Формула характера Кириллова

В математике , для группы Ли , то метод орбит Кириллова дает эвристический метод в теории представлений . Он связывает преобразование Фурье от коприсоединенных орбит , которые лежат в сопряженном пространстве в алгебре Ли в G , с бесконечно малыми символами этих неприводимых представлений . Название метод получил в честь русского математика Александра Кириллова .${\ displaystyle G}$

В простейшем случае , в нем говорится о том , что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье от дельта - функции Дирака поддерживается на орбитах коприсоединенных, взвешенной по квадратному корню из якобиана из экспоненциального отображения , обозначаемое . Он не применяется ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные , некоторые полупростые группы и компактные группы .${\ displaystyle j}$

Метод орбиты Кириллова привел к ряду важных достижений в теории Ли, включая изоморфизм Дюфло и отображение обертывания .

Формула характера для компактных групп Ли [ править ]

Пусть будет самый высокий вес из неприводимых представлений , где является двойной из алгебры Ли в максимальном торе , и пусть полусумма положительных корней .${\ displaystyle \ lambda \ in {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ rho}$

Обозначим через коприсоединённого орбиту через и в -инвариантными меры по общей массы , известной как мера Лиувилля . Если - характер представления , то формула характера Кириллова для компактных групп Ли имеет вид${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ lambda + \ rho}}$${\ displaystyle \ lambda + \ rho \ in {\ mathfrak {t}} ^ {*}}$${\ displaystyle \ mu _ {\ lambda + \ rho}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ lambda + \ rho}}$${\ displaystyle \ dim \ pi = d _ {\ lambda}}$${\ displaystyle \ chi _ {\ lambda}}$

${\ displaystyle j ^ {1/2} (X) \ chi _ {\ lambda} (\ exp X) = \ int _ {{\ mathcal {O}} _ {\ lambda + \ rho}} e ^ {i \ beta (X)} d \ mu _ {\ lambda + \ rho} (\ beta), \; \ forall \; X \ in {\ mathfrak {g}}}$,

где - якобиан экспоненциального отображения.${\ displaystyle j (X)}$

Пример: SU (2) [ править ]

Для случая SU (2) , то старшие веса положительные полуцелые, и . Коприсоединенные орбиты - это двумерные сферы радиуса с центром в начале координат в трехмерном пространстве.${\ Displaystyle \ rho = 1/2}$${\ displaystyle \ lambda +1/2}$

Используя теорию функций Бесселя , можно показать, что

${\displaystyle \int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +1/2}}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +1/2}(\beta )={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{X/2}},\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}},}$

и

${\displaystyle j(X)={\frac {\sin X/2}{X/2}}}$

таким образом давая характеры SU (2):

${\displaystyle \chi _{\lambda }(\exp X)={\frac {\sin((2\lambda +1)X)}{\sin X/2}}}$

Ссылки [ править ]

• Кириллов А.А., Лекции по методу орбит , Аспирантура по математике , 64, AMS, Род-Айленд, 2004.