Список уравнений классической механики

Классическая механика - это раздел физики, используемый для описания движения макроскопических объектов. ^[1] Это самая известная из физических теорий. Понятия, которые он охватывает, такие как масса , ускорение и сила , широко используются и известны. ^[2] Сюжет основан на трехмерном евклидовом пространстве с фиксированными осями, называемом системой отсчета. Точка совпадения трех осей известна как начало конкретного пространства. ^[3]

Классическая механика использует множество уравнений, а также другие математические концепции, которые связывают различные физические величины друг с другом. К ним относятся дифференциальные уравнения , многообразия , группы Ли и эргодическая теория . ^{[4] В} этой статье дается краткое изложение наиболее важных из них.

В этой статье перечислены уравнения из ньютоновой механики , см. Аналитическую механику для более общей формулировки классической механики (которая включает лагранжеву и гамильтонову механику ).

Классическая механика [ править ]

Масса и инерция [ править ]

Количество (общепринятое наименование / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ
Линейная, поверхностная, объемная массовая плотность	λ или μ (особенно в акустике , см. ниже) для линейного, σ для поверхности, ρ для объема.	${\ Displaystyle м = \ int \ лямбда \ mathrm {d} \ ell}$ ${\ Displaystyle м = \ iint \ sigma \ mathrm {d} S}$ ${\ Displaystyle м = \ iiint \ rho \ mathrm {d} V}$	кг м ^{- п} , п = 1, 2, 3	[M] [L] ^{- n}
Момент массы^[5]	м (нет общего символа)	Точечная масса: $\mathbf {m} =\mathbf {r} m$ Дискретные массы вокруг оси : $x_{i}$ $\mathbf {m} =\sum _{i=1}^{N}\mathbf {r} _{\mathrm {i} }m_{i}$ Континуум массы вокруг оси : $x_{i}$ $\mathbf {m} =\int \rho \left(\mathbf {r} \right)x_{i}\mathrm {d} \mathbf {r}$	кг м	[M] [L]
Центр массы	r _com (Символы различаются)	i- ^й момент массы $\mathbf {m} _{\mathrm {i} }=\mathbf {r} _{\mathrm {i} }m_{i}$ Дискретные массы: $\mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {r} _{\mathrm {i} }m_{i}={\frac {1}{M}}\sum _{i}\mathbf {m} _{\mathrm {i} }$ Массовый континуум: $\mathbf {r} _{\mathrm {com} }={\frac {1}{M}}\int \mathrm {d} \mathbf {m} ={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \mathrm {d} m={\frac {1}{M}}\int \mathbf {r} \rho \mathrm {d} V$	м	[L]
2-Body уменьшенная масса	m ₁₂ , μ Пара масс = m ₁ и m ₂	$\mu =\left(m_{1}m_{2}\right)/\left(m_{1}+m_{2}\right)$	кг	[M]
Момент инерции (MOI)	я	Дискретные массы: $I=\sum _{i}\mathbf {m} _{\mathrm {i} }\cdot \mathbf {r} _{\mathrm {i} }=\sum _{i}\left\|\mathbf {r} _{\mathrm {i} }\right\|^{2}m$ Массовый континуум: $I=\int \left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\mathrm {d} m=\int \mathbf {r} \cdot \mathrm {d} \mathbf {m} =\int \left\|\mathbf {r} \right\|^{2}\rho \mathrm {d} V$	кг м ²	[M] [L] ²

Производные кинематические величины [ править ]

Кинематические величины классической частицы: масса m , положение r , скорость v , ускорение a .

