Изотропные координаты

В теории лоренцевых многообразий , сферический симметричные хронотопы допускают семейство вложенных круглых шаров . Существует несколько различных типов координатной диаграммы, адаптированных к этому семейству вложенных сфер; Наиболее известна диаграмма Шварцшильда , но часто бывает полезна и изотропная диаграмма . Определяющей характеристикой изотропной диаграммы является то, что ее радиальная координата (которая отличается от радиальной координаты диаграммы Шварцшильда) определяется таким образом, что световые конусы выглядят круглыми.. Это означает, что (за исключением тривиального случая локально плоского многообразия) угловые изотропные координаты не точно представляют расстояния внутри вложенных сфер, а радиальная координата не точно представляет радиальные расстояния. С другой стороны, углы в гиперспусках постоянного времени представлены без искажений, отсюда и название диаграммы.

Изотропные диаграммы чаще всего применяются к статическим сферически-симметричным пространствам-времени в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности , но они также могут использоваться, например, при моделировании сферически пульсирующего жидкого шара. Для изолированных сферически-симметричных решений уравнения поля Эйнштейна на больших расстояниях изотропные карты и карты Шварцшильда становятся все более похожими на обычные полярные сферические карты в пространстве-времени Минковского .

Определение [ править ]

В изотропной карте (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) метрика (также известная как линейный элемент ) принимает форму

${\ displaystyle g = -a (r) ^ {2} \, dt ^ {2} + b (r) ^ {2} \, \ left (dr ^ {2} + r ^ {2} \, \ left (d \ theta ^ {2} + \ sin (\ theta) ^ {2} \, d \ phi ^ {2} \ right) \ right),}$

${\ displaystyle - \ infty <t <\ infty, \, r_ {0} <r <r_ {1}, \, 0 <\ theta <\ pi, \, - \ pi <\ phi <\ pi}$

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить изотропную координатную карту в конкретном лоренцевом пространстве-времени.${\displaystyle a,\,b}$

Убийство векторных полей [ править ]

Алгебра Ли из Killing векторных полей сферически - симметричного статического пространства - времени имеет ту же форму , в изотропной диаграмме как в диаграмме Шварцшильда. А именно, эта алгебра порождается времениподобным безвихревым векторным полем Киллинга

${\displaystyle \partial _{t}}$

и три пространственноподобных векторных поля Киллинга

${\displaystyle \partial _{\phi }}$

${\displaystyle \sin(\phi )\,\partial _{\theta }+\cot(\theta )\,\cos(\phi )\partial _{\phi }}$

${\displaystyle \cos(\phi )\,\partial _{\theta }-\cot(\theta )\,\sin(\phi )\partial _{\phi }}$

Здесь, говоря, что это безвихревый, означает, что тензор завихренности соответствующей времениподобной конгруэнции обращается в нуль; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности . Тот факт, что пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени . Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с постоянной временной координатой образуют семейство (изометрических) пространственных гиперповерхностей (пространственноподобных гиперповерхностей).${\displaystyle {\vec {X}}=\partial _{t}}$ ${\displaystyle t=t_{0}}$

В отличие от диаграммы Шварцшильда, изотропная карта не очень хорошо подходит для построения диаграмм вложения этих гиперпространств.

Семейство статических вложенных сфер [ править ]

Поверхности выглядят как круглые сферы (когда мы строим точки в полярной сферической манере), и по форме линейного элемента мы видим, что метрика, ограниченная любой из этих поверхностей, равна${\displaystyle t=t_{0},\,r=r_{0}}$

${\displaystyle g|_{t=t_{0},r=r_{0}}=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}g_{\Omega }=b(r_{0})^{2}\,r_{0}^{2}\,\left(d\theta ^{2}+\sin(\theta )^{2}\,d\phi ^{2}\right),\;0<\theta <\pi ,-\pi <\phi <\pi }$

где - координаты, - риманова метрика на сфере 2 единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют собой геометрические сферы, но внешний вид, а не показывает, что радиальная координата не соответствует площади так же, как для сфер в обычном евклидовом пространстве . Сравните координаты Шварцшильда, где радиальная координата имеет естественную интерпретацию в терминах вложенных сфер.${\displaystyle \Omega =(\theta ,\phi )}$${\displaystyle g_{\Omega }}$${\displaystyle b(r_{0})\,r}$${\displaystyle r}$

Координатные особенности [ править ]

Эти локусы отмечают границы изотропной карты, и, как и в диаграмме Шварцшильда, мы неявно предполагаем, что эти два локуса отождествлены, так что наши предполагаемые круглые сферы действительно являются топологическими сферами. ${\displaystyle \phi =-\pi ,\,\pi }$

Как и в случае с диаграммой Шварцшильда, диапазон радиальной координаты может быть ограничен, если метрика или ее обратная величина увеличиваются для некоторого значения (ей) этой координаты.

Метрический анзац [ править ]

Приведенный выше линейный элемент с f, g, рассматриваемыми как неопределенные функции изотропной координаты r, часто используется в качестве метрического анзаца при выводе статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы набросаем, как вычислить соединение и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем из линейного элемента поле coframe ,

${\displaystyle \sigma ^{0}=-a(r)\,dt}$

${\displaystyle \sigma ^{1}=b(r)\,dr}$

${\displaystyle \sigma ^{2}=b(r)\,r\,d\theta }$

${\displaystyle \sigma ^{3}=b(r)\,r\,\sin(\theta )\,d\phi }$

где мы рассматриваем как неопределенные гладкие функции от . (Тот факт, что наше пространство-время допускает каркас, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия изотропной карты в статическом сферически-симметричном лоренцевом многообразии). Взяв внешние производные и используя первое структурное уравнение Картана, находим неисчезающие одноформы связности${\displaystyle a,\,b}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\omega ^{0}}_{1}={\frac {f'\,dt}{g}}}$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,d\theta }$

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{3}=-\left(1+{\frac {r\,b'}{b}}\right)\,\sin(\theta )\,d\phi }$

${\displaystyle {\omega ^{2}}_{3}=-\cos(\theta )\,d\phi }$

Снова взяв внешние производные и подставив второе структурное уравнение Картана, мы находим две формы кривизны .

См. Также [ править ]

• статическое пространство - время ,
• сферически-симметричное пространство-время ,
• статические сферически симметричные идеальные жидкости ,
• Координаты Шварцшильда , еще одна популярная диаграмма статических сферически-симметричных пространств-времени,
• поля кадра в общей теории относительности , чтобы узнать больше о полях кадра и полях кадра.

Ссылки [ править ]

• Миснер, Торн, Уиллер (1973). Гравитация . WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-0344-0.CS1 maint: multiple names: authors list (link)