Теорема жюри является математической теоремой доказывает , что при определенных предположениях, решение достигается с помощью большинства голосов в большой группе, скорее всего, будет правильным , чем решение достигается с помощью одного эксперта. Он служит формальным аргументом в пользу идеи мудрости толпы , решения фактических вопросов судом присяжных и демократии в целом. [1]
Первая и самая известная теорема присяжных - это теорема присяжных Кондорсе . Предполагается, что все избиратели имеют независимые вероятности проголосовать за правильную альтернативу, эти вероятности больше 1/2 и одинаковы для всех избирателей. При этих предположениях вероятность того, что решение большинства будет правильным, строго выше, чем больше группа; а когда размер группы стремится к бесконечности, вероятность того, что решение большинства будет правильным, стремится к 1.
Есть много других теорем присяжных, ослабляющих некоторые или все эти предположения.
Параметр
Предпосылка всех теорем присяжных состоит в том, что существует объективная истина , которая неизвестна избирателям. Большинство теорем сосредотачиваются на бинарных проблемах (проблемах с двумя возможными состояниями), например, виновен или невиновен конкретный ответчик , будет ли определенная акция расти или падать и т. Д.избиратели (или присяжные), и их цель - раскрыть правду. У каждого избирателя есть свое мнение о том, какой из двух вариантов правильный. Мнение каждого избирателя либо верно (т. Е. Равно истинному состоянию), либо неверно (т. Е. Отличается от истинного состояния). Это контрастирует с другими настройками голосования , в которых мнение каждого избирателя представляет его / ее субъективные предпочтения и, таким образом, всегда «правильное» для данного конкретного избирателя. Мнение избирателя можно рассматривать как случайную величину : для каждого избирателя существует положительная вероятность того, что его мнение совпадает с истинным состоянием.
Групповое решение определяется правилом большинства . Например, если большинство избирателей признает «виновным», то решение считается «виновным», а если большинство говорит «невиновным», то решение считается «невиновным». Чтобы избежать ничьей, часто предполагается, что число избирателейстранно. В качестве альтернативы, есличётно, то ничья разрывается подбрасыванием честной монеты .
Теоремы жюри интересуются вероятностью правильности - вероятностью того, что решение большинства совпадает с объективной истиной. Типичные теоремы присяжных делают два типа утверждений относительно этой вероятности: [1]
- Растущая надежность : вероятность правильности тем больше, чем больше группа.
- Безошибочность толпы : вероятность правильности достигает 1, когда размер группы стремится к бесконечности.
Утверждение 1 часто называют неасимптотической частью, а утверждение 2 часто называют асимптотической частью теоремы присяжных.
Очевидно, что эти утверждения не всегда верны, но они верны при определенных предположениях об избирателях. Различные теоремы присяжных делают разные предположения.
Независимость, компетентность и единообразие
Теорема присяжных Кондорсе делает следующие три предположения:
- Безусловная независимость : избиратели принимают решение самостоятельно. Другими словами, их мнения - независимые случайные величины .
- Безусловная компетентность : вероятность того, что мнение одного избирателя совпадает с объективной истиной, больше 1/2 (т. Е. Избиратель умнее случайного подбрасывания монеты).
- Единообразие : все избиратели имеют одинаковую вероятность быть правыми.
Теорема присяжных Кондорсе гласит, что эти три предположения подразумевают рост надежности и непогрешимость толпы.
Мнения разных избирателей часто совпадают, поэтому безусловная независимость может не соблюдаться. В этом случае требование Growing Reliability может быть отклонено.
Пример
Позволять вероятность того, что присяжный проголосует за правильную альтернативу, и коэффициент корреляции (второго порядка) между любыми двумя правильными голосами. Если все коэффициенты корреляции высшего порядка в представлении Бахадур [2] о совместном распределении вероятностей голосов , равным нулю, иявляется допустимой парой , то вероятность того, что жюри коллективно примет правильное решение простым большинством голосов, определяется как:
где - регуляризованная неполная бета-функция .
Пример: возьмите жюри из трех присяжных., с индивидуальной компетенцией и корреляция второго порядка . потом. Компетенция жюри ниже, чем компетентность одного присяжного, что равняется. Кроме того, пополнение жюри двумя членами жюри еще больше снижает компетенцию жюри, . Обратите внимание, что а также допустимая пара параметров. Для а также , максимально допустимый коэффициент корреляции второго порядка равен .
