит между первыми двумя, «поворачиваясь» вокруг X , к третьему, поворачиваясь вокруг Z , и к четвертому, поворачиваясь вокруг X.'. Все вложения на этой диаграмме коммутативны (и треугольники, и квадрат), но другой коммутативный квадрат, выражающий равенство двух путей из Y ′ в Y , не очевиден. Все стрелки, указывающие «за край», имеют степень 1:

Эта последняя диаграмма также иллюстрирует полезную интуитивную интерпретацию аксиомы октаэдра. В триангулированных категориях треугольники играют роль точных последовательностей, и поэтому наводит на размышления об этих объектах как о «частных» и т. д . В этих терминах существование последнего треугольника выражает, с одной стороны,${\displaystyle Z'=Y/X}$${\displaystyle Y'=Z/X}$

${\displaystyle X'=Z/Y\ }$(глядя на треугольник  ), и${\displaystyle Y\to Z\to X'\to }$

${\displaystyle X'=Y'/Z'}$(смотрит на треугольник  ).${\displaystyle Z'\to Y'\to X'\to }$

Собирая их вместе, аксиома октаэдра утверждает «третью теорему об изоморфизме»:

${\displaystyle (Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.}$

Если триангулированная категория является производной категорией D ( A ) абелевой категории A , а X , Y , Z — объекты A , рассматриваемые как комплексы, сосредоточенные в степени 0, а отображения и являются мономорфизмами в A , то конусы этих морфизмы в D ( A ) на самом деле изоморфны приведенным выше факторам в A.${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle Y\to Z}$

Наконец, Neeman ( 2001 ) формулирует аксиому октаэдра, используя двумерную коммутативную диаграмму с 4 строками и 4 столбцами. Бейлинсон, Бернштейн и Делинь ( 1982 ) также дают обобщения аксиомы октаэдра.

Характеристики

Вот несколько простых следствий аксиом для триангулированной категории D .

• Дан точный треугольник

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

в D композиция любых двух последовательных морфизмов равна нулю. То есть vu = 0, wv = 0, u [1] w = 0 и так далее. ^[5]

• Для морфизма TR 1 гарантирует существование конуса Z , дополняющего точный треугольник. Любые два конуса u изоморфны, но изоморфизм не всегда определяется однозначно. ^[4]${\displaystyle u\colon X\to Y}$

• Каждый мономорфизм в D есть включение прямого слагаемого , а каждый эпиморфизм есть проекция . ^[6] Связанный с этим момент заключается в том, что не следует говорить об «инъективности» или «сюръективности» для морфизмов в триангулированной категории. Каждый морфизм , не являющийся изоморфизмом, имеет ненулевое «коядро» Z (имеется в виду, что существует точный треугольник ), а также ненулевое «ядро», а именно Z [−1].${\displaystyle X\to X\oplus Y}$${\displaystyle X\oplus Y\to X}$${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

Нефункциональность конструкции конуса

Одной из технических сложностей с триангулированными категориями является тот факт, что конструкция конуса не является функториальной. Например, для данного кольца и частичного отображения отмеченных треугольников${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{matrix}R&\to &0&\to &R[+1]&\to \\\downarrow &&\downarrow &&&\\0&\to &R[+1]&\to &R[+1]&\to \end{matrix}}}$

в , есть две карты, которые дополняют эту диаграмму. Это может быть карта идентичности или нулевая карта.${\displaystyle D^{b}(R)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{id}}:&R[+1]\to R[+1]\\0:&R[+1]\to R[+1]\end{aligned}}}$

оба из которых коммутативны. Тот факт, что существуют две карты, является тенью того факта, что триангулированная категория является инструментом, который кодирует гомотопические пределы и копределы . Одно из решений этой проблемы было предложено Гротендиком , где рассматривается не только производная категория, но и производная категория диаграмм этой категории. Такой объект называется Derivator .

Примеры

Есть ли лучшие аксиомы?

Некоторые эксперты подозревают ^{[11] на стр. 190} (см., например, (Гельфанд и Манин  , 2006 , введение, глава IV)), что триангулированные категории на самом деле не являются «правильной» концепцией. Существенная причина состоит в том, что конус морфизма уникален только с точностью до неединственного изоморфизма. В частности, конус морфизма, вообще говоря, не зависит функториально от морфизма (отметим, например, неединственность в аксиоме (TR 3). Эта неуникальность является потенциальным источником ошибок. Однако на практике аксиомы работают адекватно, и их изучению посвящено большое количество литературы.

