В релятивистской квантовой механике и квантовой теории поля , то уравнение Йоос-Вайнберга является релятивистские волновые уравнения , применимые к свободных частиц произвольного спина J , целое число для бозонов ( J = 1, 2, 3 ... ) или полуцелым для фермионов ( j = 1 ⁄ 2 , 3 ⁄ 2 , 5 ⁄ 2 ... ). Решениями уравнений являются волновые функции, математически в виде многокомпонентных спинорных полей . Спиновое квантовое число обычно обозначается с в квантовой механике, однако в этом контексте J является более типичным в литературе (см ссылки ).
Он назван в честь Х. Джуса и Стивена Вайнберга , основанных в начале 1960-х годов. [1] [2]
Заявление
Вводя матрицу 2 (2 j + 1) × 2 (2 j + 1) ; [2]
симметричен по любым двум тензорным индексам, который обобщает гамма-матрицы в уравнении Дирака, [1] [3] уравнение имеет вид [4] [5]
или же
( 4 )
Структура группы Лоренца
Для уравнений JW представление группы Лоренца имеет вид [6]
Это представление имеет определенный спин j . Оказывается, что частица со спином j в этом представлении также удовлетворяет уравнениям поля. Эти уравнения очень похожи на уравнения Дирака. Он подходит, когда симметрии зарядового сопряжения , симметрии обращения времени и четности хорошие.
Представления D ( j , 0) и D (0, j ) могут каждое по отдельности представлять частицы со спином j . Состояние или квантовое поле в таком представлении не удовлетворяет никакому уравнению поля, кроме уравнения Клейна-Гордона.
Лоренцево ковариантное тензорное описание состояний Вайнберга – Джооса
Шестикомпонентное пространство представления спина 1,
может быть помечен парой антисимметричных индексов Лоренца, [ αβ ] , что означает, что он преобразуется как антисимметричный тензор Лоренца второго ранга т.е.
J -кратной Кронекера продукта T [ α 1 β 1 ] ... [ α J β J ] из B [ αβ ]
( 8А )
распадается в конечную серию лоренц-неприводимых пространств представлений согласно
и обязательно содержит сектор. Этот сектор может быть мгновенно идентифицирован с помощью независимого от импульса оператора проектора P ( j , 0) , разработанного на основе C (1) , одного из элементов (инвариантов) Казимира [7] алгебры Ли группы Лоренца. , которые определяются как,
( 8B )
где M μν - постоянные (2 j 1 +1) (2 j 2 +1) × (2 j 1 +1) (2 j 2 +1) матрицы, определяющие элементы алгебры Лоренца в пределахпредставления. Обозначения заглавными латинскими буквами указывают [8] на конечномерность рассматриваемых пространств представлений, описывающих внутренние угловые ( спиновые ) степени свободы.
Пространства представления являются собственными векторами C (1) в ( 8B ) согласно,
Здесь мы определяем:
чтобы быть в C (1) собственного значениясектор. Используя эти обозначения, мы определяем оператор проектора P ( j , 0) в терминах C (1) : [8]
( 8C )
Такие проекторы можно использовать для поиска в T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] дляи исключить все остальное. Тогда релятивистские волновые уравнения второго порядка для любого j непосредственно получаются при первой идентификациисектор в T [ α 1 β 1 ] ... [ α j β j ] в ( 8A ) с помощью проектора Лоренца в ( 8C ) с последующим наложением на результат условия массовой оболочки.
В этом алгоритме нет вспомогательных условий. Схема распространяется и на полуцелые спины,и в этом случае продукт Кронекера из T [ α 1 β 1 ] ... [ α J β J ] с спинором Дирака,
нужно учитывать. Выбор полностью антисимметричного тензора Лоренца второго ранга, B [ α i β i ] , в приведенном выше уравнении ( 8A ) является только необязательным. Можно начать с множественных произведений Кронекера полностью симметричных тензоров Лоренца второго ранга, A α i β i . Последний вариант должен представлять интерес в теориях, где высокоспиновые Поля Джооса-Вайнберга предпочтительно связаны с симметричными тензорами, такими как метрический тензор в гравитации.
