Ионно-акустическая волна

В физике плазмы , ионная акустическая волна является одним типа продольного колебания ионов и электронов в плазме , так же, как акустические волны , распространяющихся в нейтральном газе. Однако, поскольку волны распространяются через положительно заряженные ионы, ионно-звуковые волны могут взаимодействовать со своими электромагнитными полями , а также при простых столкновениях. В плазме ионно-звуковые волны часто называют акустическими волнами или даже просто звуковыми волнами. Обычно они управляют эволюцией плотности массы, например, из-за градиентов давления., на шкалах времени больше, чем частота, соответствующая соответствующему масштабу длины. Ионно-акустические волны могут возникать в немагниченной плазме или в намагниченной плазме, параллельной магнитному полю . Для плазмы с одним типом ионов и в длинноволновом пределе волны бездисперсные ( ) со скоростью, определяемой (см. Вывод ниже)${\ displaystyle \ omega = v_ {s} k}$

${\ displaystyle v_ {s} = {\ sqrt {\ frac {\ gamma _ {e} ZK_ {B} T_ {e} + \ gamma _ {i} K_ {B} T_ {i}} {M}}} }$

где - постоянная Больцмана , - масса иона, - его заряд, - температура электронов и - температура ионов. Обычно γ _e принимается равным единице на том основании, что теплопроводность электронов достаточно велика, чтобы сохранять их изотермичность в масштабе времени ионно-звуковых волн, а γ _i принимается равным 3, что соответствует одномерному движению. В бесстолкновительной плазме электроны часто намного горячее, чем ионы, и в этом случае вторым членом в числителе можно пренебречь.${\ displaystyle K_ {B}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Z}$${\ displaystyle T_ {e}}$${\ displaystyle T_ {i}}$

Вывод [ править ]

Мы выводим уравнение дисперсии ионно-звуковых волн для линеаризованного жидкостного описания плазмы с электронами и ионами. Мы записываем каждую величину так, где нижний индекс 0 обозначает постоянное равновесное значение «нулевого порядка», а 1 обозначает возмущение первого порядка. является параметром порядка для линеаризации и имеет физическое значение 1. Для линеаризации мы балансируем все члены в каждом уравнении одного порядка в . Все термины, содержащие только количества с индексом 0, являются порядковыми и должны быть сбалансированы, а термины с количеством с одним индексом 1 - это порядок и баланс. Мы рассматриваем электрическое поле как порядок 1 ( ) и пренебрегаем магнитными полями, ${\ textstyle N}$${\ Displaystyle X = X_ {0} + \ delta \ cdot X_ {1}}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta ^ {0}}$${\ displaystyle \ delta ^ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {E}} _ {0} = 0}$

Каждый вид описывается массой , зарядом , числовой плотностью , скоростью потока и давлением . Мы предполагаем, что возмущения давления для каждого вида являются политропным процессом , а именно для видов . Чтобы обосновать это предположение и определить значение , необходимо использовать кинетическую трактовку, которая решает функции распределения частиц в пространстве скоростей. Допущение политропии по существу заменяет уравнение энергии.${\ displaystyle s}$${\ displaystyle m_ {s}}$${\ displaystyle q_ {s} = Z_ {s} e}$${\ displaystyle n_ {s}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} _ {s}}$${\ displaystyle p_ {s}}$${\ displaystyle p_ {s1} = \ gamma _ {s} T_ {s0} n_ {s1}}$${\ displaystyle s}$${\displaystyle \gamma _{s}}$

Каждый вид удовлетворяет уравнению неразрывности

$${\displaystyle \partial _{t}n_{s}+\nabla \cdot (n_{s}{\vec {u}}_{s})=0}$$

${\displaystyle \partial _{t}{\vec {u}}_{s}+{\vec {u}}_{s}\cdot \nabla {\vec {u}}_{s}={Z_{s}e \over m_{s}}{\vec {E}}-{\nabla p_{s} \over n_{s}}}$.