Дериваторы

Одним из альтернативных предложений является теория дериваторов , предложенная Гротендиком в 80-х годах ^{[11] , стр. 191} , в его книге «Погоня за стеками» , а затем развитая в 90-х годах в его рукописи по этой теме. По существу, это система гомотопических категорий, заданная категориями диаграмм для категории с классом слабых эквивалентностей . Затем эти категории связаны морфизмами диаграмм . Преимущество этого формализма в том, что он может восстанавливать гомотопические пределы и копределы, которые заменяют конструкцию конуса.${\displaystyle I\to M}$${\displaystyle (M,W)}$${\displaystyle I\to J}$

Стабильные ∞-категории

Другая построенная альтернатива — это теория стабильных ∞-категорий . Гомотопическая категория стабильной ∞-категории канонически триангулируется, и, кроме того, конусы отображения становятся существенно единственными (в точном гомотопическом смысле). Более того, стабильная ∞-категория естественным образом кодирует целую иерархию совместностей для своей гомотопической категории, в основе которой лежит аксиома октаэдра. Таким образом, дать данные стабильной ∞-категории строго сильнее, чем дать данные триангуляции ее гомотопической категории. Почти все триангулированные категории, возникающие на практике, происходят из стабильных ∞-категорий. Аналогичным (но более специальным) обогащением триангулированных категорий является понятие dg-категории .

В некотором смысле стабильные ∞-категории или dg-категории работают лучше, чем триангулированные категории. Одним из примеров является понятие точного функтора между триангулированными категориями, обсуждаемое ниже. Для гладкого проективного многообразия X над полем k ограниченная производная категория когерентных пучков естественным образом получается из dg-категории. Для многообразий X и Y каждый функтор из dg-категории X в категорию Y происходит из комплекса пучков на преобразованием Фурье–Мукаи . ^[12] Напротив, есть пример точного функтора от до${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(X)}$${\displaystyle {\text{D}}^{\text{b}}(Y)}$что не происходит от комплекса связок на . ^[13] Принимая во внимание этот пример, «правильное» понятие морфизма между триангулированными категориями кажется таким, которое исходит из морфизма базовых dg-категорий (или стабильных ∞-категорий).${\displaystyle X\times Y}$

Еще одно преимущество стабильных ∞-категорий или dg-категорий перед триангулированными категориями проявляется в алгебраической K-теории . Можно определить алгебраическую K-теорию стабильной ∞-категории или dg-категории C , задав последовательность абелевых групп для целых i . Группа имеет простое описание в терминах триангулированной категории, связанной с C . Но пример показывает, что высшие K-группы dg-категории не всегда определяются ассоциированной триангулированной категорией. ^[14] Таким образом, триангулированная категория имеет хорошо определенную группу, но, вообще говоря, не высшие K-группы.${\displaystyle K_{i}(C)}$${\displaystyle K_{0}(C)}$${\displaystyle K_{0}}$

С другой стороны, теория триангулированных категорий проще, чем теория стабильных ∞-категорий или dg-категорий, и во многих приложениях достаточно триангулированной структуры. Примером может служить доказательство гипотезы Блоха–Като , где многие вычисления проводились на уровне триангулированных категорий, и не требовалось дополнительной структуры ∞-категорий или dg-категорий.

Когомологии в триангулированных категориях

Триангулированные категории допускают понятие когомологий, и каждая триангулированная категория имеет большой запас когомологических функторов. Когомологический функтор F из триангулированной категории D в абелеву категорию A — это такой функтор, что для любого точного треугольника

${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1],\ }$

последовательность в A точна. Поскольку точный треугольник определяет бесконечную последовательность точных треугольников в обоих направлениях,${\displaystyle F(X)\to F(Y)\to F(Z)}$

${\displaystyle \cdots \to Z[-1]\to X\to Y\to Z\to X[1]\to \cdots ,\ }$

когомологический функтор F фактически дает длинную точную последовательность в абелевой категории A :

${\displaystyle \cdots \to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to \cdots .\ }$

