Функции Бриллюэна и Ланжевена - это пара специальных функций, которые появляются при изучении идеализированного парамагнитного материала в статистической механике .
Функция Бриллюэна
Функция Бриллюэна [1] [2] - это специальная функция, определяемая следующим уравнением:
Функция обычно применяется (см. Ниже) в контексте, где это реальная переменная и является положительным целым или полуцелым числом. В этом случае функция изменяется от -1 до 1, приближаясь к +1 как и -1 как .
Эта функция наиболее известна тем, что возникает при вычислении намагниченности идеального парамагнетика . В частности, он описывает зависимость намагниченностиот приложенного магнитного поля и квантовое число J полного углового момента микроскопических магнитных моментов материала. Намагниченность определяется по формуле: [1]
где
- - количество атомов в единице объема,
- г-фактор ,
- магнетон Бора ,
- - отношение зеемановской энергии магнитного момента во внешнем поле к тепловой энергии: [1]
- - постоянная Больцмана и температура.
Обратите внимание, что в системе единиц СИ в Тесла обозначает магнитное поле ,, где - вспомогательное магнитное поле в А / м и является проницаемость вакуума .
Нажмите «показать», чтобы увидеть вывод этого закона: Вывод этого закона, описывающего намагниченность идеального парамагнетика, следующий. [1] Пусть z - направление магнитного поля. Компонент z углового момента каждого магнитного момента (он же азимутальное квантовое число ) может принимать одно из 2J + 1 возможных значений -J, -J + 1, ..., + J. Каждый из них имеет разную энергию из-за внешнего поля B : энергия, связанная с квантовым числом m, равна (где g - g-фактор , μ B - магнетон Бора , а x определен в тексте выше). Относительная вероятность каждого из них определяется фактором Больцмана :
где Z ( статистическая сумма ) - нормировочная константа, сумма вероятностей которой равна единице. Вычисляя Z , получаем:
- .
В целом математическое ожидание азимутального квантового числа m равно
- .
Знаменатель - это геометрический ряд, а числитель - это тип арифметико-геометрического ряда , поэтому ряды можно явно просуммировать. После некоторой алгебры результат оказывается
При N магнитных моментов на единицу объема плотность намагниченности равна
- .
Такач [3] предложил следующее приближение обратной функции Бриллюэна:
где константы а также определены как
Функция Ланжевена
В классическом пределе моменты могут быть непрерывно выровнены по полю и может принимать все значения (). Затем функция Бриллюэна упрощается до функции Ланжевена , названной в честь Поля Ланжевена :
Для малых значений x функция Ланжевена может быть аппроксимирована усечением ее ряда Тейлора :
Альтернативное, более подходящее приближение может быть получено из разложения в цепную дробь Ламберта tanh ( x ) :
Для достаточно малых x оба приближения численно лучше, чем прямая оценка фактического аналитического выражения, поскольку последнее страдает от потери значимости .
Обратная функция Ланжевена L −1 ( x ) определена на открытом интервале (−1, 1). Для малых значений x он может быть аппроксимирован усечением его ряда Тейлора [4]
Поскольку эта функция не имеет замкнутой формы, полезно иметь приближения, действительные для произвольных значений x . Одно популярное приближение, действующее во всем диапазоне (−1, 1), было опубликовано А. Коэном: [5]
Это имеет максимальную относительную погрешность 4,9% в окрестности x = ± 0,8 . Большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную Р. Едынак: [6]
справедливо для x ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет 1,5% в окрестности x = 0,85. Еще большей точности можно добиться, используя формулу, приведенную М. Крегером: [7]
Максимальная относительная погрешность этого приближения составляет менее 0,28%. Более точное приближение сообщил Р. Петросян: [8]
справедливо для x ≥ 0 . Максимальная относительная погрешность для приведенной выше формулы составляет менее 0,18%. [8]
Новое приближение, данное R. Jedynak, [9], является наилучшим описанным приближением на сложности 11:
справедливо для x ≥ 0 . Его максимальная относительная погрешность составляет менее 0,076%. [9]
Современная диаграмма аппроксимаций обратной функции Ланжевена представлена на рисунке ниже. Это справедливо для рациональных аппроксимаций / аппроксимаций Паде, [7] [9]
В недавно опубликованной статье Р. Едынака [10] представлен ряд оптимальных приближений к обратной функции Ланжевена. В таблице ниже представлены результаты с правильными асимптотиками. [7] [9] [10]
Сравнение относительных ошибок для различных оптимальных рациональных приближений, которые были вычислены с ограничениями (Приложение 8, Таблица 1) [10]
Сложность | Оптимальное приближение | Максимальная относительная погрешность [%] |
---|---|---|
3 | 13 | |
4 | 0,95 | |
5 | 0,56 | |
6 | 0,16 | |
7 | 0,082 |
Также недавно Бенитес и Монтанс предложили эффективный аппроксимант с точностью, близкой к машинной, основанный на сплайн-интерполяции [11], где также приводится код Matlab для генерации аппроксимации на основе сплайна и для сравнения многих из ранее предложенных аппроксимаций в вся функциональная область.