Количество (общепринятое наименование / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Скорость	v	$\mathbf {v} =\mathrm {d} \mathbf {r} /\mathrm {d} t$	мс ^-1	[L] [T] ^-1
Ускорение	а	$\mathbf {a} =\mathrm {d} \mathbf {v} /\mathrm {d} t=\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} /\mathrm {d} t^{2}$	мс ⁻²	[L] [T] ⁻²
Придурок	j	$\mathbf {j} =\mathrm {d} \mathbf {a} /\mathrm {d} t=\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} /\mathrm {d} t^{3}$	мс ⁻³	[L] [T] ⁻³
Трясти	s	$\mathbf {s} =\mathrm {d} \mathbf {j} /\mathrm {d} t=\mathrm {d} ^{4}\mathbf {r} /\mathrm {d} t^{4}$	мс ⁻⁴	[L] [T] ⁻⁴
Угловая скорость	ω	${\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} \left(\mathrm {d} \theta /\mathrm {d} t\right)$	рад с ⁻¹	[Т] ^-1
Угловое ускорение	α	${\boldsymbol {\alpha }}=\mathrm {d} {\boldsymbol {\omega }}/\mathrm {d} t=\mathbf {\hat {n}} \left(\mathrm {d} ^{2}\theta /\mathrm {d} t^{2}\right)$	рад с ⁻²	[Т] ⁻²
Угловой рывок	ζ	${\boldsymbol {\zeta }}=\mathrm {d} {\boldsymbol {\alpha }}/\mathrm {d} t=\mathbf {\hat {n}} \left(\mathrm {d} ^{3}\theta /\mathrm {d} t^{3}\right)$	рад с ⁻³	[Т] ⁻³

Производные динамические величины [ править ]

Угловые моменты классического объекта.

Слева: внутренний «спина» угловой момент S действительно орбитальный момент объекта в каждой точке,

справа: внешний орбитальный момент L вокруг оси,

верхний: момент тензора инерции I и угловая скорость ω ( L не всегда параллельно к ω ) ^[6]

снизу: импульс p и его радиальное положение r от оси.

Полный угловой момент (спин + орбиталь) равен Дж .

Количество (общепринятое наименование / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Импульс	п	$\mathbf {p} =m\mathbf {v}$	кг мс ⁻¹	[M] [L] [T] ^-1
Сила	F	$\mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {p} /\mathrm {d} t$	N = кг мс ⁻²	[M] [L] [T] ⁻²
Импульс	J , Δ p , I	$\mathbf {J} =\Delta \mathbf {p} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \mathrm {d} t$	кг мс ⁻¹	[M] [L] [T] ^-1
Угловой момент относительно точки положения r ₀ ,	L , J , S	$\mathbf {L} =\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {p}$ В большинстве случаев мы можем установить r ₀ = 0, если частицы вращаются вокруг осей, пересекающихся в общей точке.	кг м ² с ⁻¹	[M] [L] ² [T] ^-1
Момент силы относительно позиционной точки r ₀ , Крутящий момент	τ , M	${\boldsymbol {\tau }}=\left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)\times \mathbf {F} =\mathrm {d} \mathbf {L} /\mathrm {d} t$	Н · м = кг · м ²^· с ⁻²	[M] [L] ² [T] ⁻²
Угловой импульс	Δ L (нет общего символа)	$\Delta \mathbf {L} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\boldsymbol {\tau }}\mathrm {d} t$	кг м ² с ⁻¹	[M] [L] ² [T] ^-1

Общие определения энергии [ править ]

Количество (общепринятое наименование / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Механическая работа за счет результирующей силы	W	$W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r}$	J = Н · м = кг · м ²^· с ⁻²	[M] [L] ² [T] ⁻²
Работа сделана в механической системе, работа сделана ПО	W _ВКЛ , Вт _BY	$\Delta W_{\mathrm {ON} }=-\Delta W_{\mathrm {BY} }$	J = Н · м = кг · м ²^· с ⁻²	[M] [L] ² [T] ⁻²
Потенциальная энергия	φ, Φ, U, V, E _p	$\Delta W=-\Delta V$	J = Н · м = кг · м ²^· с ⁻²	[M] [L] ² [T] ⁻²
Механическая мощность	п	$P=\mathrm {d} E/\mathrm {d} t$	W = Дж с ^-1	[M] [L] ² [T] ⁻³

У каждой консервативной силы есть потенциальная энергия . Следуя двум принципам, можно последовательно присвоить не относительное значение U :

Везде, где сила равна нулю, ее потенциальная энергия также определяется равной нулю.
Когда сила действует, потенциальная энергия теряется.

