Текущий (математика)

---

В математике , в частности в функциональном анализе , дифференциальной топологии и геометрической теории меры , k - поток в смысле Жоржа де Рама есть функционал на пространстве дифференциальных k - форм с компактным носителем на гладком многообразии M. Формально токи ведут себя как распределения Шварца в пространстве дифференциальных форм, но в геометрической постановке они могут представлять собой интегрирование по подмногообразию, обобщая дельта-функцию Дирака , или, в более общем смысле, даже производные по направлениям дельта-функций ( мультиполей ), разбросанные по подмножествам M.

Обозначим через пространство гладких m - форм с компактным носителем на гладком многообразии . Поток есть линейный функционал, на котором непрерывен в смысле распределений . Таким образом, линейный функционал${\ Displaystyle \ Омега _ {с} ^ {м} (М)}$ ${\ Displaystyle М.}$${\ Displaystyle \ Омега _ {с} ^ {м} (М)}$

Пространство m -мерных токов на является вещественным векторным пространством с операциями, определяемыми${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {м} (М)}$${\ Displaystyle М}$

Большая часть теории распределений переносится на токи с минимальными корректировками. Например, можно определить носитель тока как дополнение к наибольшему открытому множеству , такое что${\ Displaystyle Т \ в {\ mathcal {D}} _ {м} (М)}$ ${\ Displaystyle U \ подмножество M}$

Линейное подпространство , состоящее из токов с носителем (в указанном выше смысле), являющееся компактным подмножеством в , обозначается${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {м} (М)}$${\ Displaystyle М}$${\ displaystyle {\ mathcal {E}} _ {m} (M).}$

Интегрирование по компактному спрямляемому ориентированному подмногообразию M ( с краем ) размерности m определяет m -ток, обозначаемый :${\ Displaystyle [[М]]}$

---