В математике , верхний набор (также называется вверх замкнутое множество , в расстройстве , или изотонное множество в X [1] ) из частично упорядоченного множества ( X , ≤) представляет собой подмножество S ⊆ X со следующим свойством: если х находится в s , и если х в X больше , чем с (то есть , если с ≤ х ), то х находится в s . На словах это означает, что любой элемент x изХ , который является ≥ к некоторому элементу из S обязательно также элемент S . Термин низший набор (также называемый вниз замкнутое множество , вниз набор , уменьшая набор , начальный сегмент , или полуидеальным ) определяется аналогично как подмножество S из X со свойством , что любой элемент х из X , который ≤ некоторым элемент S обязательно также элемент S .
Определение
Позволять быть предварительно заказанным набором и пустьВерхний набор , называемый также вверх замкнутую систему , в расстройство , или изотонный набор , в[1] из предупорядоченного набора это подмножество так что если и если удовлетворяет тогда Это, удовлетворяет:
- для всех и все если тогда
Двойное понятие является ниже , множество (также называется вниз замкнутое множество , вниз набор , уменьшая набор , начальный сегмент , или полуидеальным ), который является подмножеством так что если и если удовлетворяет тогда Это, удовлетворяет:
- для всех и все если тогда
Термины « идеальный порядок» или « идеальный» иногда используются как синонимы для нижнего набора. [2] [3] [4] Этот выбор терминологии не отражает понятие идеала решетки, потому что нижний набор решетки не обязательно является подрешеткой. [2]
Характеристики
- Каждый частично упорядоченный набор сам по себе является верхним набором.
- Пересечение и объединение верхних множеств снова верхний набор.
- Дополнение любого верхнего набора является нижним набором, и наоборот.
- Для частично упорядоченного множества ( X , ≤) семейство верхних множеств X, упорядоченных с помощью отношения включения, является полной решеткой , решеткой верхнего множества .
- Для произвольного подмножества Y частично упорядоченного множества X наименьшее верхнее множество, содержащее Y , обозначается стрелкой вверх как ↑ Y (см. Верхнее замыкание и нижнее замыкание ).
- Двойственно, наименьшее множество , содержащее нижний Y обозначается с помощью стрелки вниз , как ↓ Y .
- Более низкий набор называется главным , если она имеет вид ↓ { х } , где х представляет собой элемент X .
- Каждый нижний набор Y конечного частично упорядоченное множество Х равно наименьшему нижний набор , содержащий все максимальные элементы из Y : Y = ↓ Max ( Y ) , где Макс ( Y ) обозначает набор , содержащий максимальные элементы Y .
- Направлено ниже , множество называется порядковым идеалом .
- Эти минимальные элементы любого верхнего множества образуют антицепь .
- Наоборот, любая антицепь A определяет верхнее множество { x : x ≥ y для некоторого y в A }. Для частичных порядков, удовлетворяющих условию нисходящей цепи, это соответствие между антицепями и верхними множествами равно 1-1, но для более общих частичных порядков это неверно.
Верхнее закрытие и нижнее закрытие
Учитывая элемент частично упорядоченного набора мы определяем верхнюю крышку или вверх замыкание в обозначается или же определяется:
в то время как нижний закрытия или вниз закрытия из х , обозначается или же определяется:
Наборы а также являются соответственно наименьшими верхними и нижними множествами, содержащими как элемент. В более общем плане, учитывая подмножествоопределяют верхний / вверх закрытия и нижние / нисходящие затворы из A , обозначаемых а также соответственно, как
- а также
Таким образом, ↑ x = ↑ { x } и ↓ x = ↓ { x }, где верхние и нижние множества этого вида называются главными . Верхние крышки и нижние крышки набора являются, соответственно, наименьшим верхним набором и нижним набором, содержащим его.
Верхнее и нижнее замыкания, если рассматривать их как функцию от множества степеней X к самому себе, являются примерами операторов замыкания, поскольку они удовлетворяют всем аксиомам замыкания Куратовского . В результате верхнее замыкание набора равно пересечению всех верхних наборов, содержащих его, и аналогично для нижних наборов. В самом деле, это общий феномен операторов замыкания. Например, топологическое замыкание множества - это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих его; оболочка из набора векторов есть пересечение всех подпространств , содержащих его; подгруппа , порожденная подмножеством из в группе является пересечением всех подгрупп , содержащих его; идеал , порожденный подмножество кольца является пересечением всех идеалов , содержащих его; и так далее.
Также можно говорить о строгом закрытии элемента сверху.определяется как { y ∈ X : x < y }, и, в более общем смысле, строгое замыкание сверху подмножествакоторое определяется как объединение строгих верхних замыканий его элементов, и мы можем сделать аналогичные определения для строгих нижних замыканий. Однако обратите внимание, что эти «замыкания» на самом деле не являются операторами замыкания, поскольку, например, строгое закрытие сверху одноэлементного набора { x } не содержит { x }.
Порядковые номера
Порядковый номер , как правило , отождествляется с множеством всех меньших порядковых чисел. Таким образом, каждое порядковое число образует нижний набор в классе всех порядковых чисел, которые полностью упорядочены по включению множества.
Смотрите также
- Окончательный набор - подмножество U частично упорядоченного множества ( X , ≤), которое содержит для каждого элементанекоторый элемент y такой, что
Рекомендации
- ^ a b Dolecki & Mynard 2016 , стр. 27–29.
- ^ а б Брайан А. Дэйви; Хилари Энн Пристли (2002). Введение в решетки и порядок (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета . стр. 20, 44. ISBN 0-521-78451-4. LCCN 2001043910 .
- ^ Стэнли, Р.П. (2002). Перечислительная комбинаторика . Кембриджские исследования в области высшей математики. 1 . Издательство Кембриджского университета. п. 100. ISBN 978-0-521-66351-9.
- ^ Лоусон, М.В. (1998). Обратные полугруппы: теория частичных симметрий . World Scientific. п. 22 . ISBN 978-981-02-3316-7.
- Бланк, Дж. (2000). «Доменные представления топологических пространств» (PDF) . Теоретическая информатика . 247 (1–2): 229–255. DOI : 10.1016 / s0304-3975 (99) 00045-6 .
- Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Хоффман, К. Х. (2001), Аксиомы низкого разделения (T 0 ) и (T 1 )