Обобщенная механика [ править ]

Количество (общепринятое наименование / а)	(Общий) символ / с	Определение уравнения	Единицы СИ	Измерение
Обобщенные координаты	q, Q		зависит от выбора	зависит от выбора
Обобщенные скорости	${\dot {q}},{\dot {Q}}$	${\dot {q}}\equiv \mathrm {d} q/\mathrm {d} t$	зависит от выбора	зависит от выбора
Обобщенные импульсы	p, P	$p=\partial L/\partial {\dot {q}}$	зависит от выбора	зависит от выбора
Лагранжиан	L	$L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)=T(\mathbf {\dot {q}} )-V(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$ где и p = p ( t ) - векторы обобщенных координат и импульсов как функции времени $\mathbf {q} =\mathbf {q} (t)$	J	[M] [L] ² [T] ⁻²
Гамильтониан	ЧАС	$H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,t)=\mathbf {p} \cdot \mathbf {\dot {q}} -L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)$	J	[M] [L] ² [T] ⁻²
Действие , основная функция Гамильтона	S , $\scriptstyle {\mathcal {S}}$	${\mathcal {S}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)\mathrm {d} t$	J s	[M] [L] ² [T] ^-1

Кинематика [ править ]

В следующих определениях вращения угол может быть любым углом относительно указанной оси вращения. Обычно используется θ , но это не обязательно должен быть полярный угол, используемый в полярных системах координат. Единичный осевой вектор

\mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {e}} _{r}\times \mathbf {\hat {e}} _{\theta }

определяет ось вращения, = единичный вектор в направлении r , = единичный вектор, касательный к углу. $\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{r}$ $\scriptstyle \mathbf {\hat {e}} _{\theta }$

Перевод

Вращение

Скорость

Средний:

\mathbf {v} _{\mathrm {average} }={\Delta \mathbf {r} \over \Delta t}

Мгновенно:

\mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}

Угловая скорость

{\boldsymbol {\omega }}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}\theta }{{\rm {d}}t}}

Вращающееся твердое тело :

\mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r}

Ускорение

Средний:

\mathbf {a} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {v} }{\Delta t}}

Мгновенно:

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}

Угловое ускорение

{\boldsymbol {\alpha }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\omega }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\theta }{{\rm {d}}t^{2}}}

Вращающееся твердое тело:

\mathbf {a} ={\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v}

Придурок

Средний:

\mathbf {j} _{\mathrm {average} }={\frac {\Delta \mathbf {a} }{\Delta t}}

Мгновенно:

\mathbf {j} ={\frac {d\mathbf {a} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {v} }{dt^{2}}}={\frac {d^{3}\mathbf {r} }{dt^{3}}}

Угловой рывок

{\boldsymbol {\zeta }}={\frac {{\rm {d}}{\boldsymbol {\alpha }}}{{\rm {d}}t}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{2}\omega }{{\rm {d}}t^{2}}}=\mathbf {\hat {n}} {\frac {{\rm {d}}^{3}\theta }{{\rm {d}}t^{3}}}

Вращающееся твердое тело:

\mathbf {j} ={\boldsymbol {\zeta }}\times \mathbf {r} +{\boldsymbol {\alpha }}\times \mathbf {a}

Динамика [ править ]

Перевод

Вращение

Импульс

Импульс - это «объем перевода».

\mathbf {p} =m\mathbf {v}

Для вращающегося твердого тела:

\mathbf {p} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {m}

Угловой момент

Угловой момент - это «количество вращения»:

\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}

и перекрестное произведение является псевдовектором, т.е. если r и p меняют направление на противоположное (отрицательное), L - нет.