Приведенный выше пример показывает, что когда индивидуальная компетентность низкая, но корреляция высокая:
- Коллективная компетенция при простом большинстве может быть ниже компетенции одного присяжного;
- Увеличение состава жюри может снизить его коллективную компетенцию.
Приведенный выше результат принадлежит Каневскому и Заиграеву. Они также обсуждают оптимальный состав жюри для однородных жюри с коррелированными голосами. [3]
Есть несколько теорем присяжных, которые по-разному ослабляют предположение о независимости.
Правдоподобная независимость и компетентность
В задачах двоичного решения часто бывает один вариант, который легче обнаружить, чем другой. Например, может быть легче обнаружить, что обвиняемый виновен (поскольку есть явные доказательства вины), чем определить его невиновность. В этом случае вероятность того, что мнение одного избирателя является правильным, представлена двумя разными числами: вероятностью при условии, что вариант №1 верен, и вероятностью при условии, что вариант №2 верен. Это также означает , что мнения разных избирателей коррелируют . Это мотивирует следующие ослабления вышеуказанных предположений:
- Условная независимость : для каждого из двух вариантов мнения избирателей при условии, что этот вариант является истинным, являются независимыми случайными величинами .
- Условная компетентность : для каждого из двух вариантов вероятность того, что мнение отдельного избирателя верное, с учетом того, что этот вариант верен, больше 1/2.
- Условная единообразие : для каждого из двух вариантов все голосующие имеют одинаковую вероятность быть правыми при условии, что этот вариант верен.
Растущая надежность и непогрешимость толпы продолжают оставаться в силе при этих более слабых предположениях. [1]
Одна из критических замечаний по поводу условной компетенции состоит в том, что она зависит от способа формулирования вопроса о решении. Например, вместо того, чтобы спрашивать, виновен ли подсудимый или невиновен, можно спросить, виновен ли подсудимый ровно по 10 пунктам обвинения (вариант А) или по другому количеству обвинений (0..9 или более 11). Это меняет условия, а значит, и условную вероятность. Более того, если состояние очень конкретное, то вероятность правильного голосования может быть ниже 1/2, поэтому условная компетенция может не соблюдаться. [4]
Эффект лидера мнений
Еще одна причина корреляции между избирателями - наличие лидера мнений . Предположим, каждый избиратель принимает независимое решение, но затем каждый избиратель с некоторой фиксированной вероятностью меняет свое мнение, чтобы соответствовать мнению лидера мнений. Теоремы жюри Боланда [5] и Боланда, Прошана и Тонга [6] показывают, что, если (и только если) вероятность следовать за лидером мнений меньше, чем 1-1 / 2 p (где p - уровень компетентности всех избиратели), то сохраняется непогрешимость толпы.
Независимость и компетентность, чувствительная к проблемам
Помимо зависимости от истинного варианта, существует множество других причин, по которым мнения избирателей могут совпадать. Например:
- Обсуждение среди избирателей;
- Давление со стороны сверстников ;
- Ложные доказательства (например, обвиняемый, который хорошо притворяется невиновным);
- Внешние условия (например, плохая погода, влияющая на их суждение).
- Любая другая распространенная причина голосований
Можно ослабить предположение об условной независимости и обусловить все общие причины голосов (а не только состояние). Другими словами, голоса теперь независимы от конкретной проблемы решения . Однако в конкретной задаче предположение об условной компетенции может быть неверным. Например, в конкретной проблеме с ложными доказательствами, вероятно, большинство избирателей будут иметь неправильное мнение. Таким образом, два допущения - условная независимость и условная компетентность - не могут быть оправданы одновременно (при одной и той же условности). [7]
Возможное решение - ослабить условную компетенцию следующим образом. Для каждого избирателя и каждой проблемы x существует вероятность p ( x ) того, что мнение избирателя в данной конкретной задаче правильное. Поскольку x - случайная величина, p ( x ) тоже случайная величина. Условная компетентность требует, чтобы p ( x )> 1/2 с вероятностью 1. Ослабленное предположение:
- Тенденция к компетентности : для каждого избирателя и для каждого r > 0 вероятность того, что p ( x ) = 1/2 + r , по крайней мере так же велика, как вероятность того, что p ( x ) = 1 / 2- r .
