В математике ряды Гумберта представляют собой набор из семи гипергеометрических рядов Φ 1 , Φ 2 , Φ 3 , Ψ 1 , Ψ 2 , Ξ 1 , Ξ 2 двух переменных, которые обобщают конфлюэнтный гипергеометрический ряд Куммера 1 F 1 одной переменной и конфлюэнтного гипергеометрическая предельная функция 0 F 1 одной переменной. Первая из этих двойных серий была представлена Пьером Эмбером ( 1920 ).
Ряд Гумберта Φ 1 определен при | х | <1 двойной серией:
где символ Поххаммера ( q ) n представляет возрастающий факториал:
где второе равенство верно для всех сложных Кроме .
Для других значений x функция Φ 1 может быть определена аналитическим продолжением .
Ряд Гумберта Φ 1 также можно записать в виде одномерного интеграла типа Эйлера :
Это представление можно проверить с помощью разложения подынтегрального выражения Тейлора с последующим почленным интегрированием.
Аналогично функция Φ 2 определяется для всех x , y рядом:
функцию Φ 3 для всех x , y рядом:
функция Ψ 1 при | х | <1 по серии:
функцию Ψ 2 для всех x , y рядом:
функция Ξ 1 при | х | <1 по серии:
и функция Ξ 2 при | х | <1 по серии: