Цепной комплекс

В математике цепной комплекс — это алгебраическая структура , состоящая из последовательности абелевых групп (или модулей ) и последовательности гомоморфизмов между последовательными группами, так что образ каждого гомоморфизма входит в ядро следующего. С цепным комплексом связана его гомология , которая описывает, как образы включаются в ядра.

Коцепной комплекс похож на цепной комплекс, за исключением того, что его гомоморфизмы имеют противоположное направление. Гомологии коцепного комплекса называются его когомологиями .

В алгебраической топологии сингулярный цепной комплекс топологического пространства X строится с использованием непрерывных карт из симплекса в X, а гомоморфизмы цепного комплекса фиксируют, как эти карты ограничиваются границей симплекса. Гомологии этого цепного комплекса называются сингулярными гомологиями X и являются обычно используемым инвариантом топологического пространства.

Цепные комплексы изучаются в гомологической алгебре , но используются в нескольких областях математики, включая абстрактную алгебру , теорию Галуа , дифференциальную геометрию и алгебраическую геометрию . Их можно определить в более общем виде в абелевых категориях .

Определения

Цепной комплекс — это последовательность абелевых групп или модулей ..., A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ , A 4 , ..., связанных гомоморфизмами (называемыми граничными операторами или дифференциалами ) d _n  : _{An →} A _{n − 1} , такое что композиция любых двух последовательных карт является нулевой картой. В явном виде дифференциалы удовлетворяют d _n ∘ d _{n +1} = 0 или с подавленными индексами,${\ Displaystyle (А _ {\ пуля}, д _ {\ пуля})}$д ² = 0 . Комплекс можно записать следующим образом.

${\ displaystyle \ cdots {\ xleftarrow {d_ {0}}} A_ {0} {\ xleftarrow {d_ {1}}} A_ {1} {\ xleftarrow {d_ {2}}} A_ {2} {\ xleftarrow {d_{3}}}A_{3}{\xleftarrow {d_{4}}}A_{4}{\xleftarrow {d_{5}}}\cdots }$

Коцепной комплекс - это двойственное понятие цепного комплекса. Он состоит из последовательности абелевых групп или модулей ..., A ⁰ , A ¹ , A ² , A ³ , A ⁴ , ..., связанных гомоморфизмами d ⁿ  : An → An ^{+1 ,} удовлетворяющими ^{условию} d ^{n +1} ∘ d ^п знак равно 0 . Коцепной комплекс может быть записан аналогично цепному комплексу.${\displaystyle (A^{\bullet },d^{\bullet })}$

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {d^{-1}}}A^{0}{\xrightarrow {d^{0}}}A^{1}{\xrightarrow {d^{1}}}A^{2}{\xrightarrow {d^{2}}}A^{3}{\xrightarrow {d^{3}}}A^{4}{\xrightarrow {d^{4}}}\cdots }$

Индекс n либо в An, либо в An _{называется} ^{степенью} ( или размерностью ). Разница между цепными и коцепными комплексами заключается в том, что в цепных комплексах дифференциалы уменьшают размерность, тогда как в коцепных комплексах они увеличивают размерность. Все концепции и определения цепных комплексов применимы к коцепным комплексам, за исключением того, что они будут следовать этому другому соглашению по размерности, и часто терминам будет даваться префикс со- . В этой статье будут даны определения для цепных комплексов, когда различие не требуется.

Ограниченный цепной комплекс — это комплекс , в котором почти все An _равны 0; то есть конечный комплекс, расширенный влево и вправо на 0. Примером может служить цепной комплекс, определяющий симплициальные гомологии конечного симплициального комплекса . Цепной комплекс ограничен сверху , если все модули выше некоторой фиксированной степени N равны 0, и ограничен снизу , если все модули ниже некоторой фиксированной степени равны 0. Ясно, что комплекс ограничен как сверху, так и снизу тогда и только тогда, когда комплекс ограничен.

Элементы отдельных групп (ко)цепного комплекса называются (ко)цепями . Элементы ядра d называются (ко)циклами (или замкнутыми элементами), а элементы образа d называются (ко)границами (или точными элементами). Прямо из определения дифференциала все границы являются циклами. n - ^я группа (ко)гомологий Hn ( Hn ) — это группа (ко)циклов по модулю (ко)границ степени _n , т . е.