Теорема присяжных Дитриха и Шпикермана [8] гласит, что условная независимость, склонность к компетентности и условная единообразие вместе означают растущую надежность. Обратите внимание, что Crowd Infallibility не подразумевается. Фактически, вероятность правильности стремится к значению ниже 1, если и только условная компетентность не выполняется.
Ограниченная корреляция
Теорема присяжных Пивато [9] показывает, что если средняя ковариация между избирателями становится небольшой по мере увеличения численности населения, то непогрешимость толпы сохраняется (для некоторых правил голосования). Существуют и другие теоремы жюри, которые учитывают степень корреляции голосов. [10] [11]
Другие решения
Другие способы справиться с корреляцией избирателей включают причинно-следственные связи , структуры зависимости и взаимозаменяемость. [1] : 10
Разнообразие возможностей: ослабление предположения об однородности
Разные избиратели часто имеют разный уровень компетентности, поэтому предположение о единообразии не выполняется. В этом случае и растущая надежность, и непогрешимость толпы могут оказаться неприменимыми. Это может произойти, если новые избиратели имеют гораздо более низкую компетентность, чем существующие, поэтому добавление новых избирателей снижает вероятность правильности группы. В некоторых случаях вероятность правильности может сходиться к 1/2 (- случайное решение), а не к 1. [12]
Более строгие требования к компетентности
От единообразия можно отказаться, если усилить предположение о компетентности. Есть несколько способов его усилить:
- Сильная компетенция: для каждого избирателя i вероятность правильности p i составляет не менее 1/2 + e , где e > 0 фиксировано для всех избирателей. Другими словами: компетенция ограничена честным подбрасыванием монеты. Теорема присяжных Паруша [12] показывает, что сильная компетентность и условная независимость вместе означают непогрешимость толпы (но не растущую надежность).
- Средняя компетентность: средний уровень индивидуальной компетентности избирателей (т.е. среднее значение их индивидуальных вероятностей принятия правильного решения) немного больше половины или сходится к значению выше 1/2. Теоремы присяжных Грофмана, Оуэна и Фельда [13] и Беренда и Паруша [14] показывают, что средняя компетентность и условная независимость вместе означают непогрешимость толпы (но не растущую надежность).
Случайный выбор избирателя
вместо того, чтобы предполагать, что личность избирателя фиксирована, можно предположить, что существует большой пул потенциальных избирателей с разными уровнями компетенции, и фактические избиратели выбираются случайным образом из этого пула (как при жеребьевке ).
Теорема присяжных Бена Яшара и Паруша [15] показывает, что при определенных условиях вероятность правильности присяжных или его части, выбранной случайным образом, больше, чем вероятность правильности одного присяжного, выбранного случайным образом. Более общая теорема присяжных Беренда и Сапира [16] доказывает, что Растущая надежность сохраняется в этом случае: вероятность правильности случайного комитета увеличивается с размером комитета. Теорема верна при определенных условиях даже с коррелированными голосами. [17]
Теорема присяжных Оуэна, Грофмана и Фельда [18] анализирует обстановку, в которой уровень компетентности является случайным. Они показывают, какое распределение индивидуальных компетенций максимизирует или минимизирует вероятность правильности.
Правило взвешенного большинства
Когда уровень компетентности избирателей известен, правило простого большинства не может быть лучшим правилом принятия решения. Существуют различные работы по определению оптимального решающего правила - правила, максимизирующего вероятность групповой правильности. Ницан и Паруш [19] показывают, что при безусловной независимости оптимальным правилом принятия решений является правило взвешенного большинства, где вес каждого избирателя с вероятностью правильности p i равен log ( p i / (1- p i )), а Альтернатива выбирается, если сумма весов ее сторонников превышает некоторый порог. Грофман и Шепли [20] анализируют влияние взаимозависимостей между избирателями на оптимальное правило принятия решений. Бен-Яшар и Ницан [21] доказывают более общий результат.
Дитрих [22] обобщает этот результат на ситуацию, которая не требует априорных вероятностей «правильности» двух альтернатив. Единственное необходимое предположение - это эпистемическая монотонность, которая гласит, что если в определенном профиле выбрана альтернатива x , и профиль изменяется так, что x становится более вероятным, то x все равно выбирается. Дитрих показывает, что эпистемическая монотонность подразумевает, что оптимальным правилом принятия решений является взвешенное большинство с порогом. В той же статье он обобщает правило оптимального принятия решения для ситуации, которая не требует, чтобы вход был голосом за одну из альтернатив. Это может быть, например, субъективная степень веры. Более того, нет необходимости знать параметры компетентности. Например, если входные данные являются субъективными убеждениями x 1 , ..., x n , то оптимальное правило принятия решений суммирует log ( x i / (1- x i )) и проверяет, превышает ли сумма некоторый порог. Эпистемической монотонности недостаточно для вычисления самого порога; порог может быть вычислен, предполагая максимизацию ожидаемой полезности и априорные вероятности.