Ключевой пример: для каждого объекта B в триангулированной категории D функторы и когомологичны со значениями в категории абелевых групп . ^[15] (Если быть точным, последний является контравариантным функтором , который можно рассматривать как функтор на противоположной категории D . ) То есть точный треугольник определяет две длинные точные последовательности абелевых групп:${\displaystyle \operatorname {Hom} (B,{\text{-}})}$${\displaystyle \operatorname {Hom} ({\text{-}},B)}$${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (B,X[i])\to \operatorname {Hom} (B,Y[i])\to \operatorname {Hom} (B,Z[i])\to \operatorname {Hom} (B,X[i+1])\to \cdots }$

и

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Hom} (Z,B[i])\to \operatorname {Hom} (Y,B[i])\to \operatorname {Hom} (X,B[i])\to \operatorname {Hom} (Z,B[i+1])\to \cdots .}$

Для конкретных триангулированных категорий эти точные последовательности дают многие важные точные последовательности в когомологиях пучков, когомологиях групп и других областях математики.

Можно также использовать обозначение

${\displaystyle \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)=\operatorname {Hom} (B,X[i])}$

для целых чисел i , обобщающий функтор Ext в абелевой категории. В этих обозначениях первая точная последовательность выше будет записана:

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Ext} ^{i}(B,X)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Y)\to \operatorname {Ext} ^{i}(B,Z)\to \operatorname {Ext} ^{i+1}(B,X)\to \cdots .\ }$

Для абелевой категории A другой базовый пример когомологического функтора производной категории D ( A ) переводит комплекс X в объект в A. То есть точный треугольник в D ( A ) определяет длинную точную последовательность в A :${\displaystyle H^{0}(X)}$${\displaystyle X\to Y\to Z\to X[1]}$

${\displaystyle \cdots \to H^{i}(X)\to H^{i}(Y)\to H^{i}(Z)\to H^{i+1}(X)\to \cdots ,}$

используя это .${\displaystyle H^{0}(X[i])\cong H^{i}(X)}$

Точные функторы и эквивалентности

Точный функтор (также называемый триангулированным функтором ) из триангулированной категории D в триангулированную категорию E является аддитивным функтором , который, грубо говоря, коммутирует со сдвигом и переводит точные треугольники в точные треугольники. ^[16]${\displaystyle F\colon D\to E}$

Более подробно, точный функтор имеет естественный изоморфизм (где первый обозначает функтор сдвига D , а второй обозначает функтор сдвига E ), такой, что всякий раз, когда${\displaystyle \eta \colon F\Sigma \to \Sigma F}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$

${\displaystyle X{\xrightarrow {{} \atop u}}Y{\xrightarrow {{} \atop v}}Z{\xrightarrow {{} \atop w}}X[1]}$

— точный треугольник в D ,

${\displaystyle F(X){\xrightarrow {F(u)}}F(Y){\xrightarrow {F(v)}}F(Z){\xrightarrow {\eta _{X}F(w)}}F(X)[1]}$

— точный треугольник в E .

Эквивалентность триангулированных категорий является точным функтором , который также является эквивалентностью категорий . В этом случае существует точный функтор , такой что FG и GF естественным образом изоморфны соответствующим тождественным функторам.${\displaystyle F\colon D\to E}$${\displaystyle G\colon E\to D}$

Компактно сгенерированные триангулированные категории

Пусть D — такая триангулированная категория, что в D существуют прямые суммы , индексированные произвольным множеством (не обязательно конечным) . Объект X в D называется компактным , если функтор коммутирует с прямыми суммами. В явном виде это означает, что для любого семейства объектов в D , индексируемого множеством S , естественный гомоморфизм абелевых групп является изоморфизмом. Это отличается от общего понятия компактного объекта в теории категорий, которое включает все копределы, а не только копроизведения.${\displaystyle {\text{Hom}}_{D}(X,{\text{-}})}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle \oplus _{i\in S}\mathrm {Hom} _{D}(X,Y_{i})\to \mathrm {Hom} _{D}(X,\oplus _{i\in S}Y_{i})}$

Например, компактный объект в стабильной гомотопической категории представляет собой конечный спектр. ^[17] Компактный объект в производной категории кольца или в квазикогерентной производной категории схемы является совершенным комплексом . В случае гладкого проективного многообразия X над полем категорию совершенных комплексов Perf( X ) можно также рассматривать как ограниченную производную категорию когерентных пучков .${\displaystyle h{\cal {S}}}$${\displaystyle D_{\text{coh}}^{\text{b}}(X)}$