Теперь мы линеаризуем и работаем с уравнениями первого порядка. Поскольку мы не работаем с политропным предположением (но мы не предполагаем, что он равен нулю), для облегчения обозначений мы используем для . Используя уравнение неразрывности иона, уравнение импульса иона принимает вид${\displaystyle T_{s1}}$${\displaystyle T_{s}}$${\displaystyle T_{s0}}$

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=Z_{i}en_{i0}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}}$

Мы связываем электрическое поле с плотностью электронов уравнением импульса электрона:${\displaystyle {\vec {E}}_{1}}$

${\displaystyle n_{e0}m_{e}\partial _{t}{\vec {v}}_{e1}=-n_{e0}e{\vec {E}}_{1}-\gamma _{e}T_{e}\nabla n_{e1}}$

Теперь мы пренебрегаем левой частью, которая связана с инерцией электронов. Это справедливо для волн с частотами, намного меньшими плазменной частоты электронов . Это хорошее приближение , например, для ионизированной материи, но не для таких ситуаций, как электронно-дырочная плазма в полупроводниках или электрон-позитронная плазма. Результирующее электрическое поле равно${\displaystyle (n_{e0}e^{2}/\epsilon _{0}m_{e})^{1/2}}$${\displaystyle m_{i}\gg m_{e}}$

${\displaystyle {\vec {E}}_{1}=-{\gamma _{e}T_{e} \over n_{e0}e}\nabla n_{e1}}$

Поскольку мы уже решили для электрического поля, мы также не можем найти его из уравнения Пуассона. Уравнение импульса иона теперь относится для каждого вида к :${\displaystyle n_{i1}}$${\displaystyle n_{e1}}$

${\displaystyle (-m_{i}\partial _{tt}+\gamma _{i}T_{i}\nabla ^{2})n_{i1}=-\gamma _{e}T_{e}\nabla ^{2}n_{e1}}$

Мы приходим к дисперсионному соотношению через уравнение Пуассона:

${\displaystyle {\epsilon _{0} \over e}\nabla \cdot {\vec {E}}_{1}=\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i0}Z_{i}-n_{e0}\right]+\left[\sum _{i=1}^{N}n_{i1}Z_{i}-n_{e1}\right]}$

Первый член в квадратных скобках справа равен нулю по предположению (равновесие с нейтральным зарядом). Подставляем электрическое поле и переставляем, чтобы найти

${\displaystyle (1-\gamma _{e}\lambda _{De}^{2}\nabla ^{2})n_{e1}=\sum _{i=1}^{N}Z_{i}n_{i1}}$.

${\displaystyle \lambda _{De}^{2}\equiv \epsilon _{0}T_{e}/(n_{e0}e^{2})}$определяет длину Дебая электрона. Второй член слева возникает из члена и отражает степень, в которой возмущение не является нейтральным по заряду. Если мало, мы можем отказаться от этого термина. Это приближение иногда называют приближением плазмы.${\displaystyle \nabla \cdot {\vec {E}}}$${\displaystyle k\lambda _{De}}$

Теперь мы работаем в пространстве Фурье и записываем каждое поле порядка 1 как Мы опускаем тильду, поскольку все уравнения теперь применяются к амплитудам Фурье, и находим ${\displaystyle X_{1}={\tilde {X}}_{1}\exp i({\vec {k}}\cdot {\vec {x}}-\omega t)+c.c.}$

${\displaystyle n_{i1}=\gamma _{e}T_{e}Z_{i}{n_{i0} \over n_{e0}}[m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}]^{-1}n_{e1}}$

${\displaystyle v_{s}=\omega /k}$- фазовая скорость волны. Подставляя это в уравнение Пуассона, мы получаем выражение, в котором каждый член пропорционален . Чтобы найти дисперсионное соотношение для естественных мод, ищем решения для ненулевых и находим:${\displaystyle n_{e1}}$${\displaystyle n_{e1}}$

${\displaystyle \gamma _{e}T_{e}\left\langle {Z_{i}^{2} \over m_{i}v_{s}^{2}-\gamma _{i}T_{i}}\right\rangle =\langle Z_{i}\rangle (1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2})}$.

( dispgen )

${\displaystyle n_{i1}=f_{i}n_{I1}}$где , так что доли ионов удовлетворяют , и - среднее значение по видам ионов. Безразмерная версия этого уравнения${\displaystyle n_{I1}=\Sigma _{i}n_{i1}}$${\displaystyle \Sigma _{i}f_{i}=1}$${\displaystyle \langle X_{i}\rangle \equiv \Sigma _{i}f_{i}X_{i}}$

${\displaystyle {\gamma _{e} \over \langle Z_{i}\rangle }\left\langle {Z_{i}^{2}/A_{i} \over u^{2}-\tau _{i}}\right\rangle =1+\gamma _{e}k^{2}\lambda _{De}^{2}}$

с , - атомная единица массы , и${\displaystyle A_{i}=m_{i}/m_{u}}$${\displaystyle m_{u}}$${\displaystyle u^{2}=m_{u}v_{s}^{2}/T_{e}}$