Общая проблема с правилами взвешенного большинства состоит в том, что они требуют знания уровней компетентности различных избирателей, что обычно трудно вычислить объективным образом. Бахарад, Голдбергер, Коппель и Ницан [23] представляют алгоритм, который решает эту проблему с помощью статистического машинного обучения . В качестве входных данных требуется только список прошлых голосов; ему не нужно знать, были ли эти голоса правильными или нет. Если список достаточно велик, то вероятность его правильности сходится к 1, даже если уровень компетентности отдельных избирателей близок к 1/2.
Более двух вариантов
Часто проблемы решения включают три или более вариантов. Это критическое ограничение было фактически признано Кондорсе (см . Парадокс Кондорсе ), и в целом очень трудно согласовать индивидуальные решения между тремя или более исходами (см . Теорему Эрроу ).
Это ограничение также можно преодолеть посредством последовательности голосований по парам альтернатив, что обычно реализуется в процессе внесения поправок в законодательство. (Однако, согласно теореме Эрроу, это создает «зависимость от пути» от точной последовательности пар альтернатив; например, какая поправка предлагается первой, может иметь значение, какая поправка будет принята в конечном итоге, или от того, будет ли закон - с или без поправки - принято вообще.)
С тремя или более вариантами условную компетенцию можно обобщить следующим образом:
- Многовариантная условная компетенция: для любых двух вариантов x и y , если x правильно, а y нет, то любой избиратель с большей вероятностью проголосует за x, чем за y .
Теорема присяжных Листа и Гудина показывает, что многовариантная условная компетентность и условная независимость вместе означают непогрешимость толпы. [24] Дитрих и Шпикерманн предполагают, что они также подразумевают рост надежности. [1] : 10 Другая связанная теорема присяжных принадлежит Эвераэру, Конечны и Маркизу. [25]
Когда существует более двух вариантов, вместо простого большинства можно использовать различные правила голосования . Статистические и утилитарные свойства таких правил анализируются, например, Пивато. [26] [27]
Системы косвенного большинства
Теорема Кондорсе рассматривает систему прямого большинства , в которой все голоса подсчитываются непосредственно для окончательного результата. Во многих странах используется система косвенного большинства , при которой избиратели делятся на группы. Избиратели в каждой группе принимают решение о результате внутренним большинством голосов; затем группы большинством голосов принимают решение об окончательном результате. Например, [5] предположим, что есть 15 избирателей. В системе прямого большинства решение считается принятым, если его поддерживают не менее 8 голосов. Предположим теперь, что избиратели сгруппированы в 3 группы по 5 человек в каждой. Решение принимается, если его поддерживают не менее 2 групп, и в каждой группе решение принимается, если его поддерживают не менее 3 голосующих. Следовательно, решение может быть принято даже в том случае, если его поддержат всего 6 избирателей.
Боланд, Прошан и Тонг [6] доказывают, что, когда избиратели независимы и p> 1/2, система прямого большинства - как в теореме Кондорсе - всегда имеет больше шансов принять правильное решение, чем любая система косвенного большинства.
Берг и Паруш [28] рассматривают многоуровневую иерархию голосования, которая может иметь несколько уровней с разными правилами принятия решений на каждом уровне. Они изучают оптимальную структуру голосования и сравнивают компетенцию с преимуществом экономии времени и других расходов.
Гудин и Шпикерманн [29] подсчитали, на сколько небольшая группа экспертов должна быть лучше, чем среднестатистические избиратели, чтобы они могли принимать более обоснованные решения.