В общем случае I - тензор второго порядка , его компоненты см. Выше. Точка · указывает на тензорное сжатие .

Сила и второй закон Ньютона

Результирующая сила действует на систему в центре масс, равная скорости изменения количества движения:

{\begin{aligned}\mathbf {F} &={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}}\\&=m\mathbf {a} +\mathbf {v} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}\\\end{aligned}}

Для ряда частиц уравнение движения одной частицы i имеет вид ^[7]

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} _{i}}{\mathrm {d} t}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}

где p _i = импульс частицы i , F _ij = сила, действующая на частицу i со стороны частицы j , и F _E = результирующая внешняя сила (вызванная любым агентом, не являющимся частью системы). Частица i не действует на себя.

Крутящий момент

Крутящий момент τ также называют моментом силы, потому что это вращательный аналог силы: ^[8]

{\boldsymbol {\tau }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}

Для твердых тел 2-й закон Ньютона для вращения принимает ту же форму, что и для перевода:

{\begin{aligned}{\boldsymbol {\tau }}&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {L} }{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }})}{{\rm {d}}t}}\\&={\frac {{\rm {d}}\mathbf {I} }{{\rm {d}}t}}\cdot {\boldsymbol {\omega }}+\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}\\\end{aligned}}

Аналогично, для ряда частиц уравнение движения для одной частицы i имеет следующий вид: ^[9]

{\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} _{i}}{\mathrm {d} t}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}

Янки

Янк - это скорость изменения силы:

{\begin{aligned}\mathbf {Y} &={\frac {d\mathbf {F} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {p} }{dt^{2}}}={\frac {d^{2}(m\mathbf {v} )}{dt^{2}}}\\&=m\mathbf {j} +\mathbf {2a} {\frac {{\rm {d}}m}{{\rm {d}}t}}+\mathbf {v} {\frac {{\rm {d^{2}}}m}{{\rm {d}}t^{2}}}\\\end{aligned}}

При постоянной массе становится;

\mathbf {Y} =m\mathbf {j}

Rotatum

Вращение Ρ также называют моментом янки, потому что это вращательный аналог рывка:

{\boldsymbol {\mathrm {P} }}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {\tau } }{{\rm {d}}t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {Y} ={\frac {{\rm {d}}(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }})}{{\rm {d}}t}}

Импульс

Импульс - это изменение импульса:

\Delta \mathbf {p} =\int \mathbf {F} dt

Для постоянной силы F :

\Delta \mathbf {p} =\mathbf {F} \Delta t

Угловой импульс - это изменение момента количества движения:

\Delta \mathbf {L} =\int {\boldsymbol {\tau }}dt

Для постоянного крутящего момента τ :

\Delta \mathbf {L} ={\boldsymbol {\tau }}\Delta t

Прецессия [ править ]

Угловая скорость прецессии волчка определяется выражением:

{\boldsymbol {\Omega }}={\frac {wr}{I{\boldsymbol {\omega }}}}

где w - вес вращающегося маховика.

Энергия [ править ]

Механическая работа, совершаемая внешним агентом над системой, равна изменению кинетической энергии системы:

Общая теорема работы-энергии (перенос и вращение)

Работа, совершаемая W внешним агентом, который оказывает силу F (в точке r ) и крутящий момент τ на объект по криволинейной траектории C, равна:

W=\Delta T=\int _{C}\left(\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} +{\boldsymbol {\tau }}\cdot \mathbf {n} {\mathrm {d} \theta }\right)

где θ - угол поворота вокруг оси, определяемой единичным вектором n .

Кинетическая энергия

\Delta E_{k}=W={\frac {1}{2}}m(v^{2}-{v_{0}}^{2})

Упругая потенциальная энергия

Для растянутой пружины, закрепленной на одном конце согласно закону Гука :

\Delta E_{p}={\frac {1}{2}}k(r_{2}-r_{1})^{2}

где r ₂ и r ₁ - коллинеарные координаты свободного конца пружины в направлении растяжения / сжатия, а k - жесткость пружины.