${\displaystyle H_{n}=\ker d_{n}/{\mbox{im }}d_{n+1}\quad \left(H^{n}=\ker d^{n}/{\mbox{im }}d^{n-1}\right)}$

Точные последовательности

Точная последовательность (или точный комплекс) — это цепной комплекс, все группы гомологии которого равны нулю. Это означает, что все замкнутые элементы в комплексе точны. Короткая точная последовательность — это ограниченная точная последовательность , в которой только группы Ak , _{Ak + 1} , Ak _{+ 2} могут быть ненулевыми. Например, следующий цепной комплекс представляет собой короткую точную последовательность.

${\displaystyle \cdots {\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\;\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {\times p}}\;\mathbf {Z} \twoheadrightarrow \mathbf {Z} /p\mathbf {Z} \;{\xrightarrow {}}\;0\;{\xrightarrow {}}\cdots }$

В средней группе замкнутыми элементами являются элементы p Z ; это явно точные элементы в этой группе.

Цепные карты

Цепное отображение f между двумя цепными комплексами и представляет собой последовательность гомоморфизмов для каждого n , которая коммутирует с граничными операторами на двух цепных комплексах, поэтому . Это записано в следующей коммутативной диаграмме .${\displaystyle (A_{\bullet },d_{A,\bullet })}$${\displaystyle (B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\rightarrow B_{n}}$${\displaystyle d_{B,n}\circ f_{n}=f_{n-1}\circ d_{A,n}}$

Цепная карта переводит циклы в циклы и границы в границы и, таким образом, индуцирует карту гомологии .${\displaystyle (f_{\bullet })_{*}:H_{\bullet }(A_{\bullet },d_{A,\bullet })\rightarrow H_{\bullet }(B_{\bullet },d_{B,\bullet })}$

Непрерывное отображение f между топологическими пространствами X и Y индуцирует цепное отображение между сингулярными цепными комплексами X и Y и, следовательно, также индуцирует отображение f _* между сингулярными гомологиями X и Y. Когда X и Y оба равны n - сфере , отображение, индуцированное гомологиями, определяет степень отображения f .

Понятие цепной карты сводится к понятию границы посредством построения конуса цепной карты.

Цепная гомотопия

Гомотопия цепи предлагает способ связать две карты цепи, которые индуцируют одну и ту же карту в группах гомологии, даже если карты могут быть разными. Для заданных двух цепных комплексов A и B и двух цепных отображений f , g  : A → B цепная гомотопия представляет собой последовательность гомоморфизмов h _n  : _An → B _{n +1} такая, что hd _A + d B _h = f − g . Карты могут быть записаны на диаграмме следующим образом, но эта диаграмма не коммутативна.

Легко проверить, что отображение hd _A + d _B h индуцирует нулевое отображение на гомологиях для любого h . Отсюда сразу следует, что f и g индуцируют одно и то же отображение на гомологиях. Говорят, что f и g гомотопны по цепям (или просто гомотопны ), и это свойство определяет отношение эквивалентности между цепными отображениями.

Пусть X и Y — топологические пространства. В случае сингулярных гомологии гомотопия между непрерывными отображениями f , g  : X → Y индуцирует цепную гомотопию между цепными отображениями, соответствующими f и g . Это показывает, что два гомотопических отображения индуцируют одно и то же отображение на сингулярных гомологиях. Название «цепная гомотопия» мотивировано этим примером.

Примеры

Сингулярные гомологии

Пусть X — топологическое пространство. Определим C _n ( X ) для натурального n как свободную абелеву группу , формально порожденную сингулярными n-симплексами в X , и определим граничное отображение как${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}(X)\to C_{n-1}(X)}$

${\displaystyle \partial _{n}:\,(\sigma :[v_{0},\ldots ,v_{n}]\to X)\mapsto (\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\sigma :[v_{0},\ldots ,{\hat {v}}_{i},\ldots ,v_{n}]\to X)}$

где шляпа означает пропуск вершины . То есть граница особого симплекса есть альтернированная сумма ограничений на его грани. Можно показать, что ∂ ² = 0, так что это цепной комплекс; сингулярные гомологии — это гомологии этого комплекса.${\displaystyle (C_{\bullet },\partial _{\bullet })}$ ${\displaystyle H_{\bullet }(X)}$

Сингулярные гомологии — полезный инвариант топологических пространств с точностью до гомотопической эквивалентности . Группа гомологий нулевой степени — это свободная абелева группа на путевых компонентах X .