Стратегическое голосование
Хорошо известно, что, когда существует три или более альтернатив и избиратели имеют разные предпочтения, они могут участвовать в стратегическом голосовании , например, голосовать за второй лучший вариант, чтобы предотвратить избрание худшего варианта. Удивительно, но стратегическое голосование может происходить даже с двумя альтернативами и когда все избиратели имеют одинаковое предпочтение, а именно раскрытие правды. Например, предположим, что вопрос в том, виновен ли подсудимый или невиновен, и предположим, что некий присяжный считает истинным ответом «виновен». Однако он также знает, что его голос действителен только в том случае, если остальные голоса равны. Но, если остальные голоса равны, это означает, что вероятность того, что подсудимый виновен, близка к 1/2. Принимая это во внимание, наш присяжный может решить, что этой вероятности недостаточно для определения «виновен», и проголосует «невиновен». Но если все остальные избиратели поступят так же, будет получен неправильный ответ. С точки зрения теории игр, правдивое голосование не может быть равновесием по Нэшу . [30] Эта проблема была названа проклятье свинг избирателя , [31] , как это аналогично проклятье победителя в теории аукциона.
Теорема жюри Пелега и Замира [32] показывает достаточные и необходимые условия для существования равновесия Байеса-Нэша, которое удовлетворяет теореме жюри Кондорсе. Бозбай, Дитрих и Петерс [33] показывают правила голосования, которые приводят к эффективному агрегированию личной информации избирателей даже при стратегическом голосовании.
На практике эта проблема может быть не очень серьезной, поскольку большинство избирателей заботятся не только о конечном результате, но и о правильности голосования по своей совести. Более того, большинство избирателей недостаточно опытны, чтобы голосовать стратегически. [1] : 13
Субъективные мнения
Понятие «правильность» может не иметь смысла при принятии политических решений, которые основаны на ценностях или предпочтениях, а не только на фактах.
Некоторые защитники теоремы считают, что она применима, когда голосование направлено на определение того, какая политика лучше всего способствует общественному благу, а не просто на выражение индивидуальных предпочтений. При таком прочтении теорема гласит, что, хотя каждый член электората может иметь лишь смутное представление о том, какой из двух вариантов политики лучше, голосование большинством имеет усиливающий эффект. «Уровень групповой компетентности», представленный вероятностью того, что большинство выберет лучшую альтернативу, увеличивается до 1 по мере увеличения размера электората, при условии, что каждый избиратель чаще прав, чем ошибается.
Несколько работ показывают, что при разумных условиях большие группы лучше отслеживают предпочтения большинства. [34] : 323 [35] [36]
дальнейшее чтение
- Закон больших чисел : математическое обобщение теорем присяжных.
- Эволюция коллективного принятия решений. [37]
- Осуществление эпистемической демократии: критика предположений теорем присяжных. [38]
- Эпистемология демократии: сравнение теорем присяжных с двумя другими эпистемологическими моделями демократии: экспериментализм и разнообразие превосходит способности . [39]
Рекомендации
- ^ a b c d e f Франц Дитрих и Кай Шпикерманн (19.07.2019). Теоремы Жюри . Рутледж. DOI : 10.4324 / 9781315717937-38 / Присяжные-теоремы-франц-Дитрих-кай-Spiekermann . ISBN 978-1-315-71793-7.
- ^ Бахадур, Р.Р. (1961). «Представление совместного распределения ответов на n дихотомических вопросов». Х. Соломон (ред.), Исследования в области анализа и прогнозирования заданий: 158–168.
- ^ Каневский, Сергей; Александр, Заиграев (2011). «Оптимальный дизайн жюри для однородных жюри с коррелированными голосами» (PDF) . Теория и решение . 71 (4): 439–459. CiteSeerX 10.1.1.225.5613 . DOI : 10.1007 / s11238-009-9170-2 . S2CID 9189720 .
- ^ Эстлунд, Дэвид (2009-08-03). Демократическая власть: философские основы . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-1-4008-3154-8.
- ^ а б Боланд, Филип Дж. (1989). "Системы большинства и теорема жюри Кондорсе". Журнал Королевского статистического общества, серия D (Статистик) . 38 (3): 181–189. DOI : 10.2307 / 2348873 . ISSN 1467-9884 . JSTOR 2348873 .
- ^ а б Боланд, Филип Дж .; Прошан, Франк; Тонг, Ю.Л. (март 1989 г.). «Моделирование зависимости в простых и косвенных мажоритарных системах» . Журнал прикладной теории вероятностей . 26 (1): 81–88. DOI : 10.2307 / 3214318 . ISSN 0021-9002 . JSTOR 3214318 .
- ^ Дитрих, Франц (2008). «Предпосылки теоремы Кондорсе о присяжных не подтверждаются одновременно» . Эпистема: журнал социальной эпистемологии . 5 (1): 56–73. DOI : 10.1353 / epi.0.0023 . ISSN 1750-0117 .