Уравнения Эйлера для динамики твердого тела [ править ]

Эйлер также разработал законы движения, аналогичные законам Ньютона, см . Законы движения Эйлера . Они расширяют сферу действия законов Ньютона на твердые тела, но по сути те же, что и выше. Новое уравнение Эйлера сформулировано так: ^[10]

\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\omega }}\times \left(\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)={\boldsymbol {\tau }}

где I - тензор момента инерции .

Общее плоское движение [ править ]

Здесь могут быть использованы предыдущие уравнения для плоского движения: следствия импульса, момента количества движения и т. Д. Могут быть получены сразу после применения приведенных выше определений. Для любого объекта, движущегося по любой траектории в плоскости,

\mathbf {r} =\mathbf {r} (t)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}

К частице применимы следующие общие результаты.

Кинематика

Динамика

Позиция

$\mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r,\theta ,t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}$

Скорость

\mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }

Импульс

\mathbf {p} =m\left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)

Угловые моменты $\mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \left(\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }\right)$

Ускорение

\mathbf {a} =\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}r}{\mathrm {d} t^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{{\rm {d}}t}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }

Центростремительная сила является

\mathbf {F} _{\bot }=-m\omega ^{2}R\mathbf {\hat {e}} _{r}=-\omega ^{2}\mathbf {m}

где снова m - момент массы, а сила Кориолиса равна

\mathbf {F} _{c}=2\omega m{\frac {{\rm {d}}r}{{\rm {d}}t}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }=2\omega mv\mathbf {\hat {e}} _{\theta }

Ускорение Кориолиса и сила также может быть записано:

\mathbf {F} _{c}=m\mathbf {a} _{c}=-2m{\boldsymbol {\omega \times v}}

Движение центральной силы [ править ]

Для массивного тела, движущегося с центральным потенциалом из-за другого объекта, который зависит только от радиального расстояния между центрами масс двух объектов, уравнение движения имеет следующий вид:

{\frac {d^{2}}{d\theta ^{2}}}\left({\frac {1}{\mathbf {r} }}\right)+{\frac {1}{\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} ^{2}}{\mathbf {l} ^{2}}}\mathbf {F} (\mathbf {r} )

Уравнения движения (постоянное ускорение) [ править ]

Эти уравнения можно использовать только при постоянном ускорении. Если ускорение не является постоянным, то необходимо использовать приведенные выше общие уравнения расчета , полученные путем интегрирования определений положения, скорости и ускорения (см. Выше).

Линейное движение	Угловое движение
$v=v_{0}+at$	$\omega _{1}=\omega _{0}+\alpha t$
$s={\frac {1}{2}}(v_{0}+v)t$	$\theta ={\frac {1}{2}}(\omega _{0}+\omega _{1})t$
$s=v_{0}t+{\frac {1}{2}}at^{2}$	$\theta =\omega _{0}t+{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}$
$v^{2}=v_{0}^{2}+2as$	$\omega _{1}^{2}=\omega _{0}^{2}+2\alpha \theta$
$s=vt-{\frac {1}{2}}at^{2}$	$\theta =\omega _{1}t-{\frac {1}{2}}\alpha t^{2}$

Преобразования галилеевой рамки [ править ]

Для классической (галилео-ньютоновской) механики закон преобразования одной инерционной или ускоряющейся (включая вращение) системы отсчета (система отсчета, движущаяся с постоянной скоростью - включая ноль) в другую является преобразованием Галилея.

Величины без штриха относятся к положению, скорости и ускорению в одном кадре F; Штрихованные величины относятся к положению, скорости и ускорению в другой системе отсчета F ', движущейся с поступательной скоростью V или угловой скоростью Ω относительно F. И наоборот, F движется со скоростью ( -V или -Ω ) относительно F'. Аналогичная ситуация и с относительными ускорениями.

