Предельный цикл

Устойчивый предельный цикл (выделен жирным шрифтом) и две другие траектории, втекающие в него

Стабильный предельный цикл (выделен жирным шрифтом) для осциллятора Ван дер Поля

В математике , в исследовании динамических систем с двумерным фазовым пространством , предельный цикл является замкнутой траектории в фазовом пространстве , обладающее тем свойством , что по крайней мере один другой траектории спиралей в ней либо как время приближается к бесконечности или как раз приближается к минус бесконечность. Такое поведение проявляется в некоторых нелинейных системах . Предельные циклы использовались для моделирования поведения очень многих реальных колебательных систем. Изучение предельных циклов было начато Анри Пуанкаре (1854–1912).

Определение [ править ]

Рассмотрим двумерную динамическую систему вида

{\ Displaystyle х '(т) = В (х (т))}

куда

{\ Displaystyle V: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}

- гладкая функция. Траектория этой системы является некоторой гладкой функцией со значениями в котором удовлетворяет Это дифференциальное уравнение. Такая траектория называется замкнутой (или периодической ), если она не постоянна, а возвращается в исходную точку, т.е. если существует такая, что для всех . Орбита представляет собой изображение траектории, подмножество . Замкнутая орбита , или цикл , образ замкнутой траектории. Предельный цикл представляет собой цикл , который является предельным множеством некоторой другой траектории. ${\ Displaystyle х (т)}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ ${\ displaystyle t_ {0}> 0}$ ${\ Displaystyle х (т + т_ {0}) = х (т)}$ ${\ Displaystyle т \ в \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

Свойства [ править ]

По теореме Жордана о кривой каждая замкнутая траектория делит плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Учитывая предельный цикл и траекторию внутри него, которая приближается к предельному циклу для приближения времени , тогда существует окрестность вокруг предельного цикла, такая, что все траектории внутри, которые начинаются в окрестности, приближаются к предельному циклу для приближения времени . Соответствующее утверждение справедливо для внутренней траектории, приближающейся к предельному циклу при приближении времени , а также для внешних траекторий, приближающихся к предельному циклу. ${\ displaystyle + \ infty}$ ${\ displaystyle + \ infty}$ $-\infty$

Стабильные, нестабильные и полустабильные предельные циклы [ править ]

В случае, когда все соседние траектории приближаются к предельному циклу, когда время приближается к бесконечности, он называется устойчивым или притягивающим предельным циклом (ω-предельным циклом). Если вместо этого все соседние траектории приближаются к нему, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это неустойчивый предельный цикл (α-предельный цикл). Если есть соседняя траектория, которая закручивается в предельный цикл, когда время приближается к бесконечности, и другая, которая закручивается в нее, когда время приближается к отрицательной бесконечности, то это полустабильныйпредельный цикл. Существуют также предельные циклы, которые не являются ни стабильными, ни нестабильными, ни полустабильными: например, соседняя траектория может приближаться к предельному циклу извне, но внутренняя часть предельного цикла приближается к семейству других циклов (что не t - предельные циклы).

Стабильные предельные циклы являются примерами аттракторов . Они подразумевают самоподдерживающиеся колебания : замкнутая траектория описывает идеальное периодическое поведение системы, и любое небольшое возмущение от этой замкнутой траектории заставляет систему возвращаться к ней, заставляя систему придерживаться предельного цикла.

Поиск предельных циклов [ править ]

Каждая замкнутая траектория содержит внутри себя стационарную точку системы, т. Е. Точку, где . Критерий дюлак и Пуанкар-Бендиксон теорема предсказать отсутствие или наличие, соответственно, предельных циклов двумерный нелинейных динамических систем. $p$ $V(p)=0$

Открытые проблемы [ править ]

Поиск предельных циклов, вообще говоря, очень сложная задача. Число предельных циклов полиномиального дифференциального уравнения на плоскости - главный объект второй части шестнадцатой проблемы Гильберта . Неизвестно, например, существует ли какая-либо система на плоскости, где обе компоненты являются квадратичными многочленами от двух переменных, такая, что система имеет более 4 предельных циклов. $x'=V(x)$ $V$

Приложения [ править ]

Примеры ветвления предельных циклов из неподвижных точек вблизи бифуркации Хопфа . Траектории отмечены красным, устойчивые структуры - синим, неустойчивые - голубым. Выбор параметра определяет возникновение и стабильность предельных циклов.

Предельные циклы важны во многих научных приложениях, где моделируются системы с автоколебаниями. Вот некоторые примеры:

Аэродинамические колебания предельного цикла ^[1]
Модель Ходжкина – Хаксли для потенциалов действия в нейронах .
Модель гликолиза Селькова . ^[2]
Суточные колебания экспрессии генов, уровня гормонов и температуры тела животных, которые являются частью циркадного ритма . ^[3]^[4]
Миграции из раковых клеток в ограничивающем микро-средах следующим образом колебания предельного цикла. ^[5]
Некоторые нелинейные электрические цепи демонстрируют колебания предельного цикла ^[6], которые вдохновили исходную модель Ван дер Поля .