когомологии де Рама

Дифференциальные k -формы на любом гладком многообразии M образуют вещественное векторное пространство, называемое Ωk ( M ⁾ при сложении . Внешняя производная d отображает Ω ^k ( M ) в Ω ^{k +1} ( M ), а d ² = 0 следует по существу из симметрии вторых производных , поэтому векторные пространства k -форм вместе с внешней производной представляют собой коцепной комплекс.

${\displaystyle \Omega ^{0}(M)\ {\stackrel {d}{\to }}\ \Omega ^{1}(M)\to \Omega ^{2}(M)\to \Omega ^{3}(M)\to \cdots }$

Когомологии этого комплекса называются когомологиями де Рама X . Группа гомологий в нулевой размерности изоморфна векторному пространству локально постоянных функций из M в R . Таким образом, для компактного многообразия это действительное векторное пространство, размерность которого равна количеству компонент связности M .

Гладкие отображения между многообразиями индуцируют цепные отображения, а гладкие гомотопии между отображениями индуцируют цепные гомотопии.

Категория сетевых комплексов

Цепные комплексы K -модулей с цепными отображениями образуют категорию Ch _K , где K — коммутативное кольцо.

Если V = V и W = W являются цепными комплексами, их тензорное произведение является цепным комплексом с элементами степени n , определяемыми формулой${\displaystyle {}_{*}}$${\displaystyle {}_{*}}$ ${\displaystyle V\otimes W}$

${\displaystyle (V\otimes W)_{n}=\bigoplus _{\{i,j|i+j=n\}}V_{i}\otimes W_{j}}$

и дифференциал, заданный

${\displaystyle \partial (a\otimes b)=\partial a\otimes b+(-1)^{\left|a\right|}a\otimes \partial b}$

где a и b — любые два однородных вектора в V и W соответственно, и обозначает степень a .${\displaystyle \left|a\right|}$

Это тензорное произведение превращает категорию Ch _K в симметричную моноидальную категорию . Объектом идентичности по отношению к этому моноидальному произведению является базовое кольцо K , рассматриваемое как цепной комплекс степени 0. Сплетение задается на простых тензорах однородных элементов выражением

${\displaystyle a\otimes b\mapsto (-1)^{\left|a\right|\left|b\right|}b\otimes a}$

Знак необходим для того, чтобы плетение было цепной картой.

Кроме того, категория цепных комплексов K -модулей также имеет внутренний Hom : для заданных цепных комплексов V и W внутренний Hom V и W , обозначаемый Hom( V , W ), является цепным комплексом с элементами степени n , заданными и дифференциал, заданный${\displaystyle \Pi _{i}{\text{Hom}}_{K}(V_{i},W_{i+n})}$

${\displaystyle (\partial f)(v)=\partial (f(v))-(-1)^{\left|f\right|}f(\partial (v))}$.

Имеем естественный изоморфизм

${\displaystyle {\text{Hom}}(A\otimes B,C)\cong {\text{Hom}}(A,{\text{Hom}}(B,C))}$

Дополнительные примеры

• Комплекс Амицур
• Комплекс, используемый для определения высших групп Чжоу Блоха.
• Комплекс Буксбаум-Рим
• Чех комплекс
• Кузен комплекс
• Комплекс Игон-Норткотт
• Комплекс Герстена
• Графический комплекс ^[1]
• Кошул комплекс
• Комплекс Мура
• комплекс Шур

Смотрите также

• Дифференциальная градуированная алгебра
• Дифференциально градуированная алгебра Ли
• Соответствие Дольда-Кана говорит, что существует эквивалентность между категорией цепных комплексов и категорией симплициальных абелевых групп .
• Критерий ацикличности Буксбаума – Эйзенбуда
• Дифференциальный модуль

использованная литература

• Ботт, Рауль ; Ту, Лоринг В. (1982), Дифференциальные формы в алгебраической топологии , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90613-3
• Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79540-0.