${\displaystyle \tau _{i}={\gamma _{i}T_{i} \over A_{i}T_{e}}}$

Если мала (приближение плазмы), вторым слагаемым в правой части можно пренебречь, и волна будет бездисперсной с независимостью от k.${\displaystyle k\lambda _{De}}$${\displaystyle \omega =v_{s}k}$${\displaystyle v_{s}}$

Отношение дисперсии [ править ]

Приведенное выше общее дисперсионное уравнение для ионно-звуковых волн можно представить в виде полинома порядка N (для N разновидностей ионов) в . Все корни должны быть положительными, поскольку мы пренебрегли демпфированием. Два знака соответствуют волнам, движущимся вправо и влево. Для одного вида ионов${\displaystyle u^{2}}$${\displaystyle u}$

${\displaystyle v_{s}^{2}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over m_{i}}={\gamma _{e}Z_{i}T_{e} \over m_{i}}\left[{1 \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}+{\gamma _{i}T_{i} \over Z_{i}\gamma _{e}T_{e}}\right]}$

Теперь рассмотрим несколько разновидностей ионов для общего случая . В случае дисперсионное соотношение имеет N-1 вырожденных корней и один ненулевой корень${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$${\displaystyle T_{i}=0}$${\displaystyle u^{2}=0}$

${\displaystyle v_{s}^{2}(T_{i}=0)\equiv {\gamma _{e}T_{e}/m_{u} \over 1+\gamma _{e}(k\lambda _{De})^{2}}{\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle \over \langle Z_{i}\rangle }}$

Этот ненулевой корень называется «быстрым режимом», поскольку обычно превышает все тепловые скорости ионов. Приближенное решение для быстрого режима :${\displaystyle v_{s}}$${\displaystyle T_{i}\ll T_{e}}$

${\displaystyle v_{s}^{2}\approx v_{s}^{2}(T_{i}=0)+{\langle Z_{i}^{2}\gamma _{i}T_{i}/A_{i}^{2}\rangle \over m_{u}\langle Z_{i}^{2}/A_{i}\rangle }}$

Корни N-1, которые равны нулю , называются «медленными режимами», поскольку они могут быть сравнимы или меньше тепловой скорости одного или нескольких видов ионов.${\displaystyle T_{i}=0}$${\displaystyle v_{s}}$

Интересным случаем ядерного синтеза является эквимолярная смесь ионов дейтерия и трития ( ). Специализируемся на полной ионизации ( ), равных температурах ( ), показателях политропы и пренебрежем вкладом. Дисперсионное соотношение становится квадратичным по , а именно:${\displaystyle f_{D}=f_{T}=1/2}$${\displaystyle Z_{D}=Z_{T}=1}$${\displaystyle T_{e}=T_{i}}$${\displaystyle \gamma _{e}=1,\gamma _{i}=3}$${\displaystyle (k\lambda _{De})^{2}}$${\displaystyle v_{s}^{2}}$

${\displaystyle 2A_{D}A_{T}u^{4}-7(A_{D}+A_{T})u^{2}+24=0}$

Используя находим два корня .${\displaystyle (A_{D},A_{T})=(2.01,3.02)}$${\displaystyle u^{2}=(1.10,1.81)}$

Другой интересный случай - это случай с двумя ионами очень разных масс. Примером может служить смесь золота (A = 197) и бора (A = 10,8), которая в настоящее время представляет интерес для исследователей инерционного синтеза с лазерным управлением. В качестве конкретного примера рассмотрим и для разновидностей ионов, и для зарядовых состояний Z = 5 для бора и Z = 50 для золота. Мы не указываем атомную долю бора (примечание ). Таким образом, и .${\displaystyle \gamma _{e}=1}$${\displaystyle \gamma _{i}=3,T_{i}=T_{e}/2}$${\displaystyle f_{B}}$${\displaystyle f_{Au}=1-f_{B}}$${\displaystyle {\bar {Z}}=50-45f_{B},\tau _{B}=0.139,\tau _{Au}=0.00761,F_{B}=2.31f_{B}/{\bar {Z}},}$${\displaystyle F_{Au}=12.69(1-f_{B})/{\bar {Z}}}$

Демпфирование [ править ]

Ионно-акустические волны затухают как за счет кулоновских столкновений, так и за счет бесстолкновительного затухания Ландау . Затухание Ландау происходит как на электронах, так и на ионах, причем относительная важность зависит от параметров.

См. Также [ править ]

• Волны в плазме
• Звук
• Альфвеновская волна
• Магнитозвуковая волна
• Список статей по плазме (физике)

Внешние ссылки [ править ]

• Различные патенты и статьи, связанные с термоядерным синтезом, IEC, ICC и физикой плазмы.