Триангулированная категория D компактно порождена , если

• D имеет произвольные (не обязательно конечные) прямые суммы;
• Существует множество S компактных объектов в D , такое что для каждого ненулевого объекта X в D существует объект Y в S с ненулевым отображением для некоторого целого числа n .${\displaystyle Y[n]\to X}$

Многие естественные «большие» триангулированные категории генерируются компактно:

• Производная категория модулей над кольцом R компактно порождается одним объектом, R -модулем R .
• Квазикогерентная производная категория квазикомпактной квазиразделенной схемы компактно порождается одним объектом. ^[18]
• Стабильная гомотопическая категория компактно порождается одним объектом — спектром сферы . ^[19]${\displaystyle S^{0}}$

Амнон Ниман обобщил теорему Брауна о представимости на любую компактно порожденную триангулированную категорию следующим образом. ^[20] Пусть D — компактно порожденная триангулированная категория, когомологический функтор, переводящий копроизведения в произведения. Тогда H представима. (То есть существует объект W из D такой, что для всех X .) Для другой версии пусть D будет компактно порожденной триангулированной категорией, T — любой триангулированной категорией. Если точный функтор переводит копроизведения в копроизведения, то у F есть правый сопряженный .${\displaystyle H\colon D^{\text{op}}\to {\text{Ab}}}$${\displaystyle H(X)\cong {\text{Hom}}(X,W)}$${\displaystyle F\colon D\to T}$

Теорему Брауна о представимости можно использовать для определения различных функторов между триангулированными категориями. В частности, Ниман использовал его для упрощения и обобщения конструкции исключительного функтора обратного образа для морфизма f схем , центральной особенности когерентной теории двойственности. ^[21]${\displaystyle f^{!}}$

т-структуры

Для каждой абелевой категории A производная категория D ( A ) является триангулированной категорией, содержащей A как полную подкатегорию (комплексы, сосредоточенные в нулевой степени). Различные абелевы категории могут иметь эквивалентные производные категории, так что не всегда возможно реконструировать A из D ( A ) как триангулированную категорию.

Александр Бейлинсон , Джозеф Бернстайн и Пьер Делинь описали эту ситуацию понятием t-структуры на триангулированной категории D. ^[22] t-структура на D определяет абелеву категорию внутри D , и разные t-структуры на D могут давать разные абелевы категории.

Локализация и толстые подкатегории

Пусть D — триангулированная категория с произвольными прямыми суммами. Локализующая подкатегория D — это строго полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно произвольных прямых сумм. ^[23] Поясню название: если локализующая подкатегория S компактно порожденной триангулированной категории D порождается набором объектов, то существует функтор локализации Боусфилда с ядром S . ^[24] (То есть для каждого объекта X в D существует точный треугольник с Y в S${\displaystyle L\colon D\to D}$${\displaystyle Y\to X\to LX\to Y[1]}$и LX в правом ортогональном .) Например, эта конструкция включает в себя локализацию спектра на простом числе или ограничение комплекса пучков на пространстве на открытое подмножество.${\displaystyle S^{\perp }}$

Параллельное понятие более актуально для «малых» триангулированных категорий: толстая подкатегория триангулированной категории C — это строго полная триангулированная подкатегория, замкнутая относительно прямых слагаемых. (Если C является идемпотентно-полным , подкатегория является толстой тогда и только тогда, когда она также является идемпотентно-полной.) Локализующая подкатегория является толстой. ^[25] Таким образом, если S является локализующей подкатегорией триангулированной категории D , то пересечение S с подкатегорией компактных объектов является толстой подкатегорией категории .${\displaystyle D^{\text{c}}}$${\displaystyle D^{\text{c}}}$

Например, Девинац- Хопкинс -Смит описал все толстые подкатегории триангулированной категории конечных спектров в терминах К-теории Моравы . ^[26] Локализующие подкатегории всей стабильной гомотопической категории не были классифицированы.

