В теории случайных процессов , являющейся частью математической теории вероятностей , дисперсионный гамма-процесс (VG) , также известный как движение Лапласа , представляет собой процесс Леви, определяемый случайным изменением времени. Этот процесс имеет конечные моменты, которые отличают его от многих процессов Леви. В процессе VG отсутствует диффузионная составляющая, и, таким образом, это чистый скачкообразный процесс . Приращения независимы и подчиняются гамма-распределению дисперсии , которое является обобщением распределения Лапласа .
Существует несколько представлений процесса VG, которые связывают его с другими процессами. Например, это можно записать как броуновское движение с дрейфом подвергается случайному изменению времени, которое следует за гамма-процессом (эквивалентно в литературе встречается обозначение ):
Альтернативный способ задания этого является то , что дисперсия гамма - процесс представляет собой броуновское движение подчинено гамма subordinator .
Поскольку процесс VG имеет конечную вариацию, его можно записать как разность двух независимых гамма-процессов: [1]
где
В качестве альтернативы его можно аппроксимировать составным пуассоновским процессом, который приводит к представлению с явно заданными (независимыми) скачками и их местоположениями. Эта последняя характеристика дает понимание структуры траектории образца с местоположением и размерами скачков. [2]
О ранней истории процесса дисперсионной гаммы см. Seneta (2000). [3]
Моменты
Среднее значение дисперсионного гамма-процесса не зависит от а также и дается
Дисперсия дается как
Третий центральный момент - это
Четвертый центральный момент - это
Стоимость опциона
Процесс VG может быть выгодным для использования при ценообразовании, поскольку он позволяет более широкое моделирование асимметрии и эксцесса, чем броуновское движение . Таким образом, модель дисперсионной гаммы позволяет последовательно оценивать опционы с разными страйками и сроками погашения, используя единый набор параметров. Мадан и Сенета представляют симметричную версию дисперсионного гамма-процесса. [4] Мадан, Карр и Чанг [1] расширяют модель, чтобы учесть асимметричную форму и представить формулу для определения цены европейских опционов в рамках процесса дисперсионной гаммы.
Хирса и Мадан показывают, как оценивать американские опционы с учетом дисперсионной гаммы. [5] Фьорани представляет численные решения для европейских и американских вариантов барьеров в процессе дисперсионной гаммы. [6] Он также предоставляет компьютерный программный код для определения цены и барьерных опций в Европе и Америке в рамках процесса дисперсионной гаммы.
Lemmens et al. [7] строят границы для арифметических азиатских опций для нескольких моделей Леви, включая гамма-модель дисперсии.
Приложения к моделированию кредитного риска
Процесс дисперсионной гаммы успешно применяется при моделировании кредитного риска в структурных моделях. Чистый скачкообразный характер процесса и возможность контролировать асимметрию и эксцесс распределения позволяют модели правильно оценивать риск дефолта ценных бумаг с коротким сроком погашения, что, как правило, невозможно со структурными моделями, в которых следуют базовые активы. броуновское движение. Фьорани, Лучано и Семераро [8] моделируют свопы кредитного дефолта с использованием вариационной гаммы. В обширном эмпирическом тесте они показывают превосходство ценообразования при вариационной гамме по сравнению с альтернативными моделями, представленными в литературе.
Моделирование
Методы Монте-Карло для дисперсионного гамма-процесса описаны Fu (2000). [9] Алгоритмы представлены Korn et al. (2010). [10]
Моделирование VG как броуновского движения с измененной гаммой во времени
- Ввод: параметры VG. и временные приращения , где
- Инициализация: установите X (0) = 0.
- Цикл: для i = от 1 до N :
- Создать независимую гамму , и нормальный изменяется независимо от прошлых случайных значений.
- Возвращаться
Моделирование ВГ как разности гамм
Этот подход [9] [10] основан на различии гамма-представления, где определены, как указано выше.
- Ввод: параметры VG.] и временные интервалы , где
- Инициализация: установите X (0) = 0.
- Цикл: для i = от 1 до N :
- Создавать независимые гамма-вариации независимо от прошлых случайных значений.
- Возвращаться
Моделирование траектории ВГ по разнице дискретизации гамма-моста
Продолжение следует ...
Гамма дисперсии как распределение 2-EPT
Под ограничением, что является целым числом, гамма-распределение дисперсии может быть представлено как функция плотности вероятности 2-EPT . Исходя из этого предположения, можно вывести цены ванильных опционов в закрытой форме и связанных с ними греков . Подробное описание см. [11]
Рекомендации
- ^ a b Дилип Мадан, Питер Карр, Эрик Чанг (1998). «Процесс дисперсионной гаммы и ценообразование на опционы» (PDF) . Европейский финансовый обзор . 2 : 79–105.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Коц, Самуэль; Kozubowski, Tomasz J .; Подгорский, Кшиштоф (2001). Распределение Лапласа и обобщения: новый взгляд на приложения к коммуникациям, экономике, инженерии и финансам . Бостон [ua]: Биркхойзер. ISBN 978-0817641665.
- ^ Евгений Сенета (2000). «Ранние годы дисперсионно-гамма-процесса». У Майкла К. Фу; Роберт А. Джарроу; Джу-Йи Дж. Йен; Роберт Дж. Эллиотт (ред.). Успехи в области математических финансов . Бостон: Биркхаузер. ISBN 978-0-8176-4544-1.
- ^ Мадан, Дилип Б .; Сенета, Евгений (1990). «Модель дисперсионной гаммы (VG) для доходности рынка акций». Журнал бизнеса . 63 (4): 511–524. DOI : 10.1086 / 296519 . JSTOR 2353303 .
- ^ Хирса, Али; Мадан, Дилип Б. (2003). «Ценообразование американских опционов с учетом дисперсионной гаммы» . Журнал вычислительных финансов . 7 (2): 63–80. DOI : 10.21314 / JCF.2003.112 .
- ^ Фило Фьорани (2004). Ценообразование опционов в рамках процесса дисперсионной гаммы . Неопубликованная диссертация. п. 380. SSRN 1411741 . PDF .
- ^ Лемменс, Дамиан; Лян, Лин Чжи; Темпере, Жак; Де Схеппер, Энн (2010), «Ценовые границы для дискретных арифметических азиатских опций в рамках моделей Леви», Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications , 389 (22): 5193–5207, doi : 10.1016 / j.physa.2010.07.026
- ^ Фило Фиорани, Элиза Лучано и Патриция Семераро, (2007), Единичный и совместный дефолт в структурной модели с чисто прерывными активами, Рабочий документ № 41, Блокноты Карло Альберто , Collegio Carlo Alberto. URL-адрес PDF
- ^ а б Майкл С. Фу (2000). «Дисперсия-Гамма и Монте-Карло». У Майкла К. Фу; Роберт А. Джарроу; Джу-Йи Дж. Йен; Роберт Дж. Эллиотт (ред.). Успехи в области математических финансов . Бостон: Биркхаузер. ISBN 978-0-8176-4544-1.
- ^ а б Ральф Корн; Эльке Корн и Джеральд Кройзандт (2010). Методы и модели Монте-Карло в финансах и страховании . Бока-Ратон, Флорида: Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1-4200-7618-9. (Раздел 7.3.3)
- ^ Секстон, К. и Хансон, Б., "Расчеты пространства состояний для двусторонних плотностей EPT с приложениями финансового моделирования", www.2-ept.com