Движение сущностей	Инерциальные рамки	Ускорение кадров
Перевод V = постоянная относительная скорость между двумя инерциальными системами отсчета F и F '. A = (переменное) относительное ускорение между двумя ускоряющимися кадрами F и F '.	Относительное положение $\mathbf {r} '=\mathbf {r} +\mathbf {V} t$ Относительная скорость Эквивалентные ускорения $\mathbf {v} '=\mathbf {v} +\mathbf {V}$ $\mathbf {a} '=\mathbf {a}$	Относительные ускорения $\mathbf {a} '=\mathbf {a} +\mathbf {A}$ Видимые / фиктивные силы $\mathbf {F} '=\mathbf {F} -\mathbf {F} _{\mathrm {app} }$
Вращение Ω = Постоянная относительная угловая скорость между двумя системами отсчета F и F '. Λ = (переменное) относительное угловое ускорение между двумя ускоряющими системами F и F '.	Относительное угловое положение $\theta '=\theta +\Omega t$ Относительная скорость Эквивалентные ускорения ${\boldsymbol {\omega }}'={\boldsymbol {\omega }}+{\boldsymbol {\Omega }}$ ${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}$	Относительные ускорения ${\boldsymbol {\alpha }}'={\boldsymbol {\alpha }}+{\boldsymbol {\Lambda }}$ Кажущийся / фиктивный крутящий момент ${\boldsymbol {\tau }}'={\boldsymbol {\tau }}-{\boldsymbol {\tau }}_{\mathrm {app} }$
	Преобразование любого вектора T во вращающуюся систему отсчета ${\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} '}{{\rm {d}}t}}={\frac {{\rm {d}}\mathbf {T} }{{\rm {d}}t}}-{\boldsymbol {\Omega }}\times \mathbf {T}$

Механические осцилляторы [ править ]

SHM, DHM, SHO и DHO относятся к простому гармоническому движению, затухающему гармоническому движению, простому гармоническому осциллятору и затухающему гармоническому осциллятору соответственно.

Уравнения движения
Физическая ситуация	Номенклатура	Трансляционные уравнения	Угловые уравнения
SHM	x = Поперечное смещение θ = Угловое смещение A = Поперечная амплитуда Θ = угловая амплитуда	${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}x$ Решение: $x=A\sin \left(\omega t+\phi \right)$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}=-\omega ^{2}\theta$ Решение: $\theta =\Theta \sin \left(\omega t+\phi \right)$
Невыполненный DHM	b = постоянная демпфирования κ = постоянная кручения	${\frac {\mathrm {d} ^{2}x}{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}x=0$ Решение (см. Ниже для ω ' ): $x=Ae^{-bt/2m}\cos \left(\omega '\right)$ Резонансная частота: $\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {b}{4m}}\right)^{2}}}$ Скорость демпфирования: $\gamma =b/m$ Ожидаемое время жизни возбуждения: $\tau =1/\gamma$	${\frac {\mathrm {d} ^{2}\theta }{\mathrm {d} t^{2}}}+b{\frac {\mathrm {d} \theta }{\mathrm {d} t}}+\omega ^{2}\theta =0$ Решение: $\theta =\Theta e^{-\kappa t/2m}\cos \left(\omega \right)$ Резонансная частота: $\omega _{\mathrm {res} }={\sqrt {\omega ^{2}-\left({\frac {\kappa }{4m}}\right)^{2}}}$ Скорость демпфирования: $\gamma =\kappa /m$ Ожидаемое время жизни возбуждения: $\tau =1/\gamma$