Предел высокой температуры
Когда т.е. когда мала, выражение намагниченности можно аппроксимировать законом Кюри :
где является константой. Можно отметить, что - эффективное число магнетонов Бора.
Предел высокого поля
Когда , функция Бриллюэна переходит в 1. Намагниченность насыщается, когда магнитные моменты полностью совпадают с приложенным полем:
Рекомендации
- ^ a b c d К. Киттель, Введение в физику твердого тела (8-е изд.), страницы 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8
- ^ Дарби, Мичиган (1967). «Таблицы функции Бриллюэна и связанной с ней функции для спонтанной намагниченности». Br. J. Appl. Phys . 18 (10): 1415–1417. Bibcode : 1967BJAP ... 18.1415D . DOI : 10.1088 / 0508-3443 / 18/10/307 .
- ^ Такач, Джено (2016). «Приближения Бриллюэна и его обратная функция». КОМПЕЛ . 35 (6): 2095. DOI : 10,1108 / COMPEL-06-2016-0278 .
- ^ Johal, AS; Дунстан, ди-джей (2007). «Энергетические функции резины от микроскопических потенциалов» . Журнал прикладной физики . 101 (8): 084917. Bibcode : 2007JAP ... 101h4917J . DOI : 10.1063 / 1.2723870 .
- ^ Коэн, А. (1991). «Аппроксимация Паде обратной функции Ланжевена». Rheologica Acta . 30 (3): 270–273. DOI : 10.1007 / BF00366640 . S2CID 95818330 .
- ^ Едынак, Р. (2015). "Аппроксимация обратной функции Ланжевена снова" . Rheologica Acta . 54 (1): 29–39. DOI : 10.1007 / s00397-014-0802-2 .
- ^ а б в г Крегер, М. (2015). «Простые, допустимые и точные аппроксимации обратных функций Ланжевена и Бриллюэна, актуальные для сильных деформаций и течений полимеров» . J Механизм неньютоновских жидкостей . 223 : 77–87. DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2015.05.007 .
- ^ а б Петросян, Р. (2016). «Улучшенные приближения для некоторых моделей удлинения полимеров». Rheologica Acta . 56 : 21–26. arXiv : 1606.02519 . DOI : 10.1007 / s00397-016-0977-9 . S2CID 100350117 .
- ^ а б в г д Едынак, Р. (2017). «Новые факты о приближении обратной функции Ланжевена». Журнал механики неньютоновской жидкости . 249 : 8–25. DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2017.09.003 .
- ^ а б в Едынак, Р. (2018). «Комплексное исследование математических методов, используемых для аппроксимации обратной функции Ланжевена». Математика и механика твердого тела . 24 (7): 1-25. DOI : 10.1177 / 1081286518811395 . S2CID 125370646 .
- ^ Бенитес, JM; Монтанс, FJ (2018). «Простая и эффективная численная процедура для вычисления обратной функции Ланжевена с высокой точностью». Журнал механики неньютоновской жидкости . 261 : 153–163. arXiv : 1806.08068 . DOI : 10.1016 / j.jnnfm.2018.08.011 . S2CID 119029096 .