Смотрите также

• Преобразование Фурье – Мукаи
• Шесть операций
• извращенный пучок
• D-модуль
• Локализация Бейлинсона-Бернштейна
• Спектр модуля
• Полуортогональное разложение
• Условие устойчивости Бриджленда

Примечания

использованная литература

Вот некоторые введения в учебники по триангулированным категориям:

• Гельфанд, Сергей; Манин, Юрий (2006), «IV. Триангулированные категории», Методы гомологической алгебры , Математические монографии Springer (2-е изд.), Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-12492-5 , ISBN 978-3540435839, МР  1950475
• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2006), Категории и пучки , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/3-540-27950-4 , ISBN 978-3-540-27949-5, МР  2182076
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. 38 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-55987-4. МР  1269324 . OCLC  36131259 .

Краткое резюме с приложениями:

• Кашивара, Масаки ; Шапира, Пьер (2002), «Глава I. Гомологическая алгебра», Пучки на многообразиях , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-662-02661-8 , ISBN 978-3540518617, МР  1074006

Некоторые более продвинутые ссылки:

• Бейлинсон, АА ; Бернштейн, Дж. ; Делинь, П. (2018) [1982], "Faisceaux pervers" , Asterisque , Société Mathématique de France, Париж, 100 , ISBN 978-2-85629-878-7, МР  0751966
• Даггер, Дэниел; Шипли, Брук (2009), «Любопытный пример триангулированно-эквивалентных категорий моделей, которые не эквивалентны Квиллену», Алгебраическая и геометрическая топология , 9 : 135–166, arXiv : 0710.3070 , doi : 10.2140/agt.2009.9.135 , MR  2482071
• Хартсхорн, Робин (1966), «Глава I. Производная категория», Остатки и двойственность , Конспект лекций по математике 20 , Springer-Verlag , стр. 20–48, doi : 10.1007/BFb0080482 , ISBN 978-3-540-03603-6, МР  0222093
• Краузе, Хеннинг (2010), «Теория локализации для триангулированных категорий», Триангулированные категории , Серия лекций Лондонского математического общества, 375 , Cambridge University Press, стр. 161–235, arXiv : 0806.1324 , doi : 10.1017/CBO9781139107075.005 , MR  2681709
• Ниман, Амнон (1996), «Теорема двойственности Гротендика с помощью методов Боусфилда и представимости Брауна», Журнал Американского математического общества , 9 : 205–236, doi : 10.1090 / S0894-0347-96-00174-9 , MR  1308405
• Ниман, Амнон (2001), Триангулированные категории , Анналы математических исследований, Princeton University Press, doi : 10.1515/9781400837212 , ISBN 978-0691086866, МР  1812507
• Пуппе, Дитер (1962), «О формальной структуре стабильной гомотопической теории», Коллоквиум по алгебраической топологии , Математический институт Орхусского университета, стр. 65–71, Zbl  0139.41106
• Пуппе, Дитер (1967), «Stabile Homotopietheorie. I.», Mathematische Annalen , 169 : 243–274, doi : 10.1007/BF01362348 , MR  0211400
• Равенел, Дуглас (1992), Нильпотентность и периодичность в стабильной гомотопической теории , Princeton University Press, ISBN 9780691025728, МР  1192553
• Рицзардо, Алиса; Ван ден Берг, Мишель ; Ниман, Амнон (2019), «Пример функтора, отличного от Фурье-Мукаи, между производными категориями когерентных пучков», Inventiones Mathematicae , 216 : 927–1004, arXiv : 1410.4039 , doi : 10.1007/s00222-019-00862-9 , МР  3955712
• Тоен, Бертран (2007), «Гомотопическая теория dg-категорий и производная теория Мориты», Inventiones Mathematicae , 167 : 615–667, arXiv : math/0408337 , doi : 10.1007/s00222-006-0025-y , MR  2276263
• Вердье, Жан-Луи (1977) [1963], «Categories dérivées: quelques résultats (état 0)», Cohomologie étale (SGA 4 1/2) (PDF) , Lecture Notes in Mathematics, 569 , Springer, стр. 262– 311, дои : 10.1007/BFb0091525 , ISBN 978-3-540-08066-4, МР  3727440
• Вердье, Жан-Луи (1996) [1967], Des derivées des abéliennes категорий , Asterisque, 239 , Société Mathématique de France, MR  1453167

внешняя ссылка

• Дж. Питер Мэй , Аксиомы триангулированных категорий.
• Авторы проекта Stacks, The Stacks Project