Угловые частоты
Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
ШО линейный недемпфированный неусиленный	k = жесткость пружины m = масса колеблющегося боба	$\omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}$
Линейный невынужденный DHO	k = жесткость пружины b = коэффициент демпфирования	$\omega '={\sqrt {{\frac {k}{m}}-\left({\frac {b}{2m}}\right)^{2}}}$
Угловой ШО с малой амплитудой	I = момент инерции относительно оси качания κ = постоянная кручения	$\omega ={\sqrt {\frac {\kappa }{I}}}$
Простой маятник малой амплитуды	L = длина маятника g = ускорение свободного падения Θ = угловая амплитуда	Приблизительное значение $\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}$ Можно показать точное значение: $\omega ={\sqrt {\frac {g}{L}}}\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\prod _{n=1}^{k}\left(2n-1\right)}{\prod _{n=1}^{m}\left(2n\right)}}\sin ^{2n}\Theta \right]$

Энергия в механических колебаниях
Физическая ситуация	Номенклатура	Уравнения
SHM энергия	T = кинетическая энергия U = потенциальная энергия E = полная энергия	Потенциальная энергия $U={\frac {m}{2}}\left(x\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\cos ^{2}(\omega t+\phi )$ Максимальное значение при x = A: $U_{\mathrm {max} }{\frac {m}{2}}\left(\omega A\right)^{2}$ Кинетическая энергия $T={\frac {\omega ^{2}m}{2}}\left({\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}\right)^{2}={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}\sin ^{2}\left(\omega t+\phi \right)$ Общая энергия $E=T+U$
Энергия DHM		$E={\frac {m\left(\omega A\right)^{2}}{2}}e^{-bt/m}$

См. Также [ править ]

Список физических формул
Определение уравнения (физика)
Определяющее уравнение (физическая химия)
Материальное уравнение
Механика
Оптика
Электромагнетизм
Термодинамика
Акустика
Исаак Ньютон
Список уравнений волновой теории
Список релятивистских уравнений
Список уравнений механики жидкости
Список уравнений гравитации
Список уравнений электромагнетизма
Список уравнений фотоники
Список уравнений квантовой механики
Список уравнений в ядерной физике и физике элементарных частиц

Заметки [ править ]

^ Mayer, Сассмен & Wisdom 2001 , стр. xiii
^ Berkshire & Kibble 2004 , стр. 1
^ Berkshire & Kibble 2004 , стр. 2
Перейти ↑ Arnold 1989 , p. v
^ Раздел: Моменты и центр масс
^ Р.П. Фейнман; РБ Лейтон; М. Сэндс (1964). Лекции Фейнмана по физике (том 2) . Эддисон-Уэсли. С. 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2.
^ "Относительность, JR Forshaw 2009"
^ "Механика, Д. Клеппнер 2010"
^ "Относительность, JR Forshaw 2009"
^ "Относительность, JR Forshaw 2009"

Ссылки [ править ]

Арнольд, Владимир И. (1989), Математические методы классической механики (2-е изд.), Springer, ISBN 978-0-387-96890-2
Беркшир, Фрэнк Х .; Киббл, TWB (2004), Классическая механика (5-е изд.), Imperial College Press, ISBN 978-1-86094-435-2
Mayer, Meinhard E .; Сассман, Джерард Дж .; Мудрость, Джек (2001), Структура и интерпретация классической механики , MIT Press, ISBN 978-0-262-19455-6

[1] Mayer, Сассмен & Wisdom 2001 , стр. xiii

[2] Berkshire & Kibble 2004 , стр. 1

[3] Berkshire & Kibble 2004 , стр. 2

[4] Перейти ↑ Arnold 1989 , p. v

[5] Раздел: Моменты и центр масс

[6] Р.П. Фейнман; РБ Лейтон; М. Сэндс (1964). Лекции Фейнмана по физике (том 2) . Эддисон-Уэсли. С. 31–7. ISBN 978-0-201-02117-2.

[7] "Относительность, JR Forshaw 2009"

[8] "Механика, Д. Клеппнер 2010"

[9] "Относительность, JR Forshaw 2009"

[10] "Относительность, JR Forshaw 2009"

[1]