- ^ Дитрих, Франц; Шпикерманн, Кай (01.03.2013). «Эпистемическая демократия с оправданными предпосылками» . Экономика и философия . 29 (1): 87–120. ISSN 0266-2671 .
- ^ «Эпистемическая демократия с коррелированными избирателями» . Журнал математической экономики . 72 : 51–69. 2017-10-01. DOI : 10.1016 / j.jmateco.2017.06.001 . ISSN 0304-4068 .
- ^ Джеймс Хоторн. «Голосование в поисках общественного блага: вероятностная логика суждений большинства» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 23 марта 2016 года . Проверено 20 апреля 2009 .
- ^ см. например: Кришна К. Ладха (август 1992 г.). «Теорема Кондорсе присяжных, свобода слова и коррелированные голоса». Американский журнал политологии . 36 (3): 617–634. DOI : 10.2307 / 2111584 . JSTOR 2111584 .
- ^ а б Паруш, Джейкоб (1998). «Держитесь подальше от честных монет: теорема жюри Кондорсе» . Социальный выбор и благосостояние . 15 (1): 15–20. ISSN 0176-1714 .
- ^ Бернард Грофман; Гильермо Оуэн; Скотт Л. Фельд (1983). «Тринадцать теорем в поисках истины» (PDF) . Теория и решение . 15 (3): 261–78. DOI : 10.1007 / BF00125672 . S2CID 50576036 .
- ^ Беренд, Дэниел; Паруш, Джейкоб (1998). "Когда верна теорема присяжных Кондорсе?" . Социальный выбор и благосостояние . 15 (4): 481–488. ISSN 0176-1714 .
- ^ Бен-Яшар, Рут; Паруш, Джейкоб (2000-03-01). «Неасимптотическая теорема жюри Кондорсе». Социальный выбор и благосостояние . 17 (2): 189–199. DOI : 10.1007 / s003550050014 . ISSN 1432-217X . S2CID 32072741 .
- ^ Беренд, Дэниел; Сапир, Люба (2005). «Монотонность в теореме Жюри Кондорсе» . Социальный выбор и благосостояние . 24 (1): 83–92. ISSN 0176-1714 .
- ^ Беренд, Дэниел; Сапир, Люба (2007). «Монотонность в теореме жюри Кондорсе с зависимыми избирателями» . Социальный выбор и благосостояние . 28 (3): 507–528. ISSN 0176-1714 .
- ^ Оуэн, Гильермо; Грофман, Бернард; Фельд, Скотт Л. (1 февраля 1989 г.). «Доказательство безраспределения обобщения теоремы Кондорсе Жюри» . Математические социальные науки . 17 (1): 1–16. DOI : 10.1016 / 0165-4896 (89) 90012-7 . ISSN 0165-4896 .
- ^ Ницан, Шмуэль; Паруш, Джейкоб (1982). «Оптимальные правила принятия решений в ситуациях неопределенного дихотомического выбора» . Международное экономическое обозрение . 23 (2): 289–297. DOI : 10.2307 / 2526438 . ISSN 0020-6598 .
- ^ Шепли, Ллойд; Грофман, Бернард (1984-01-01). «Оптимизация групповых суждений при наличии взаимозависимостей» . Общественный выбор . 43 (3): 329–343. DOI : 10.1007 / BF00118940 . ISSN 1573-7101 .
- ^ Бен-Яшар, Рут С .; Ницан, Шмуэль И. (1997). «Правило оптимального решения для комитетов фиксированного размера в ситуациях дихотомического выбора: общий результат» . Международное экономическое обозрение . 38 (1): 175–186. DOI : 10.2307 / 2527413 . ISSN 0020-6598 .
- ^ Дитрих, Франц (2006). «Общее представление об эпистемически оптимальных процедурах» . Социальный выбор и благосостояние . 26 (2): 263–283. ISSN 0176-1714 .
- ^ Бахарад, Эял; Гольдбергер, Джейкоб; Коппель, Моше; Ницан, Шмуэль (01.01.2012). «Помимо Кондорсе: оптимальные правила агрегирования с использованием записей голосования» . Теория и решение . 72 (1): 113–130. DOI : 10.1007 / s11238-010-9240-5 . ISSN 1573-7187 .
