В механике жидкости , гидростатического равновесия или гидростатического равновесия (также известный как hydrostasy ) [1] [2] является условием жидкости или пластмассы твердого вещества в состоянии покоя. Это происходит , когда внешние силы , такие как силы тяжести [ править ] уравновешиваются давлением градиента силы . [3] Например, сила градиента давления не позволяет гравитации сжать атмосферу Земли в тонкую плотную оболочку, в то время как гравитация не позволяет силе градиента давления распространять атмосферу в космос.
Гидростатическое равновесие является отличительным критерием между карликовыми планетами и небольшими телами Солнечной системы и играет другие роли в астрофизике и планетной геологии . Эта квалификация означает, что объект симметрично округлен до эллипсоидной формы, где любые неровности поверхности обусловлены относительно тонкой твердой коркой . Помимо Солнца, существует около дюжины равновесных объектов, существование которых подтверждено в Солнечной системе , и возможны другие.
Математическое рассмотрение
Для гидростатической жидкости на Земле:
Вывод из суммирования сил
Законы движения Ньютона гласят, что объем жидкости, который не движется или находится в состоянии постоянной скорости, должен иметь нулевую результирующую силу. Это означает, что сумме сил в данном направлении должна противостоять равная сумма сил в противоположном направлении. Этот баланс сил называется гидростатическим равновесием.
Жидкость может быть разделена на большое количество кубовидных объемных элементов; рассматривая один элемент, можно определить действие жидкости.
Есть 3 силы: сила, направленная вниз на вершину кубоида от давления P жидкости над ним, согласно определению давления ,
Точно так же сила, действующая на элемент объема от давления жидкости внизу, толкающей вверх, равна
Наконец, вес объемного элемента вызывает силу, направленную вниз. Если плотность равна ρ, объем равен V и g - стандартная сила тяжести , тогда:
Объем этого кубоида равен площади верха или низа, умноженной на высоту - формула для определения объема куба.
Уравновешивая эти силы, общая сила, действующая на жидкость, равна
Эта сумма равна нулю, если скорость жидкости постоянна. Разделив на A,
Или же,
P top - P bottom - это изменение давления, а h - высота элемента объема - изменение расстояния над землей. Сказав, что эти изменения бесконечно малы, уравнение можно записать в дифференциальной форме.
Плотность изменяется с давлением, а сила тяжести изменяется с высотой, поэтому уравнение будет выглядеть следующим образом:
Заметим, наконец, что это последнее уравнение может быть получено путем решения трехмерных уравнений Навье – Стокса для ситуации равновесия, когда
Тогда единственное нетривиальное уравнение - это -уравнение, которое теперь читается как
Таким образом, гидростатический баланс можно рассматривать как особенно простое равновесное решение уравнений Навье – Стокса.
Вывод из общей теории относительности
Подставляя тензор энергии-импульса для идеальной жидкости
и используя условие сохранения
можно вывести уравнение Толмена – Оппенгеймера – Волкова для структуры статической сферически-симметричной релятивистской звезды в изотропных координатах:
На практике Ρ и ρ связаны уравнением состояния вида F ( Ρ , р ) = 0, с ф специфичного для макияжа звезды. M ( r ) - слоение сфер, взвешенных по плотности массы ρ ( r ), причем наибольшая сфера имеет радиус r :
Согласно стандартной процедуре перехода к нерелятивистскому пределу, мы полагаем c → ∞, так что множитель
Следовательно, в нерелятивистском пределе уравнение Толмана – Оппенгеймера – Волкова сводится к гидростатическому равновесию Ньютона:
(мы сделали тривиальную замену обозначений h = r и использовали f ( Ρ , ρ ) = 0, чтобы выразить ρ через P ). [4] Аналогичное уравнение может быть вычислено для вращающихся аксиально-симметричных звезд, которое в его независимой от калибровки форме гласит:
В отличие от уравнения равновесия TOV, это два уравнения (например, если, как обычно, при рассмотрении звезд, в качестве базисных координат выбираются сферические координаты , индекс i работает для координат r и).