Пример [8]
В
переходящий в спинор тензора Лоренца второго ранга,
Генераторы группы Лоренца в этом пространстве представления обозначаются через и предоставлено:
где 1 [ αβ ] [ γδ ] обозначает единицу в этом пространстве, 1 S и M S μν - соответствующие единичный оператор и элементы алгебры Лоренца в пространстве Дирака, а γ μ - стандартные гамма-матрицы . [ М АТ μν ] [ αβ ] [ γδ ] генераторы выразить в терминах образующих в четыре-вектора,
в виде
Тогда явное выражение для инварианта Казимира C (1) в ( 8B ) принимает вид
а проектор Лоренца на (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2) задается формулой
Фактически, степени свободы (3 / 2,0) ⊕ (0,3 / 2), обозначаемые
находятся для решения следующего уравнения второго порядка,
Выражения для решений можно найти в [8]
Смотрите также
- Гамма-матрицы более высокой размерности
- Уравнения Баргмана – Вигнера , альтернативные уравнения, описывающие свободные частицы любого спина.
Рекомендации
- ^ а б Е.А. Джеффри (1978). «Компонентная минимизация волновой функции Баргмана – Вигнера» . Австралийский журнал физики . Мельбурн: CSIRO. 31 (2): 137. Bibcode : 1978AuJPh..31..137J . DOI : 10,1071 / ph780137 . NB: соглашение для четырех градиентов в этой статье - ∂ μ = (∂ / ∂ t , ∇) , как и в статье в Википедии. Соглашения Джеффри другие: ∂ μ = (- i ∂ / ∂ t , ∇) . Также Джеффри собирает компоненты x и y оператора импульса: p ± = p 1 ± ip 2 = p x ± ip y . Компоненты p ± не следует путать с лестничными операторами ; множители ± 1, ± i происходят из гамма-матриц .
- ^ а б Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина» (PDF) . Phys. Ред . 133 (5B): B1318 – B1332. Bibcode : 1964PhRv..133.1318W . DOI : 10.1103 / PhysRev.133.B1318 .; Вайнберг, С. (1964). «Правила Фейнмана для любого спина. II. Безмассовые частицы» (PDF) . Phys. Ред . 134 (4B): B882 – B896. Bibcode : 1964PhRv..134..882W . DOI : 10.1103 / PhysRev.134.B882 .; Вайнберг, С. (1969). "Правила Фейнмана для любого спина. III" (PDF) . Phys. Ред . 181 (5): 1893–1899. Bibcode : 1969PhRv..181.1893W . DOI : 10.1103 / PhysRev.181.1893 .
- ^ Габор Жолт Тот (2012). «Проекционный операторный подход к квантованию полей высших спинов». Европейский физический журнал C . 73 : 2273. arXiv : 1209.5673 . Bibcode : 2013EPJC ... 73.2273T . DOI : 10.1140 / epjc / s10052-012-2273-х . S2CID 119140104 .
- ^ В.В. Двоеглазов (2003). «Обобщения уравнения Дирака и модифицированный формализм Баргмана – Вигнера». Хадроник Дж . 26 : 299–325. arXiv : hep-th / 0208159 .
- ^ Д. Шэй (1968). «Лагранжева формулировка волновых уравнений Джооса – Вайнберга для частиц со спином j ». Il Nuovo Cimento . 57 (2): 210–218. Bibcode : 1968NCimA..57..210S . DOI : 10.1007 / BF02891000 . S2CID 117170355 .
- ^ Т. Ярошевич; П.С. Курзепа (1992). «Геометрия пространственно-временного распространения вращающихся частиц». Летопись физики . Калифорния, США. 216 (2): 226–267. Bibcode : 1992AnPhy.216..226J . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (92) 90176-M .
- ^ Ю.С. Ким; Мэрилин Э. Ноз (1986). Теория и приложения группы Пуанкаре . Дордрехт, Голландия: Рейдел. ISBN 9789027721419.
- ^ а б в г Э. Г. Дельгадо Акоста; В. М. Банда Гусман; М. Кирхбах (2015). «Бозонные и фермионные состояния Вайнберга-Джоуса (j, 0) ⊕ (0, j) произвольных спинов как тензоры Лоренца или тензор-спиноры и теория второго порядка». Европейский физический журнал . 51 (3): 35. arXiv : 1503.07230 . Bibcode : 2015EPJA ... 51 ... 35D . DOI : 10.1140 / epja / i2015-15035-х . S2CID 118590440 .
- В.В. Двоеглазов (1993). "Лагранжева формулировка 2 (2 j +1) -теории Джооса – Вайнберга и ее связь с кососимметричным тензорным описанием". Международный журнал геометрических методов в современной физике . 13 (4): 1650036. arXiv : hep-th / 9305141 . Bibcode : 2016IJGMM..1350036D . DOI : 10.1142 / S0219887816500365 . S2CID 55918215 .