См. Также [ править ]

Аттрактор
Гиперболический набор
Периодическая точка
Автоколебание
Стабильный коллектор

Ссылки [ править ]

^ Томас, Джеффри П .; Доуэлл, Эрл Х .; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейные аэродинамические эффекты невязкой жидкости на трансзвуковую расходимость, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , Американский институт аэронавтики и астронавтики, 40 (4): 638, Bibcode : 2002AIAAJ ..40..638T , doi : 10.2514 / 2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.
^ Сельков, EE (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель». Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. DOI : 10.1111 / j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . PMID 4230812 .
^ Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1999-12-01). «Модели предельного цикла для циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у Drosophila и Neurospora». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. DOI : 10.1177 / 074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . PMID 10643740 . S2CID 15074869 .
^ Роеннеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов». Текущая биология . 18 (17): R826 – R835. DOI : 10.1016 / j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . PMID 18786388 . S2CID 2798371 .
^ Брюкнер, Дэвид Б .; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Рёттгерманн, Питер Дж. Ф.; Редлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в системах с двумя состояниями». Физика природы . 15 (6): 595–601. Bibcode : 2019NatPh..15..595B . DOI : 10.1038 / s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .
^ Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120. arXiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012Chaos..22b3120G . DOI : 10.1063 / 1.3670008 . ISSN 1054-1500 . PMID 22757527 . S2CID 293369 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Стивен Х. Строгац (2014). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Авалон. ISBN 9780813349114.
М. Видьясагар (2002). Нелинейный системный анализ (второе изд.). СИАМ. ISBN 9780898715262.
Филип Хартман, «Обыкновенное дифференциальное уравнение», Общество промышленной и прикладной математики, 2002.
Витольд Гуревич, "Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям", Довер, 2002 г.
Соломон Лефшец, "Дифференциальные уравнения: геометрическая теория", Довер, 2005.
Лоуренс Перко, "Дифференциальные уравнения и динамические системы", Springer-Verlag, 2006.
Артур Маттак, «Предельные циклы: критерии существования и несуществования», MIT Open Courseware http://videolectures.net/mit1803s06_mattuck_lec32/#

Внешние ссылки [ править ]

«предельный цикл» . planetmath.org . Проверено 6 июля 2019 .

[1] Томас, Джеффри П .; Доуэлл, Эрл Х .; Холл, Кеннет С. (2002), «Нелинейные аэродинамические эффекты невязкой жидкости на трансзвуковую расходимость, флаттер и колебания предельного цикла» (PDF) , журнал AIAA , Американский институт аэронавтики и астронавтики, 40 (4): 638, Bibcode : 2002AIAAJ ..40..638T , doi : 10.2514 / 2.1720 , получено 9 декабря 2019 г.

[2] Сельков, EE (1968). «Автоколебания при гликолизе 1. Простая кинетическая модель». Европейский журнал биохимии . 4 (1): 79–86. DOI : 10.1111 / j.1432-1033.1968.tb00175.x . ISSN 1432-1033 . PMID 4230812 .

[3] Лелуп, Жан-Кристоф; Гонзе, Дидье; Гольдбетер, Альберт (1999-12-01). «Модели предельного цикла для циркадных ритмов, основанные на регуляции транскрипции у Drosophila и Neurospora». Журнал биологических ритмов . 14 (6): 433–448. DOI : 10.1177 / 074873099129000948 . ISSN 0748-7304 . PMID 10643740 . S2CID 15074869 .

[4] Роеннеберг, Тилль; Чуа, Элейн Джейн; Бернардо, Рик; Мендоса, Эдуардо (9 сентября 2008 г.). «Моделирование биологических ритмов». Текущая биология . 18 (17): R826 – R835. DOI : 10.1016 / j.cub.2008.07.017 . ISSN 0960-9822 . PMID 18786388 . S2CID 2798371 .

[5] Брюкнер, Дэвид Б .; Финк, Александра; Шрайбер, Кристоф; Рёттгерманн, Питер Дж. Ф.; Редлер, Иоахим; Бродерс, Чейз П. (2019). «Стохастическая нелинейная динамика ограниченной миграции клеток в системах с двумя состояниями». Физика природы . 15 (6): 595–601. Bibcode : 2019NatPh..15..595B . DOI : 10.1038 / s41567-019-0445-4 . ISSN 1745-2481 . S2CID 126819906 .

[6] Жину, Жан-Марк; Летелье, Кристоф (30 апреля 2012 г.). «Ван дер Поль и история релаксационных колебаний: к появлению концепции». Хаос: междисциплинарный журнал нелинейной науки . 22 (2): 023120. arXiv : 1408.4890 . Bibcode : 2012Chaos..22b3120G . DOI : 10.1063 / 1.3670008 . ISSN 1054-1500 . PMID 22757527 . S2CID 293369 .

[1]