Приложения
Жидкости
Гидростатическое равновесие относится к гидростатике и принципы равновесия в жидкостях . Гидростатические весы - это особые весы для взвешивания веществ в воде. Гидростатический баланс позволяет открытие их удельные . Это равновесие строго применимо, когда идеальная жидкость находится в устойчивом горизонтальном ламинарном потоке, и когда любая жидкость находится в состоянии покоя или в вертикальном движении с постоянной скоростью. Это также может быть удовлетворительным приближением, когда скорости потока достаточно низки, и ускорение незначительно.
Астрофизика
В любом данном слое звезды существует гидростатическое равновесие между внешним тепловым давлением снизу и весом материала, находящегося наверху, прижимающегося внутрь. Изотропным гравитационное поле сжимает звезду в наиболее компактной форме возможно. Вращающаяся звезда в гидростатическом равновесии представляет собой сплюснутый сфероид до определенной (критической) угловой скорости. Ярким примером этого явления является звезда Вега , период вращения которой составляет 12,5 часов. Следовательно, Вега примерно на 20% больше на экваторе, чем на полюсах. Звезда с угловой скоростью, превышающей критическую угловую скорость, становится эллипсоидом Якоби (разностным) , и при еще более быстром вращении она больше не эллипсоидальная, а грушевидная или яйцевидная , с другими формами, кроме этого, хотя формы за пределами лестницы нестабильны. [5]
Если у звезды есть массивный соседний объект-компаньон, тогда в игру вступают и приливные силы , искажающие звезду в разностороннюю форму, когда одно только вращение сделало бы ее сфероидом. Примером этого является Beta Lyrae .
Гидростатическое равновесие также важно для среды внутри скопления , поскольку оно ограничивает количество жидкости, которая может присутствовать в ядре скопления галактик .
Мы также можем использовать принцип гидростатического равновесия для оценки дисперсии скоростей в темной материи в скоплениях галактик. Рентгеновское излучение испускает только барионная материя (а точнее, ее столкновения) . Абсолютная светимость рентгеновского излучения на единицу объема имеет вид где а также - температура и плотность барионной материи, а является некоторой функцией температуры и фундаментальных констант. Барионная плотность удовлетворяет приведенному выше уравнению:
Интеграл - это мера полной массы кластера с правильное расстояние до центра кластера. Используя закон идеального газа (является постоянной Больцмана и - характерная масса частиц барионного газа) и переставляя, получаем
Умножение на и дифференцируя по дает
Если мы сделаем предположение, что частицы холодной темной материи имеют изотропное распределение скоростей, то тот же вывод применим к этим частицам, и их плотность удовлетворяет нелинейному дифференциальному уравнению
Имея точные рентгеновские данные и данные о расстоянии, мы могли бы вычислить плотность барионов в каждой точке скопления и, следовательно, плотность темной материи. Тогда мы могли бы вычислить дисперсию скоростей темной материи, которая задается
Соотношение центральной плотности зависит от красного смещения кластера и определяется выражением
где - угловая ширина кластера и правильное расстояние до кластера. Значения коэффициента варьируются от 0,11 до 0,14 для различных съемок. [6]
Планетарная геология
Концепция гидростатического равновесия также стала важной при определении того, является ли астрономический объект планетой , карликовой планетой или небольшим телом Солнечной системы . Согласно определению планеты, принятому Международным астрономическим союзом в 2006 году, одной из определяющих характеристик планет и карликовых планет является то, что они являются объектами, обладающими достаточной гравитацией, чтобы преодолеть свою жесткость и принять гидростатическое равновесие. Такое тело часто будет иметь дифференцированный интерьер и геологию мира ( планемо ), хотя почти гидростатические или ранее гидростатические тела, такие как протопланета 4 Веста, также могут быть дифференцированы, а некоторые гидростатические тела (особенно Каллисто ) не полностью дифференцированы с момента их образования. Часто равновесная форма представляет собой сплюснутый сфероид , как в случае с Землей. Однако в случаях, когда спутники движутся по синхронной орбите, почти однонаправленные приливные силы создают разносторонний эллипсоид . Кроме того, предполагаемая карликовая планета Хаумеа является разносторонней из-за своего быстрого вращения, хотя в настоящее время она может не находиться в равновесии.