- ^ Кристиан Лист и Роберт Гудин (сентябрь 2001 г.). "Эпистемическая демократия: обобщение теоремы Кондорсе Жюри" (PDF) . Журнал политической философии . 9 (3): 277–306. CiteSeerX 10.1.1.105.9476 . DOI : 10.1111 / 1467-9760.00128 .
- ^ Патрисия Эвераэра, Себастьян Конечны и Пьер Маркиз (август 2010 г.). «Эпистемический взгляд на слияние убеждений: можем ли мы отследить истину?» (PDF) . Труды 19-й Европейской конференции по искусственному интеллекту (ECAI'10) : 621–626. CiteSeerX 10.1.1.298.3965 . DOI : 10.3233 / 978-1-60750-606-5-621 .
- ^ Пивато, Маркус (2013). «Правила голосования как статистические оценщики» . Социальный выбор и благосостояние . 40 (2): 581–630. ISSN 1432-217X .
- ^ Пивато, Маркус (2016-08-01). «Асимптотический утилитаризм в правилах подсчета очков» . Социальный выбор и благосостояние . 47 (2): 431–458. DOI : 10.1007 / s00355-016-0971-2 . ISSN 1432-217X .
- ^ Берг, Свен; Паруш, Джейкоб (1998-05-01). «Коллективное принятие решений в иерархиях» . Математические социальные науки . 35 (3): 233–244. DOI : 10.1016 / S0165-4896 (97) 00047-4 . ISSN 0165-4896 .
- ^ Гудин, Роберт Э .; Шпикерманн, Кай (01.11.2012). «Эпистемические аспекты представительного правительства» . Европейский политологический обзор . 4 (3): 303–325. ISSN 1755-7739 .
- ^ Остин-Смит, Дэвид; Бэнкс, Джеффри С. (1996). «Агрегация информации, рациональность и теорема Жюри Кондорсе» (PDF) . Обзор американской политической науки . 90 (1): 34–45. DOI : 10.2307 / 2082796 . JSTOR 2082796 .
- ^ Феддерсен, Тимоти Дж .; Песендорфер, Вольфганг (1996). «Проклятие свинг-избирателя» . Американский экономический обзор . 86 (3): 408–424. ISSN 0002-8282 .
- ^ Пелег, Бецалель; Замир, Шмуэль (2012). «Распространение теоремы Кондорсе о жюри на общее зависимое жюри» . Социальный выбор и благосостояние . 39 (1): 91–125. ISSN 0176-1714 .
- ^ «Агрегирование суждений в поисках истины» . Игры и экономическое поведение . 87 : 571–590. 2014-09-01. DOI : 10.1016 / j.geb.2014.02.007 . ISSN 0899-8256 .
- ^ Гольдман, Элвин (2002). «Знания в социальном мире» . Философия и феноменологические исследования . 64 (1): 185–190. DOI : 10.1111 / j.1933-1592.2002.tb00151.x .
- ^ Гудин, Роберт Э .; Шпикерманн, Кай (декабрь 2015 г.). «Эпистемическая солидарность как политическая стратегия» . Эпистема . 12 (4): 439–457. ISSN 1742-3600 .
- ^ Список, христианин; Спикерманн, Кай (2016), «Теорема присяжных Кондорсе и истина , относящаяся к избирателям» , Goldman and His Critics , John Wiley & Sons, Ltd, стр. 219–233, doi : 10.1002 / 9781118609378.ch10 , ISBN 978-1-118-60937-8, получено 2021-05-27
- ^ «Эволюция коллективного принятия решений». Понимание коллективного принятия решений : 167–192. 2017. DOI : 10,4337 / +9781783473151,00011 . ISBN 9781783473151.
- ^ Пивато, Маркус (2019), Ласлье, Жан-Франсуа; Мулен, Эрве; Санвер М. Ремзи; Цвикер, Уильям С. (ред.), «Реализация эпистемической демократии» , Будущее экономического дизайна: непрерывное развитие области, как это видят ее исследователи , Исследования в области экономического дизайна, Cham: Springer International Publishing, стр. 103–112 , DOI : 10.1007 / 978-3-030-18050-8_16 , ISBN 978-3-030-18050-8, получено 2021-05-27
- ^ Андерсон, Элизабет (2006). «Эпистемология демократии» . Эпистема: журнал социальной эпистемологии . 3 (1): 8–22. DOI : 10.1353 / epi.0.0000 . ISSN 1750-0117 .