Ранее считалось, что ледяным объектам для достижения гидростатического равновесия требуется меньшая масса, чем каменным объектам. Самый маленький объект, имеющий равновесную форму, - это ледяной спутник Мимас на расстоянии 396 км, в то время как самый крупный объект, имеющий явно неравновесную форму, - это скалистый астероид Юнона на высоте 247 км (320 × 267 × 200 км). Однако Mimas фактически не находится в гидростатическом равновесии для своего текущего вращения. Самым маленьким телом, находящимся в гидростатическом равновесии , является ледяная карликовая планета Церера на высоте 945 км, в то время как самое крупное тело, которое, как известно, имеет заметное отклонение от гидростатического равновесия, - Япет (луна) , состоящее в основном из проницаемого льда и почти нет рок. [7] На высоте 1 469 км Луна не является ни сферической, ни эллипсоидной. Вместо этого он имеет довольно странную форму, напоминающую орех из-за своего уникального экваториального гребня. [8] Таким образом, Япет - самый большой объект, не находящийся в гидростатическом равновесии, несмотря на его размер. Некоторые ледяные тела могут находиться в равновесии, по крайней мере частично, из-за подземного океана, что не является определением равновесия, используемым МАС (гравитация, преодолевая внутренние силы твердого тела).
Твердые тела имеют неровные поверхности, но локальные неровности могут соответствовать глобальному равновесию. Например, массивное основание самой высокой горы на Земле, Мауна-Кеа , деформировало и понизило уровень окружающей коры, так что общее распределение массы приближается к равновесию.
Атмосферное моделирование
В атмосфере давление воздуха уменьшается с увеличением высоты. Эта разница давлений вызывает восходящую силу, называемую силой градиента давления . Сила тяжести уравновешивает это, удерживая атмосферу связанной с Землей и поддерживая разницу в давлении с высотой.
Смотрите также
- Список объектов Солнечной системы в гидростатическом равновесии
- Статика
- Двухбаллонный эксперимент
Заметки
- ^ [1]
- ^ [2]
- ^ Белый (2008). 63, 66.
- Перейти ↑ Zee, A. (2013). В двух словах о гравитации Эйнштейна . Принстон: Издательство Принстонского университета. С. 451–454. ISBN 9780691145587.
- ^ «Галерея: Форма планеты Земля» . Josleys.com . Проверено 15 июня 2014 .
- ^ Вайнберг, Стивен (2008). Космология . Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 70–71. ISBN 978-0-19-852682-7.
- ^ http://www.ciclops.org/media/sp/2011/6794_16344_0.pdf
- ^ Castillo-Rogez, JC; Matson, DL; Сотин, Ц .; Джонсон, ТВ; Lunine, JI; Томас, ПК (2007). «Геофизика Япета: скорость вращения, форма и экваториальный гребень». Икар . 190 (1): 179–202. Bibcode : 2007Icar..190..179C . DOI : 10.1016 / j.icarus.2007.02.018 .
Рекомендации
- Белый, Фрэнк М. (2008). «Распределение давления в жидкости». Механика жидкости . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 63–107. ISBN 978-0-07-128645-9.
Внешние ссылки
- Штробель, Ник. (Май 2001 г.). Астрономические заметки Ника Штробеля.
- Демонстрация на YouTube профессора Ричарда Погге, Государственный университет Огайо, факультет астрономии